本书是为编者所编写的《概率论与数理统计》教材的配套学习辅导资料。本书旨在为使用该教材的读者，更好的学习和理解该学科的知识和内容，提高学习和理解的效率而作。作为和主教材配套使用的辅助资料，本书的内容和主教材完全对接，共分为九章。其中的第一章到第五章为概率论部分，第六章到第九章为数理统计部分。
样章试读
目录
内容简介
一、随机事件
１ 随机试验与样本空间
具有下列三个特性的试验称为随机试验 :
(１)
试验可以在相同的条件下重复地进行 ;
(２)
每次试验的可能结果不止一个 ,但事先知道每次试验所有可能的结果 ;
(３)每次试验都会出现上述可能结果中的某一个 ,但事先不能确定哪一个结果会出现．试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间 ,用Ω表示 ,每一个结果称为
样本空间中的样本点 ,记作 ω．２ 随机事件样本空间 Ω的任一子集称为随机事件 (简称事件 )记作 Ω)
不可能事件 (记作 .)看作特殊的随机事件． 通常把必然事件 (与３ 事件的关系及运算
(１)事件的包含
:若事件 A发生必然导致事件 B发生 ,则称事件 B包含事件 A,记作 A.B(或B.A)．
(２)事件的相等
:若两事件 A与B相互包含 ,即 A.B且B.A,则称事件 A与事件 B相等 ,记作 A＝B．
(３)和事件
:事件 A与事件 B至少发生一个的事件称为事件 A与事件 B的和事件,记作 A∪B;A２, ,An
n个事件 A１,中至少有一个事件发生的事件称为 A１,
n
A２, ,An的和 ,记作 A１∪A２∪ ∪An(简记为 ∪Ai )．
＝
(４)积事件 :事件 A与事件 B的积事件 ,记作 A∩B(简记为 An个事件 A１,２ AA, , 事件A与事件B同时发生的事件称i为１
B);A, ,n同时发生的事件称为 A１,２
n
An的积事件 ,记作 A１∩A２∩ ∩An(简记为 A１A２ An或∩Ai)．
＝
(５)互不相容事件 :即 AB＝.,那么称事件若事件A和事件B不能同时发生,１i
A与事件 B互不相容 (或互斥 );若n个事件 A１,A２, ,An中任意两个事件不能同时发生 ,即AAj＝. (１≤ i＜j≤n),则称事件 A１,A２, ,An两两互不相容．
(６)对立i事件 :若事件 A和事件 B满足 A∪B＝Ω,A∩B＝. ,则称事件 A与事件B是对立的 事件 A的对立事件 (或逆事件 )记作 A．
(７)差事件
:若事件 A发生且事件 B不发生 ,则称这个事件为事件 A与事件 B的差事件 ,记作 A－B(或AB或A－AB)．
(８)事件的运算律
:①交换律 对任意两个事件 A和B有
A∪B＝B∪A, A∩B＝B∩A;
②结合律 对任意事件 A,C有
B,A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C, A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C;
③分配律 对任意事件 A,C有
B,(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C);
④德 摩根 (DeMorgan)律 对任意事件 A和事件 B有
A∪B＝A∩B,
A∩B＝A∪B．
二、频率与概率
１ 频率的定义若随机事件 A在n次重复试验中发生了 nA次,则称 n为事件 A在这 n次试验
A
中发生的频数 ,称f(A)nA为事件 A在这 n次试验中发生的频率．
n＝ n
２ 概率的统计定义
在相同的条件下 ,重复进行 n次试验 ,如果随着试验次数的增大 ,事件 A出现的频率 fn(A)稳定地在某一确定的常数 p附近摆动 ,则称常数 p为事件 A发生的概率．记为 P(A)＝p,这个定义称为概率的统计定义．
３ 概率的古典定义
具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型 :
１)试验的样本空间 Ω是个有限集 ,不妨记作 Ω＝{ω１ ω
n
(２)在每次试验中 ,每个样本点 ωi(＝２, ,)发生的概率相同 ,即
P(ω１)P(n．
)n
(i１,, ,},;
＝ ＝ ω
在古典概型中 ,规定事件 A的概率为
nA A中基本事件的个数
P(A)＝ n＝ Ω中基本事件的个数．
４ 概率的几何定义
