目录 序 前言 Préface et remerciements Chapitre 1 Dérivation et développements limités 1 1.1 Nombre dérivé en un point 2 1.1.1 Définition 2 1.1.2 Interprétations graphique et cinématique 4 1.1.3 Développement limité d’ordre 15 1.2 Fonction dérivée 6 1.2.1 Définition 6 1.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables 7 1.2.3 Dérivée d’une bijection réciproque 14 1.2.4 Dérivées successives et formule de Leibniz1 5 1.3 étude globale des fonctions dérivables à valeurs réelles 21 1.3.1 Caractérisation des extrema locaux 21 1.3.2 Théorème de Rolle 22 1.3.3 égalité et inégalité des accroissements finis 28 1.3.4 Application aux variations d’une fonction 32 1.3.5 Applications aux suites récurrentes de la forme un+1 = f(un) 35 1.3.6 Théorème de prolongement 36 1.4 Définition et propriétés des développements limités 40 1.5 Opérations sur les développements limités 43 1.5.1 Somme et produit 43 1.5.2 Inverse 44 1.5.3 Intégration et dérivation d’un DL 46 1.6 Formules de Taylor 48 1.6.1 Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange 48 1.6.2 Formule de Taylor-Young 50 1.6.3 Formule (ou égalité) de Taylor-Lagrange 51 1.6.4 Application aux fonctions usuelles 53 1.7 Applications des développements limités 56 1.7.1 étude des limites ou recherche d’équivalent 56 1.7.2 étude de position d’une courbe par rapport à sa tangente 58 1.7.3 Développement asymptotique et étude de position par rapport à une asymptote 58 1.7.4 Recherche d’extremum 59 1.7.5 Nature d’un point stationnaire d’une courbe paramétrée 60 1.8 Exercices 60 Chapitre 2 Espaces vectoriels de dimension finie 70 2.1 Familles de vecteurs 71 2.1.1 Famille libre 71 2.1.2 Famille génératrice 79 2.1.3 Base d’un espace vectoriel 81 2.1.4 Caractérisation d’une application linéaire par l’image d’une base 85 2.2 Dimension d’un espace vectoriel 89 2.2.1 Définition et exemples 89 2.2.2 Théorèmes de la dimension et de la base incomplète 89 2.2.3 Dimension d’un espace vectoriel et caractérisation des bases 94 2.3 Propriétés de la dimension 100 2.3.1 Dimensions d’un produit cartésien et d’une somme directe 100 2.3.2 Dimension d’un sous-espace vectoriel 102 2.3.3 Dimension d’une somme de deux espaces 104 2.3.4 Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentaires par les bases 107 2.3.5 Rang d’une famille de vecteurs 108 2.4 Théorème du rang 110 2.4.1 Définition du rang d’une application linéaire 110 2.4.2 Théorème du rang 112 2.4.3 Caractérisation des isomorphismes et des éléments inversibles de L(E) 115 2.5 Exercices 117 2.6 Annexe 122 2.6.1 Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension 122 Chapitre 3 Matrices 124 3.1 Définition d’une matrice 125 3.2 Opérations sur les matrices 126 3.2.1 Structure d’espace vectoriel 126 3.2.2 Base canonique de Mn;p(K) 127 3.2.3 Produit matriciel 129 3.2.4 Transposition 132 3.3 Matrices carrées 133 3.3.1 Algèbre Mn(K) 133 3.3.2 Matrices carrées inversibles et groupe GLn(K) 135 3.3.3 Sous-ensembles remarquables de Mn(K) 138 3.4 Matrices et applications linéaires 144 3.4.1 Définition de la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases 144 3.4.2 Propriétés élémentaires des matrices d’applications linéaires 148 3.4.3 Isomorphisme canonique de L(Kp;Kn) sur Mn;p(K) 150 3.4.4 Cas des formes linéaires : équations cartésiennes d’un hyperplan 154 3.5 Matrice d’un endomorphisme 155 3.5.1 Définition et isomorphisme de L(E) sur Mn(K) 155 3.5.2 Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base 161 3.5.3 Matrice de passage et changements de bases 162 3.6 Rang d’une matrice et opérations élémentaires 166 3.6.1 Définition du rang d’une matrice et première