本书是为理工科大学本科课程“数值分析”和“计算方法”编写的教材与课外自学指导两用书，主要内容包括引言、插值法、线性方程组的直接解法与迭代法、方程求根、数据拟合与函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、矩阵特征值与特征向量的计算。此外，为了兼顾学生能力的培养和考试技能的提高，并帮助其合理掌握学习重点，本书附录包括上机实习、理工科专业“计算方法”模拟题6套、数学专业“数值分析”模拟题2套和数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题2套，并附有答案。 本书可作为理工科大学数学及相关专业本科和研究生“（数值）计算方法”课程的教材，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
样章试读
目录
- 前言
第1章 引言
1.1 误差、有效数字与机器数系
1.1.1 误差的来源与概念
1.1.2 误差的传播
1.1.3 有效数字
1.1.4 机器数系
1.2 数值计算陷阱的防范措施
1.2.1 注意防止大数吃小数
1.2.2 防止计算过程结果溢出
1.2.3 防止两个相近的数做减法
1.2.4 防止用0做除数
1.2.5 要尽量减少计算量,简化计算公式
1.2.6 要用稳定的数值计算格式
1.2.7 熟悉提高程序运行效率的常用方法
1.3 典型例题分析
第2章 插值法
2.1 插值问题
2.1.1 基本概念
2.1.2 插值多项式的存在与唯一性
2.2 Lagrange(拉格朗日)插值法
2.2.1 Lagrange插值多项式
2.2.2 插值多项式的余项
2.2.3 典型例题分析
2.3 Newton插值多项式与差商
2.3.1 差商的定义与性质
2.3.2 Newton插值多项式和余项表达式
2.3.3 典型例题分析
2.4 差分与等距节点插值
2.4.1 差分及其性质
2.4.2 等距节点插值公式
2.4.3 典型例题分析
2.5 Hermite(埃尔米特)插值
2.5.1 Hermite插值多项式及其余项
2.5.2 典型例题分析
2.6 分段插值法
2.6.1 多项式插值的缺陷与Runge现象
2.6.2 分段线性插值
2.6.3 分段二次插值
2.6.4 典型例题分析
2.7 三次样条插值函数
2.7.1 三次样条的定义和定解条件
2.7.2 构造样条插值函数的方法
2.7.3 三次样条函数的误差估计
2.7.4 典型例题分析
第3章 线性方程组的直接解法
3.1 问题提出
3.2 Gauss(高斯)消去法
3.2.1 三角形方程组的解法
3.2.2 Gauss消去法
3.2.3 Gauss消去法的计算量
3.2.4 Gauss消去法的矩阵解释
3.2.5 Gauss消去法的条件
3.2.6 列主元和全主元消去法
3.2.7 典型例题分析
3.3 追赶法
3.3.1 追赶法
3.3.2 典型例题分析
3.4 矩阵的三角分解
3.4.1 矩阵分解的紧凑格式
3.4.2 改进的平方根法
3.4.3 带列主元的三角分解法
3.4.4 典型例题分析
3.5 向量范数和矩阵范数
3.5.1 向量范数
3.5.2 矩阵范数
3.5.3 典型例题分析
3.6 摄动理论与误差分析初步
3.6.1 条件数与摄动理论
3.6.2 Gauss消去法的浮点数舍入误差分析
3.6.3 病态检测与改善
3.6.4 典型例题分析
第4章 解线性方程组的迭代法
4.1 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的构造
4.1.1 Jacobi(雅可比)迭代法的构造
4.1.2 Gauss-Seidel迭代法的构造
4.1.3 典型例题分析
4.2 迭代法的收敛性
4.2.1 一阶定常迭代法的收敛性
4.2.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性
4.2.3 迭代法的收敛速度
4.2.4 典型例题分析
4.3 SOR(逐次超松弛)迭代法
4.3.1 SOR方法的构造
4.3.2 SOR方法的收敛性
4.3.3 相容次序与最佳松弛因子的选择
4.3.4 典型例题分析
第5章 方程求根
5.1 方程根的存在性、唯一性与二分法
5.1.1 方程根的存在与唯一性
5.1.2 有根区间的确定方法
5.1.3 二分法
5.1.4 典型例题分析
5.2 迭代法的基本概念与收敛性
5.2.1 迭代法的基本概念
5.2.2 Picard迭代的收敛性
5.2.3 迭代格式的收敛速度
5.2.4 典型例题分析
5.3 加速方法
5.3.1 Aitken加速法
5.3.2 其他加速技巧
5.3.3 典型例题分析
