本书讲述偏微分方程现代理论的最基础部分,内容共五章.其中前两章系统介绍函数空间、广义函数和Fourier分析理论的最基础部分,是学习偏微分方程现代理论必须具备的最基本的分析学知识,第3和第4两章系统讲述了二阶线性椭圆型方程和二阶线性抛物型、双曲型和Schr？dinger型三类发展型方程的最基础理论,这两章内容的学习能够基本满足希望专门研究椭圆型方程、抛物型方程或非线性发展方程以及相关学科领域读者的需要.最后一章简要介绍线性偏微分方程一般理论和拟微分算子理论.本书最突出的特点是把椭圆型方程和抛物型方程的Cμ理论与Lp理论都用Fourier分析理论做了统一的处理,并把这些理论都构建在L2理论之上,从而使得这些以前需要与偏微分方程的Fourier分析方法独立地学习的不同理论体系很自然地融合在一起.
样章试读
目录
- 目录
前言
第1章Holder空间和Sobolev空间1
1.1一些记号和初等公式1
习题1.1 6
1.2光滑紧支函数及其应用6
习题1.21 4
1.3H.older空间C1(1)15
习题1.32 2
1.4H.older空间Cm;123
习题1.42 7
1.5Lebesgue空间Lp28
1.5.1空间Lp的定义28
1.5.2常用的积分不等式28
1.5.3空间Lp(16p<1)的性质32
1.5.4空间Lp(16p<1)中的相对紧集和弱相对紧集35
习题1.5 39
1.6弱导数和弱可微函数40
习题1.6 47
1.7Sobolev空间Wm;p47
习题1.7 52
1.8Sobolev嵌入定理53
习题1.8 59
1.9Morrey嵌入定理61
习题1.9 64
1.10Kondrachov-Rellich嵌入定理65
习题1.10 69
1.11高阶Gagliardo-Nirenberg不等式70
习题1.11 74
1.12迹定理76
1.12.1函数在超平面上的迹76
1.12.2超曲面上的H.older空间和Sobolev空间79
1.12.3函数在区域边界上的迹81
1.12.4Wm;p的等价刻画83
1.12.5迹定理简介84
习题1.12 86
第2章广义函数和Fourier变换87
2.1广义函数87
习题2.1 94
2.2紧支广函96
习题2.2 102
2.3缓增广函103
习题2.3107
2.4Fourier变换108
习题2.4 115
2.5Riesz-Thorin插值定理和Hausdorff Young不等式的证明116
习题2.5 119
2.6Paley-Wiener-Schwartz定理119
习题2.6 123
2.7卷积124
习题2.7 129
2.8Sobolev空间Hs(Rn)130
习题2.8 138
2.9Littlewood-Paley分解139
习题2.9151
2.10奇异积分算子152
2.10.1Marcinkiewicz插值定理154
2.10.2定理2.10.5的证明157
2.10.3定理2.10.6的证明162
2.10.4Riesz变换和绝对导数163
2.10.5Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的证明165
习题2.10 167
第3章二阶线性椭圆型方程169
3.1基本概念169
3.1.1椭圆型的定义169
3.1.2经典解、强解和弱解171
3.1.3边值问题173
习题3.1 176
3.2弱解的存在性176
习题3.2 183
3.3解的正则性184
3.3.1弱导数与差商的关系185
3.3.2解的内正则性187
3.3.3解的边界正则性191
习题3.3 197
3.4特征值问题197
习题3.4 206
3.5极值原理207
3.5.1经典解的极值原理208
3.5.2弱解的极值原理212
3.5.3主特征值和相应特征函数的性质217
习题3.5 220
3.6Lp估计221
3.6.1Lp内估计221
3.6.2Lp全局估计224
3.6.3两个应用227
习题3.6229
3.7Lp可解性229
3.7.1解的正则性229
3.7.2解的存在性233
习题3.7 235
3.8调和函数236
习题3.8 241
3.9C1理论242
习题3.9249
第4章二阶线性发展型方程250
4.1基本概念250
习题4.1254
4.2向量值函数254
4.2.1向量值函数的连续性、导数和Riemann积分254
4.2.2向量值函数空间C1(I;X)和Cm;1(I;X)256
4.2.3向量值函数的弱可测和强可测257
4.2.4Pettis积分和Bochner积分258
4.2.5函数空间Lp(I;X)和Wm;p(I;X)259
习题4.2 266
4.3Fourier方法267
4.3.1抛物型方程267
4.3.2双曲型方程271
4.3.3Schr.odinger型方程273
习题4.3 274
4.4Galerkin方法274
4.4.1抛物型方程275
4.4.2双曲型方程280
4.4.3Schr.odinger型方程286
习题4.4 290
4.5解的正则性291
4.5.1抛物型方程291
4.5.2双曲型方程298
4.5.3Schr.odinger型方程302
习题4.5 303
4.6强连续半群304
4.6.1强连续半群的定义和基本性质305
4.6.2HilleYosida定理309
4.6.3摄动定理316
4.6.4对初值问题的应用317
习题4.6323
4.7解析半群324
4.7.1扇形算子和解析半群324
4.7.2对初值问题的应用333
4.7.3解的渐近性态341
习题4.7344
4.8发展型方程的半群方法345
4.8.1抛物型方程345
4.8.2双曲型方程347
4.8.3Schr.odinger型方程350
习题4.8 353
4.9抛物型方程的C1理论和Lp理论353
4.9.1R×Rn上各向异性的伸缩和相关问题354
4.9.2R×Rn上各向异齐次的奇异积分算子和各向异性的Mihlin乘子357
4.9.3热传导方程的先验估计363
4.9.4抛物型方程的C1理论和Lp理论374
4.9.5抛物型方程的极值原理379
习题4.9 381
4.10热传导方程的初值问题382
习题4.10 394
4.11波动方程的初值问题396
习题4.11 414
4.12Schr.odinger方程的初值问题414
习题4.12 421
第5章线性偏微分方程的一般理论422
5.1无解的线性偏微分方程422
习题5.1 432
5.2可解的线性偏微分算子433
5.2.1常系数偏微分算子的基本解433
5.2.2常系数偏微分算子的强弱比较438
5.2.3定强偏微分算子的局部可解性445
5.2.4H主型算子的局部可解性448
5.2.5NTEBF定理简介453
习题5.2 456
5.3亚椭圆型偏微分算子457
习题5.3 466
5.4拟微分算子的基本概念467
5.4.1拟微分算子的定义467
5.4.2核函数471
5.4.3恰当支拟微分算子477
5.4.4符征的渐近展开479
习题5.4 485
5.5拟微分算子的运算和性质485
5.5.1转置、共轭和复合486
5.5.2亚椭圆型算子的拟逆488
5.5.3拟微分算子的Hs有界性491
5.5.4Goarding不等式494
习题5.5 496
5.6微局部分析和奇性传播定理497
5.6.1问题的提出497
5.6.2波前集的定义与性质501
5.6.3奇性传播定理508
习题5.6 516
5.7高阶双曲型方程的初值问题517
习题5.7 527
5.8高阶椭圆型方程的边值问题528
5.8.1半空间上的Dirichlet边值问题528
5.8.2有界区域上的Dirichlet边值问题539
习题5.8 546
参考文献547
索引552
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