本书系统深入地介绍了反常扩散和输运过程的机制、模型及数值模拟方法，全书共12章。其内容包括随机变量和概率分布、演化方程、反常扩散现象、非各态历经随机运动、含非欧姆摩擦的广义朗之万方程、连续时间无规行走、分数阶微积分、分数阶朗之万方程、分数阶福克尔-普朗克方程、莱维飞行、非广延统计力学和数值算法。用非传统的模型与方法处理反常现象，例如，引入了分数阶微积分、连续时间无规行走等几个新技术，同时又能过渡到正常扩散；也关注一些新近实验感兴趣的课题，例如，小系统热力学、老化问题、反常热传导等。 本书力求理论上来龙去脉清楚，基础与前沿兼顾，包含了作者的研究成果。以助从事随机动力学的科技人员扩大视野、创建模型，也可供高等学校物理、化学、核科学、生物、系统科学、应用数学等专业的本科生和研究生学习热力学与统计物理、非平衡态统计物理、随机过程、数学选讲参考之用。
样章试读
目录
第1章 随机变量和概率分布
1.1 统计动力学的任务
1.2 一般定义
1.3 无规行走、正常扩散
1.4 平均
1.5 中心极限定理
1.5.1 正常中心极限定理
1.5.2 宽分布的中心极限定理
1.5.3 中心极限定理的物理价值
1.6 马尔可夫过程
1.6.1 稳定马尔可夫过程的定义
1.6.2 Ornstein-Uhlenbeck过程
1.6.3 几点注意
1.7 宏观过程不可逆性的统计基础
1.7.1 马尔可夫层级关系
1.7.2 概率假设的时间之箭
习题
第2章 演化方程
2.1 从微观动力学到宏观分布函数
2.1.1 微观动力系统
2.1.2 海森伯绘景和薛定谔绘景
2.2 Chapman-Kolmogorov方程
2.2.1 Chapman-Kolmogorov方程的推导
2.2.2 两个简单的马尔可夫过程
2.3 微分Chapman-Kolmogorov方程
2.4 确定性过程和刘维尔方程
2.5 跳跃过程和主方程
2.6 扩散过程和福克尔-普朗克方程
2.7 刘维尔主方程
2.8 一些具体的马尔可夫过程
习题
第3章 反常扩散现象
3.1 宽分布导致超扩散
3.1.1 莱维飞行和物理应用
3.1.2 洛伦兹气体中几何诱发反常扩散
3.1.3 聚合物吸附和自消除莱维飞行
3.2 长等待时间诱发欠扩散
3.2.1 晶格上的无规行走
3.2.2 梳状结构中的扩散
3.2.3 间歇动力系统中的反常扩散
3.2.4 反常扩散实验
3.3 长程关联
3.3.1 关联的实用性
3.3.2 极限分布的形状
3.3.3 几何关联和反常扩散
3.3.4 扩散行为
3.4 俘获、位垒和无规力
3.4.1 模型
3.4.2 电子和力学问题的等价性
3.4.3 随机场伊辛模型的应用
3.5 分数阶布朗运动
第4章 非各态历经随机运动
4.1 涨落耗散定理与扩散系数
4.2 各态历经判据
4.2.1 Brinkhoff判据
4.2.2 Khinchin判据
4.2.3 Lee判据
4.2.4 内在判据和外在表现
4.3 牛顿和朗之万之间的动力学
4.4 弹道扩散
4.5 局域化
4.5.1 阻尼陷阱
4.5.2 气体分子与固体表面相互作用
4.6 外场下的两类非各态历经运动
4.6.1 简谐速度噪声
4.6.2 渐进态依赖于初始速度准备
4.6.3 渐进态依赖于初始坐标准备
4.7 系统加热库模型的推广
4.7.1 独立振子模型
4.7.2 FKM模型
4.7.3 Rubin模型
习题
第5章 含非欧姆摩擦的广义朗之万方程
5.1 二次动力学和老化问题
5.1.1 拉普拉斯变换方法
5.1.2 非欧姆朗之万模型中的噪声和摩擦
5.1.3 粒子速度：一次时间特性
5.1.4 速度关联函数
5.1.5 粒子位移的老化
5.1.6 等时关联函数和时间有关的扩散系数
5.2 涨落与耗散之比
5.3 倾斜周期势中的反常输运
5.3.1 动力学模型
5.3.2 欧姆阻尼情形下的波包劈裂
5.3.3 欠欧姆阻尼情形下的准周期振荡现象
5.3.4 超欧姆阻尼情形下的态转换
5.4 应用举例
5.4.1 反常热传导
5.4.2 位垒通过问题
5.4.3 棘轮整流反常扩散
习题
第6章 连续时间无规行走
6.1 醉汉格子行走
6.2 经典无规行走
6.3 时空非马尔可夫性
6.3.1 广义主方程
6.3.2 分布密度函数
6.3.3 非马尔可夫扩散方程
6.4 分数阶扩散方程
6.5 关联连续时间无规行走
6.5.1 耦合朗之万方程
6.5.2 标度分析
第7章 分数阶微积分
7.1 Grünwald-Letnikov分数阶导数