caractérisation 166 3.6.2 Opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) 169 3.6.3 Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang d’une matrice (ou l’inverse d’une matrice) 175 3.7 Matrices équivalentes, matrices semblables et trace d’une matrice carrée 184 3.7.1 Matrices équivalentes 184 3.7.2 Matrices semblables 185 3.7.3 Trace d’une matrice carrée et trace d’un endomorphisme 186 3.8 Exercices 189 Chapitre 4 Intégration des fonctions d’une variable réelle 196 4.1 Intégration sur un segment d’une fonction en escalier 197 4.1.1 Fonction en escalier 197 4.1.2 Intégrale sur un segment d’une fonction en escalier 200 4.1.3 Propriétés de l’intégrale 202 4.2 Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux 204 4.2.1 Fonctions continues par morceaux et approximation uniforme par des fonctions en escalier 204 4.2.2 Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux 207 4.2.3 Extension aux fonctions à valeurs complexes 209 4.2.4 Linéarité, monotonie et relation de Chasles 209 4.2.5 Valeur moyenne et inégalité de la moyenne 215 4.2.6 Cas des fonctions continues : produit scalaire usuel sur C0([a; b] ;R) et inégalité de Cauchy-Schwarz 217 4.3 Approximation de l’intégrale 220 4.3.1 Sommes de Riemann 220 4.3.2 Méthode des rectangles pour approcher une intégrale 224 4.3.3 Méthodes des trapèzes 226 4.4 Intégration et dérivation 231 4.4.1 Primitive d’une fonction continue 231 4.4.2 Fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque 232 4.4.3 Intégrale de la borne supérieure et théorème fondamental 233 4.5 Calcul d’intégrales et de primitives 236 4.5.1 Intégration par parties 236 4.5.2 Changement de variable 237 4.5.3 Cas des fonctions rationnelles 239 4.5.4 Fonctions rationnelles en sinus et cosinus 243 4.5.5 Autres exemples 247 4.6 Intégrale généralisée sur un intervalle quelconque 248 4.6.1 Définition de la convergence d’une intégrale généralisée 248 4.6.2 Propriétés élémentaires 253 4.6.3 Cas particulier des fonctions positives 255 4.6.4 Intégrales de référence 257 4.6.5 Critères de convergence pour les fonctions positives 260 4.6.6 Parties réelles et imaginaires, absolue convergence et lien avec la convergence 263 4.6.7 Bilan sur les méthodes 266 4.6.8 Extension aux fonctions continues sur un intervalle sauf en un nombre fini de points 274 4.7 Exercices 276 4.8 Annexe 283 4.8.1 Démonstration du théorème d’approximation 283 4.8.2 Compléments sur les sommes de Riemann 285 Chapitre 5 Séries numériques 287 5.1 Généralités sur les séries 288 5.1.1 Définitions et vocabulaire des séries 288 5.1.2 Convergence, divergence, divergence grossière et convergence absolue 289 5.1.3 Opérations sur les séries convergentes 292 5.2 Séries à termes positifs 293 5.2.1 Convergence, divergence et comparaison des termes généraux 293 5.2.2 Comparaison série-intégrale 297 5.2.3 Séries positives de référence 305 5.2.4 Critère de D’Alembert 307 5.3 Séries réelles 310 5.3.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes 310 5.3.2 Critère spécial pour les séries alternées 311 5.3.3 Séries et sommes réelles de référence 315 5.3.4 Bilan des méthodes d’étude des séries réelles 318 5.4 Séries complexes 322 5.4.