本书介绍了常微分方程理论中一些必备的基础知识, 内容包括常微分方程的初等积分法、解的存在唯一性、解关于初值和参数的连续依赖性和连续可微性、解析微分方程解析解的存在性及其应用、微分方程组的可积理论及其在求解偏微分方程中的应用、常系数线性微分方程和微分方程组的解法及其在平面微分方程组局部结构研究上的应用、变系数线性微分方程组的Floquet理论、Sturm-Liouville边值问题及其在波动方程和热传导方程求解中的应用、微分方程解的稳定性判定、极限环存在性的基础知识, 并简要介绍了结构稳定性和分支理论的基础知识。 书中还介绍了如何利用Mathematica软件求解微分方程和作平面微分系统的相图。 书末给出Ascoli-Arzelà引理的初等证明和实矩阵对数存在性的证明。
样章试读
目录
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第1章常微分方程的基础知识
11.1常微分方程的基本概念
11.1微分方程和解
11.2微分方程和解的例子4
1.3微分方程解的几何解释、存在和唯一性6
1.4实际问题模型的推导9
1.2初等积分法13
2.1恰当方程13
2.2积分因子法16
2.3几类可转化为恰当方程的微分方程20
2.4一阶隐式微分方程25
2.5高阶微分方程29
2.6Mathematica求解常微分方程32
习题134
第2章一阶微分方程解的存在性和唯一性38
2.1预备知识：距离空间与压缩映射原理38.
1.1距离空间38.
1.2压缩映射原理42
2.2解的存在与唯一性:Picard定理43
2.3解的存在性：Peano定理47
2.4解对初值和参数的连续依赖性51
2.5一阶线性微分方程解的理论53
习题258
第3章高阶微分方程和微分方程组的解的理论60
3.1高阶微分方程和微分方程组:解的存在唯一性和可微性60
3.2解析微分方程组的解析解65.
2.1解析解的局部存在性65.
2.2解析线性微分方程组幂级数解的收敛半径68.
2.3解析解理论的应用:二阶变系数线性齐次微分方程的幂级数解法70
3.3微分方程可积理论76.
3.1可积的基础理论：首次积分的存在性及其与通解的联系79
3.2首次积分在偏微分方程求解中的应用86.
3.3Hamilton系统可积理论初步93
习题399
第4章线性微分方程组和高阶线性微分方程的基本理论和解法103
4.1线性微分方程组解的基本理论103.
1.1线性微分方程组解的存在区间104.
1.2线性微分方程组通解的结构105.
1.3高阶线性微分方程通解的结构112
4.2常系数线性微分方程组的解法117.
2.1矩阵指数函数与常系数线性微分方程组的解117.
2.2常系数线性齐次微分方程组基解矩阵的求法119.
2.3应用：平面常系数线性微分系统的局部结构126.
2.4用Mathematica求方程组的解和作平面微分方程组的局部相图134
4.3高阶常系数线性微分方程的解法135.
3.1常系数线性齐次微分方程的解法135.
3.2常系数线性非齐次微分方程的待定系数法140
习题4142
第5章变系数线性微分方程和微分方程组的基础理论146
5.1周期系数线性微分方程组：Floquet理论146
5.2二阶变系数线性齐次微分方程152.2.1Sturm比较定理152.
2.2二阶线性微分方程两点边值问题的例子157.
2.3Sturm-Liouville边值问题161
5.3Sturm-Liouville边值问题在偏微分方程中的应用164.
3.1热传导方程初边值问题的解165.
3.2波动方程初边值问题的求解167
习题5169
第6章微分方程定性和稳定性理论172
6.1微分方程解的稳定性172.
1.1线性齐次微分方程组零解的稳定性173.
1.2由线性近似确定的非线性微分方程组零解的稳定性178.
1.3判定稳定性的Lyapunov第二方法179
6.2平面自治微分系统极限环理论的基础183
6.3微分系统的结构稳定性与分支简介190
6.4混沌初步:两个例子197
习题6200
附录203
引理的证明203
矩阵对数存在性的证明205
参考答案208
参考文献217名词索引221
专业名词中英文对照225
《大学数学科学丛书》已出版书目229
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