本书从五个不同的侧面，介绍现代分析入门的基础理论及其应用。主要讲述三类抽象空间（距离空间、赋范线性空间、内积空间）的结构及性质、有界线性算子与有界线性泛函的基本理论、凸分析初步、抽象分析初步、非线性分析初步等内容。
样章试读
目录
第1 章三类抽象空间的结构及性质 1
1.1 距离空间的结构及性质 1
1.1.1 距离空间的定义与例子 1
1.1.2 距离空间中的点集构造 4
1.1.3 稠密与可分 6
1.1.4 完备性与完备化 8
1.1.5 稀疏与纲定理 11
1.1.6 列紧与紧 13
1.1.7 距离空间基础训练与拓展 16
1.2 赋范线性空间的结构及性质 19
1.2.1赋范线性空间与Banach空间的定义与例子 19
1.2.2 赋范线性空间中的级数与基 25
1.2.3 子空间、乘积空间与商空间 27
1.2.4 线性拓扑同构与范数等价 29
1.2.5 有限维赋范线性空间的特性 31
1.2.6 赋范线性空间基础训练与拓展 33
1.3 内积空间的结构及性质 36
1.3.1内积空间与Hilbert空间 36
1.3.2 正交与正交分解 41
1.3.3正交系与Fourier级数 43
1.3.4可分Hilbert空间的模型 48
1.3.5 内积空间基础训练与拓展 49
第2 章有界线性算子与有界线性泛函 53
2.1 有界线性算子 53
2.1.1 线性算子有界与连续 53
2.1.2 有界线性算子范数与有界线性算子空间 55
2.1.3 有界线性算子基本定理 60
2.1.4 有界线性算子基础训练与拓展 67
2.2 有界线性泛函 71
2.2.1 有界线性泛函表示 71
2.2.2 有界线性泛函延拓 75
2.2.3几何形式的Hahn-Banach定理 79
2.2.4 各种收敛性 81
2.2.5 共轭算子与值域定理 84
2.2.6 有界线性泛函基础训练与拓展 87
2.3 Banach 代数与谱理论入门 89
2.3.1 Banach 代数可逆元 90
2.3.2 Banach 代数中元素的谱 92
2.3.3 有界线性算子的谱点分类 94
2.3.4 紧线性算子谱理论初步 97
2.3.5 Banach 代数与谱理论入门基础训练及拓展 103
第3 章凸分析初步 106
3.1 凸集与凸锥 106
3.1.1 凸集理论初步 106
3.1.2半范数与Minkowski泛函 110
3.1.3 凸锥理论初步 113
3.1.4 凸集与凸锥基础训练及拓展 115
3.2 局部凸拓扑线性空间 115
3.2.1 拓扑线性空间 115
3.2.2 局部凸空间 120
3.2.3 凸集分离定理 122
3.2.4 凸集的端点 125
3.2.5弱拓扑与弱*拓扑 127
3.2.6 自反空间 129
3.2.7 局部凸拓扑线性空间基础训练与拓展 132
3.3 凸范数与凸函数 134
3.3.1 严格凸与一致凸范数 134
3.3.2 凸函数及其基本性质 141
3.3.3 凸函数的共轭函数 144
3.3.4 凸范数与凸函数基础训练及拓展 146
第4 章抽象分析初步 148
4.1 复测度与复积分 148
4.1.1 正测度、实测度与复测度 148
4.1.2 复函数关于正测度的积分 151
4.1.3测度的绝对连续性及Radon-Nikodym定理 154
4.1.4复测度的极表示及Hahn分解定理 157
4.1.5 Lp 上有界线性泛函表示 159
4.1.6 复测度与复积分基础训练及拓展 160
4.2 Bochner 积分与向量测度 162
4.2.1 向量值可测函数 162
4.2.2Bochner积分 164
4.2.3 向量测度 166
4.2.4Radon-Nikodym性质与Riesz表示 171
4.2.5Bochner积分与向量测度基础训练及拓展 176
4.3 自伴算子与谱积分 180
4.3.1 自伴算子 180
4.3.2 正算子 185
4.3.3 投影算子 187
4.3.4 自伴算子产生的谱系及谱分解定理 191
4.3.5 谱测度与谱积分 194
4.3.6 自伴算子与谱积分基础训练及拓展 199
第5 章非线性分析初步 202
5.1 Banach 空间上的抽象微分学初步 202
5.1.1F微分与G微分 202
5.1.2 n 线性算子与高阶导数 211
5.1.3无限维空间上的Taylor公式 216
5.1.4 抽象微分学基础训练与拓展 217
5.2 非线性映射不动点 218
5.2.1 连续映射与同胚 218
5.2.2 压缩映射原理 220
5.2.3 压缩映射原理在方程求解中的应用 223
5.2.4紧映射与Schauder不动点定理 227
5.2.5 不动点定理综合应用 230
5.2.6 非线性映射不动点基础训练与拓展 233
5.3 泛函极值初步 235
5.3.1 极值概念与可微性条件 235
5.3.2 条件极值 240
5.3.3 泛函极值存在的下半弱连续条件 243
5.3.4最速下降法与泛函极值存在的(PS)条件 246
5.3.5 泛函极值初步基础训练与拓展 249
参考文献 251]]>
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