如果随机试验的样本空间是一个区域 (可以是直线上的区间、平面或空间中的区域),且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性 ,那么规定事件 A的概率为 ５ P(A)＝ A的长度 (面积或体积 )P．(A)
概率的公理化定义样本空间的长度 (面积或体积 )
设随机试验的样本空间为 Ω,随机事件 A是Ω的子集 ,是实值函数 ,若满
足下列三条公理．
公理１ (非负性 ) 对于任一随机事件 A,有P(A)≥０．
公理２ (规范性 ) 对于必然事件 Ω,有P(Ω)＝１．
公理３ (可列可加性 ) 对于两两互不相容的事件 A１,A２, ,Ai, ,有
P∪１ Ai＝ ∑P(Ai),
i＝１
则称 P(A)为随机事件 A的概率(i．＝∞ )∞ ６ 概率的性质
性质１ P(.)＝０．
n
性质２ 若A１,A２, ,An两两互不相容 ,则P( ∪Ai)＝ ∑P(Ai)．
i＝１ ni＝１
性质３ 若A为A的对立事件 ,则P(A)＝１－P(A)．
性质４ 若B.A,则P(A－B)＝P(A)－P(B)且P(A)≥P(B)．
性质５ 对任意两个事件 A,
B有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
三、条件概率与乘法公式
(１)条件概率 :设 A,B为随机试验 E的两个随机事件 ,Ω为样本空间 ,如果
P(B)＞０ ,称 P(A|B)＝P(AB)
P(B)为在事件 B发生的条件下事件 A发生的条件概率．
(２)乘法公式
:对于任意两个事件 A与B,有
P(AB)＝P(A|B)P(B), P(B)＞０ ,
P(AB)＝P(B|A)P(A), P(A)＞０．
(３)事件的独立性
:B为两个事件 ,A＝ A)B),
设A,如果 P(B)P(P(则称事件 A与事件 B相互独立．一般地 ,设A１,A２, ,An是n个事件 ,若对于其中任意 k个事件 Ai１,Ai２, ,
Ai(１＜ik≤n),都有
k１≤ i２＜ ＜ i
P(AiAi Ai)＝P(Ai)P(Ai) P(Ai),
１２ k１２ kn
则称事件 A１,A２, ,An相互独立．这里实际上包含了２－n－１个等式．
四、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式 设Ω是随机试验 E的样本空间 ,B为Ω中的一个事件 ,A１, ,An为Ω的一个划分 ,且P(i)＞０ (＝２, ,),
Ai１,n则
n
P(B)＝ ∑P(Ai)P(B|Ai)．
＝
贝叶斯 (Bayes)公式 设Ω是随机i试１验E的样本空间 ,A１, ,An为Ω的一个划分,且P(Ai)＞０ (＝２, ,B为Ω中的任一事件 ,B)＞０ ,则
i１,n), P(
＝P(Aj)P(B|Aj) ２, ,．
P(Aj|B)P(Ai)P(B|Ai), j＝１,n
n
∑
i＝１
五、伯努利概型与二项概率公式
若A为试验 E的事件 ,P(A)＝p,在相同的条件下 ,重复地做 n次试验 ,且各试验及其结果都是相互独立的 ,称这一类试验为 n重伯努利试验 ,或n重伯努利概型．设在一次试验中事件 A出现的概率为 p(０＜ p＜１ ),在n重伯努利试验中 ,事件
A恰好出现 k次的概率为 Pn(knp１p)k０,２, ,),
k)＝C k (－n－k (＝１,n这个公式称为二项概率公式．
习题１详解
１ 写出下列随机试验的样本空间 :
(１)抛三枚硬币
,观察出现的正反面的情况 ;
(２)抛三颗骰子
,观察出现的点数 ;
(３)
连续抛一枚硬币 ,直到出现正面为止 ;
(４)在某十字路口
,观察一小时内通过的机动车辆数 ;
(５)
观察某城市一天内的用电量．解 (１)Ω＝{(０,０,０),(０,０,１),(０,１,０),(１,０,０),(０,１,１),(１,０,１),(１,１,０),
(１,１,１)},,共含有２３＝８个样本点 ,其中０表示反面 ,１表示正面． (x,):y,含有６３２１６个样本点．
２)Ω＝{(y, x,＝１,２,３,４,５,６},,＝
(３)Ω＝{,１),,１),(０,０,０,１), },,含有可列个样本点 ,其中０表示 (１),(０z(０,０z
反面 ,１表示正面．
(４)
Ω＝{０,１,２, },,含有可列个样本点．
(５)
Ωtt含有无穷个样本点．
