本书主旨是以能量临界Schrodinger方程、聚焦非线性Klein-Gordon方程为范例,向读者介绍近年来非线性色散（波）方程研究中派生的Bourgain能量归纳法、陶哲轩I-团队的相互作用Morawetz估计及其局部化技术、Kenig-Merle在色散框架下发展的变分原理与刚性方法。主要涉及非线性色散方程的物理背景、Fourier分析基础及Strichartz估计、变分法与椭圆理论:基态解及其变分刻画、集中紧致原理与轮廓分解、非聚焦能量临界Schrodinger方程的整体适定性与散射理论、聚焦能量临界Schrodinger方程及非线性Klein-Gordon方程的散射理论。与此同时,以评述的形式给出其他非线性色散方程的研究进展及相关参考文献。希望通过本书使青年学者掌握如何用现代分析,特别是调和分析来研究非线性色散方程,尽快进入该研究领域的前沿。
样章试读
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《现代数学基础丛书》序
前言
第1章 非线性色散方程的物理背景 1
1.1 非线性色散方程的特征 1
1.2 半线性色散方程分类 2
1.3 Schr.dinger群的色散分析 6
1.4 其他色散方程 11
第2章 Fourier分析基础与Strichartz估计 12
2.1 驻相分析与相空间上的调和分析基础 12
2.1.1 Fourier变换与Littlewood-Paley投影算子 12
2.1.2 仿积与仿微分算子 21
2.1.3 奇异积分算子 30
2.1.4 驻相分析 31
2.2 Strichartz估计 35
2.2.1 TT方法及经典Strichartz估计 36
2.2.2 双线性Strichartz估计 39
2.2.3 若干额外Strichartz估计 47
2.3 非线性色散方程的局部分析 51
2.3.1 Hs-临界Schr.dinger方程的局部适定性 55
2.3.2 质量临界Schr.dinger方程解的稳定性问题 60
2.3.3 能量临界Schr.dinger方程的稳定性问题 64
第3章 椭圆理论：基态及其变分刻画 76
3.1 变分原理、基态解 76
3.1.1 稳态解的构造与强制性 77
3.1.2 变分方法与基态解 82
3.1.3 最佳Gagliardo-Nirenberg不等式 98
3.2 变分导数与Lagrange泛函 102
3.2.1 Pohozaev恒等式 104
3.2.2 预备引理与问题的转化 106
3.2.3 次临界情形：21<p<21 111
3.2.4 临界情形：p=21 115
3.2.5 区域分解的不变性 118
第4章 集中紧致原理与轮廓分解 122
4.1 集中紧致原理的初等分析 122
4.1.1 p（N）空间中的轮廓分解 124
4.1.2 Lp（Rd）-紧性刻画与Fatou定理 136
4.2 Sobolev紧性亏损的轮廓分解刻画 143
4.3 Schr.dinger方程轮廓分解及Strichartz紧性亏损 159
4.3.1 H1集中紧性及其对应的轮廓分解刻画 162
4.3.2 L2集中紧性及其对应的轮廓分解刻画 173
第5章 非聚焦型能量临界Schr.dinger方程的整体适定性与散射理论 178
5.1 主要结果与证明策略 178
5.1.1 主要定理与证明分析 180
5.1.2 局部守恒律 188
5.2 局部适定性及稳定性分析 191
5.2.1 五线性Strichartz估计 195
5.2.2 局部适定性与扰动理论 198
5.3 整体时空估计的证明框架 201
5.3.1 能量归纳——起步阶段 201
5.3.2 解的局部化控制 205
5.3.3 局部化的Morawetz估计 210
5.3.4 能量的非聚积现象 216
5.4 物理与频率的非局部化与时空范数的控制估计 217
5.4.1 某个时刻的频率非局部化=时空有界 217
5.4.2 在某一时刻势能（L6x范数）的小性=时空有界 221
5.4.3 任意时刻能量在物理空间中聚积 225
5.4.4 某个时刻在物理空间的非局部化=时空有界 227
5.4.5 逆向Sobolev不等式 235
5.5 Virial恒等式与相互作用的Morawetz位势 236
5.5.1 Virial恒等式 237
5.5.2 相互作用Virial恒等式与广义相互作用Morawetz估计 239
5.6 相互作用的Morawetz估计及其派生的技术 242
5.6.1 相互作用的Morawetz框架与平均方法 242
5.6.2 相互作用Morawetz估计-Strichartz控制性估计 255
5.6.3 相互作用的Morawetz：余项的估计 259
5.6.4 相互作用Morawetz：双Duhamel技术 262
5.7 阻止能量抽空现象 270
5.7.1 研究框架与反证法 270
5.7.2 高频、中频与低频的时空估计 273
5.7.3 局部化L2质量增量的控制.279
第6章 聚焦型能量临界Schr.dinger方程 287
6.1 问题的归结及主要结果 288
6.2 几乎周期解的归结 298
6.3 三种特殊类型的爆破解 313
6.4 有限时刻爆破解 321
6.5 整体几乎周期解 324
6.5.1 低频-高频的cascade性质 335
6.5.2 孤立子解 336
6.6 爆破机制与能量聚积现象 342
6.6.1 爆破机制 342
6.6.2 爆破点的聚积现象 345
第7章 非线性Klein-Gordon方程的散射理论 356
7.1 问题的提出、比较与直观视角 356
7.2 变分导数估计与爆破刻画 364
7.2.1 变分导数估计 364
7.2.2 爆破机制 368
7.3 Klein-Gordon方程整体时空估计.371
7.3.1 非线性Klein-Gordon方程转化成标准的色散方程 371
7.3.2 Strichartz估计 372
7.3.3 Strichartz范数意义下的整体扰动理论 382
7.4 Klein-Gordon方程轮廓分解 396
7.4.1 线性轮廓分解 396
7.4.2 非线性轮廓分解 413
7.5 临界元的抽取方法与PS条件 431
7.6 临界元的排除 434
7.6.1 临界元的紧性 434
7.6.2 临界元具有零动量 439
7.6.3 排除临界元 441
参考文献 446
名词索引 458
《现代数学基础丛书》已出版书目 460
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