7.1.1 整数阶导数和积分的统一
7.1.2 任意分数阶积分
7.1.3 任意分数阶导数
7.1.4 黎曼-刘维尔分数阶导数
7.2 分数阶导数的性质
7.3 举例
7.3.1 从整数阶导数到分数阶导数
7.3.2 半阶导数和积分
7.4 分数阶导数的拉普拉斯和傅里叶变换
7.4.1 拉普拉斯变换
7.4.2 傅里叶变换
7.5 分数阶常微分和偏微分方程的解析解
7.5.1 线性分数阶常微分方程
7.5.2 线性分数阶偏微分方程
7.6 分数阶微积分的应用
7.6.1 分数阶力学
7.6.2 分数阶微积分的物理解释
7.6.3 分数阶微积分的实现
习题
第8章 分数阶朗之万方程
8.1 分数阶振子和分数阶速度
8.1.1 分数阶振子动力学
8.1.2 总能量和相平面表示
8.2 分数阶朗之万方程的建立
8.2.1 一般解
8.2.2 α=1/2和α=3/4的例子
8.3 过阻尼和欠阻尼的定义
8.4 对一个外部信号的响应
8.5 金融市场的分数阶朗之万记忆模型
8.5.1 利润
8.5.2 分数阶无规行走
8.5.3 分数阶随机方程
8.6 分数阶统计
8.6.1 分数阶朗之万方程的各种解
8.6.2 市场活动作为一个不规则过程
8.7 分数阶资产动力学
8.7.1 分数阶随机动力学模型
8.7.2 价格增量涨落分布
8.7.3 与现实数据的比较
习题
第9章 分数阶福克尔-普朗克方程
9.1 接近热平衡的反常扩散和弛豫
9.2 分数阶福克尔-普朗克方程、解及其应用
9.2.1 分数阶福克尔-普朗克方程的引入
9.2.2 积分变换法
9.3 应用举例
9.3.1 d维分数阶自由扩散
9.3.2 偏压分数阶维纳过程
9.3.3 分数阶首次通过时间
9.4 逆莱维变换与连续时间无规行走的关系
9.5 分数阶克拉默斯方程
9.6 广义Chapman-Kolmogorov方程
9.6.1 布朗运动情况
9.6.2 速度变量积分
9.6.3 分数阶瑞利方程
9.7 捕获所产生的慢输运过程
9.7.1 分数阶克莱因-克拉默斯方程
9.7.2 莱维行走及其推广：具有莱维型轨道的放大输运
9.7.3 莱维漫游：在小波数极限下的欠弹道游动
9.8 莱维飞行：超越有限矩的随机运动
9.9 评注
第10章 莱维飞行
10.1 莱维飞行的特性
10.2 自由莱维飞行
10.3 常量力下的漂移和加速度
10.4 线性力和非吉布斯稳态解
10.4.1 朗之万方程的解
10.4.2 分离变量方法
10.4.3 有效时间
10.5 非线性振子势中的莱维飞行
10.5.1 实空间方程
10.5.2 傅里叶空间的方程
10.6 解析结果
10.6.1 布朗运动(α=2)
10.6.2 简谐莱维振子
10.6.3 四次柯西振子
10.6.4 非谐莱维振子
10.7 微扰方法
10.7.1 分叉时间的存在
10.7.2 c>2的稳定解非单一峰的证明
10.7.3 稳定解的幂律渐近形式
第11章 非广延统计力学
11.1 Tsallis熵和Tsallis分布
11.1.1 非加性熵和非广延统计
11.1.2 可加性与广延性
11.1.3 q-指数统计分布
11.1.4 更一般约束下的分布
11.1.5 分数阶媒介中的扩散
11.2 反常扩散的热力学
习题
第12章 数值算法
12.1 噪声产生器
12.1.1 离散傅里叶变换产生任意色噪声
12.1.2 时间关联噪声的模拟
12.2 广义朗之万方程的数值模拟
12.2.1 非欧姆摩擦情况
12.2.2 利用傅里叶变换产生任意关联色噪声的数值算法
12.2.3 粒子在非欧姆阻尼环境中的扩散
12.3 随机关联势
12.4 分数阶导数和分数阶微分方程的数值算法
12.5 连续时间无规行走的蒙特卡罗模拟
12.5.1 CTRW模型及其数值实现
12.5.2 有势情况下的CTRW
附录A Mittag-Leffler函数
A.1 单参数Mittag-Leffler函数
A.2 两参数Mittag-Leffler函数
A.3 Mittag-Leffler函数的拉普拉斯变换
A.4 Mittag-Leffler函数的分数阶导数
A.5 Wright函数
附录B Fox H函数
附录C 莱维分布的一些注释和基于Fox函数的精确表示
附录D α稳定随机变量的注记
参考文献
索引
《现代物理基础丛书》已出版书目]]>
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