＝{|≥０ },,２ 某工人生产了 n个零件 ,以事件 Ai表示他生产的第 i个零件是合格品 (１≤ i ≤n),用A表示下列事件 :
(１)没有i一个零件是不合格品 ;
(２)
至少有一个零件是不合格品．
解 (１)∩Ai, (２)∩Ai＝∪ Ai．
ni＝１ ni＝ni＝１
３ 设A,且１A)０P(－＝ ４ ,A．
B是两个事件 ,P(＝ ７ ,AB)０求P(B)
解 由于 A－B＝A－AB,且AB.A,所以 P(A－B)＝P(A)－P(AB),于是
P(AB)＝P(A)－P(A－B)＝０ ７－０ ４＝０ ３ ,
因此
P(AB)＝１－P(AB)＝１－０ ３＝０ ７．
４ 设A,证明 P(B)１P(－B)＋P(AB)
B是两个事件 ,A＝－A)P( ．
证 法一 因P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB),故
P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)
＝ [１－P(A)]＋ [１－P(B)]－[１－P(A∪B)]
＝１－P(A)－P(B)＋P(A∪B)
A
＝１－P(A)－P(B)＋P( B)．
法二 P(AB)＝１－P(AB)＝１－P(A∪B)
＝１－[P(A)＋P(B)－P(AB)]P(A) B)
＝１－－P(B)＋P(A ．５ 已知１０个灯泡中有７个正品３个次品 ,从中不放回地抽取两次 ,每次取一个灯泡 ,
(１)求取出的两个灯泡都是正品的概率 ;
(２)
取出的两个灯泡都是次品的概率 ;
(３)取出一个正品
,一个次品的概率 ;
(４)
第二次取出的灯泡是次品的概率．
解 (１)７×６＝７; (２)３×２＝１;
１０×９１５ １０×９１５
１
(３)C２×７×３＝７; (４)７×３＋３×２＝３
１０×９１５ １０×９１０．
６ 某班有３０个同学 ,其中８个女同学 ,随机地选１０个,求
(１)正好有２个女同学的概率 ;
(２)
最多有２个女同学的概率;
(３)
至少有２个女同学的概率．
２８１０;(１０１９２８)/C１０;(１０１９)/C１０
解 (１)C８C２２/C３０ ２)(C２２＋C８C２２＋C８C２２ ３０ ３)１－(C２２＋C８C２２ ３０．７ 将３个球随机地投入到５个盒子中,求
(１)有３个盒子中各有１个球的概率;
(２)３个球放入１个盒子中的概率;
(３)１个盒子中有２个球,另１个盒子中有１个球的概率．
３３１１２１
A５C５×３!１２C５１C５×C３×C４１２
解 (１)５３＝ ５３＝２５; (２)５３＝２５; (３)５３＝２５．
８ 在１１张卡片上分别写上engine
ring这１１个字母,从中任意连抽６张,求依次排列结果为ginger的概率．
１１１１１１
C２C２C３C１C３C１ １２２３１３１１解 所求概率为 A６＝９２４０或１１×１０×９×８×７×６＝９２４０．９ (抽奖券问题)设某超市１１有奖销售,投放n张奖券只有１张有奖,每位顾客可
抽１张,求第k位顾客中奖的概率(１≤k≤n)．解 记A＝{第k位顾客中奖},,抽奖券为不放回抽样,则
k－１
－×１ n１)nk＋１)×１
P(A)＝An１k ＝(×－(× ×× (×－(＝１ ．
An－１)n－k＋１)n１０ (人(n问至少有两个人的生日在同一天
生日问题)设某班级有n个nn≤３６５),的概率是多大?解 假定一年按３６５天计算,每个人的生日在３６５天中的任一天是等可能的,令
n个人中至少有两个人的生日相同},,n个人的生日全不相同},,则
A＝{B＝{C３６５ n!
P(A)＝P(B)＝１－P(B)＝１－n３６５n．
１１ 某公共汽车站从上午７时起,每隔１５min有一辆公共汽车通过,现有一乘客在７:００到７:３０之间随机到站候车．求
(１)
该乘客候车时间小于５min的概率;
(２)
该乘客候车时间超过１０min的概率．１)２)B,
解 用T表示该乘客到达时刻,设问题(和(涉及事件为A,则
Ω＝{７:００＜T＜７:３０},,
A＝{７:１０＜T＜７:１５或７:２５＜T＜７:３０},,
B＝{７:００＜T＜７:０５或７:１５＜T＜７:２０},,
则
m(A)１０１m(B)１０１
P(A)＝ m(＝３０＝B)＝ m(＝３０＝３．
Ω)３,P(Ω)]]>
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