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes 322 5.4.2 Séries complexes de référence 323 5.5 Familles sommables et théorèmes de Fubini 324 5.5.1 Notion de dénombrabilité 324 5.5.2 Familles sommables de nombres réels positifs 330 5.5.3 Séries doubles à termes positifs 334 5.5.4 Familles sommables de nombres complexes 340 5.5.5 Séries doubles complexes 344 5.6 Exercices 354 5.7 Annexe 359 5.7.1 Transformation d’Abel et critère pour les séries trigonométriques 359 5.7.2 Théorème d’associativité pour les familles sommables 364 Chapitre 6 Probabilités discrètes 368 6.1 Notion de tribu et définition d’une probabilité 369 6.2 Mesure de probabilité conditionnelle et formule des probabilités totales 376 6.3 Variable aléatoire réelle et loi de probabilité 378 6.4 Indépendance d’événements ou de variables aléatoires 381 6.5 Définition d’une probabilité discrète 383 6.6 Variables aléatoires discrètes 385 6.7 Espérance, variance et moments 389 6.8 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev 397 6.9 Sommes de variables aléatoires discrètes usuelles et indépendantes 399 6.10 Calculs d’espérance ou de variance pour des variables aléatoires indépendantes 401 6.11 Exercices 402 Chapitre 7 Fonctions convexes 406 7.1 Fonctions convexes 407 7.1.1 Définition et interprétation graphique 407 7.1.2 Caractérisation de la convexité par la pente des cordes 409 7.1.3 Caractérisation de la convexité lorsque f est dérivable 411 7.1.4 Régularité des fonctions convexes 413 7.2 Inégalités de convexité 414 7.2.1 Inégalité généralisée de convexité 414 7.2.2 Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique 416 7.3 Exercices 417 Chapitre 8 Déterminants et systèmes linéaires 418 8.1 Définition du déterminant 419 8.1.1 Formes n-linéaires, formes alternées et antisymétriques 419 8.1.2 Caractérisation des formes n-linéaires alternées et dimension de l’espace *n(E) 422 8.1.3 Définition du déterminant dans une base B et propriétés élémentaires 424 8.1.4 Caractérisation des bases de E par le déterminant 425 8.2 Déterminant d’un endomorphisme 426 8.2.1 Définition 426 8.2.2 Propriétés du déterminant et caractérisation des isomorphismes 428 8.3 Déterminant d’une matrice carrée 429 8.3.1 Définition et propriétés “simples” 429 8.3.2 Développement par rapport à une ligne ou une colonne 432 8.3.3 Opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes 433 8.3.4 Cas particulier : cas des matrices triangulaires 434 8.3.5 Lien avec le déterminant de l’application linéaire associée et conséquences 435 8.4 Systèmes d’équations linéaires 437 8.4.1 Définitions et structure des solutions 437 8.4.2 Rang d’un système linéaire et dimension de l’espace homogène associé 438 8.4.3 Cas des systèmes de Cramer et formules de Cramer 438 8.4.4 Méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système 442 8.5 Exercices 446 Chapitre 9 Espaces euclidiens 449 9.1 Produit scalaire 450 9.1.1 Définition d’un produit scalaire et exemples 450 9.1.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz, norme euclidienne et distance associée 454 9.1.3 Propriétés remarquables 456 9.2 Orthogonalité 457 9.2.1 Définitions 457 9.2.2 Propriétés des familles orthogonales 460 9.3 Espaces euclidiens 462 9.3.1 Définition 462 9.3.2 Orthogonal d’une partie et existence de bases orthonormées 462 9.3.3 Projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales 466 9.3.4 Procédé d’orthonormalisation de Schmidt 470 9.3.5 Isomorphisme naturel entre E et son dual 473 9.4 Automorphismes orthogonaux d’un espace euclidien 474 9.4.1 Définition et exemples 474 9.4.2 Caractérisations des automorphismes orthogonaux 476 9.4.3 Matrices orthogonales 478 9.5 Automorphismes orthogonaux du plan et étude des groupes O2(R) et SO2(R) 484 9.5.1 étude des groupes O2(R) et SO2(R) 484 9.5.2 Rotations du plan 486 9.5.3 Réflexions et décomposition d’une rotation en produit de deux réflexions 487 9.6 Automorphismes orthogonaux de l’espace et étude du groupe O3(R) 490 9.6.1 étude théorique 490 9.6.2 étude pratique 497 9.7 Exercices 499
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