5.4 Newton-Raphson迭代法
5.4.1 Newton-Raphson迭代法的构造
5.4.2 Newton法的收敛性
5.4.3 Newton法的改进措施
5.4.4 求非线性方程组的Newton法
5.4.5 典型例题分析
5.5 割线法
5.6 代数方程求根
5.6.1 多项式求值的秦九韶算法
5.6.2 代数方程的Newton法
5.6.3 代数方程的劈因子法
5.6.4 典型例题分析
第6章 数据拟合与函数逼近
6.1 矩阵的广义逆
6.1.1 广义逆的定义与性质
6.1.2 典型例题分析
6.2 方程组的最小二乘解
6.2.1 最小二乘解的定义与存在唯一性
6.2.2 典型例题分析
6.3 矩阵的正交分解与方程组的最小二乘解
6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法与方程组的最小二乘解
6.3.2 Householder变换法
6.3.3 矩阵的奇异值分解与方程组的最小二乘解
6.3.4 典型例题分析
6.4 正交多项式
6.4.1 Chebyshev(切比雪夫)多项式
6.4.2 Chebyshev正交多项式的应用与函数系的线性无关性
6.4.3 一般正交多项式
6.4.4 典型例题分析
6.5 数据拟合
6.5.1 问题的提法和预备知识
6.5.2 最小二乘拟合问题的求解与正规方程组
6.5.3 正交多项式在数据拟合问题中的应用
6.5.4 典型例题分析
6.6 函数逼近初步
6.6.1 函数逼近问题的提法与逼近函数的存在性
6.6.2 最佳平方逼近
6.6.3 最佳一致逼近
6.6.4 典型例题分析
第7章 数值积分与数值微分
7.1 数值积分的基本思想与代数精度
7.1.1 数值积分的基本思想
7.1.2 插值型求积公式
7.1.3 代数精度
7.1.4 典型例题分析
7.2 Newton-Cotes(牛顿-科茨)型求积公式
7.2.1 Newton-Cotes型求积公式的导出
7.2.2 几种低阶求积公式的余项
7.2.3 复化求积法
7.2.4 典型例题分析
7.3 区间逐次二分法与Romberg算法
7.3.1 区间逐次二分法
7.3.2 复化求积公式的阶
7.3.3 Romberg算法
7.3.4 典型例题分析
7.4 Gauss(高斯)型积分公式
7.4.1 基本概念
7.4.2 Gauss点
7.4.3 Gauss-Legendre(高斯-勒让德)求积公式
7.4.4 稳定性和收敛性
7.4.5 带权Gauss型求积公式
7.4.6 典型例题分析
7.5 数值微分简介
7.5.1 插值型求导公式
7.5.2 三次样条插值求导
7.5.3 典型例题分析
第8章 常微分方程数值解法
8.1 常微分方程初值问题
8.1.1 初值问题的提法与解的存在性
8.1.2 方程的离散化方法
8.1.3 几个基本概念
8.1.4 整体截断误差、局部截断误差与差分格式的阶
8.1.5 Euler显式格式的几何解释
8.1.6 典型例题分析
8.2 Runge-Kutta(龙格-库塔)法
8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想
8.2.2 四级四阶Runge-Kutta法
8.2.3 步长的选取
8.2.4 典型例题分析
8.3 单步法的收敛性和稳定性
8.3.1 Euler显式格式的收敛性
8.3.2 一般单步法的收敛性
8.3.3 单步法的稳定性
8.3.4 典型例题分析
8.4 线性多步法
8.4.1 Adams外推法
8.4.2 Adams内插法
8.4.3 Adams预报-校正格式
8.4.4 典型例题分析
8.5 常微分方程组与边值问题的数值解法
8.5.1 一阶方程组
8.5.2 化高阶方程为一阶方程组
8.5.3 边值问题的差分解法
8.5.4 典型例题分析
第9章 矩阵特征值与特征向量的计算
9.1 幂法与反幂法
9.1.1 幂法
9.1.2 幂法的加速
9.1.3 反幂法
9.1.4 典型例题分析
9.2 Jacobi(雅可比)方法
9.2.1 预备知识
9.2.2 Jacobi方法
9.2.3 Jacobi过关法
9.2.4 典型例题分析
9.3 QR算法
9.3.1 QR分解
9.3.2 QR算法
9.3.3 典型例题分析
附录1 上机实习
A1.1 插值问题
A1.2 线性方程组的求解
A1.3 矩阵条件数的估计
A1.4 方程求根
A1.5 曲线拟合问题
A1.6 数值积分
A1.7 常微分方程初(边)值问题
A1.8 矩阵特征值计算
附录2 理工科专业期末考试模拟题
A2.1 理工科专业“计算方法”模拟题A
A2.2 理工科专业“计算方法”模拟题B
A2.3 理工科专业“计算方法”模拟题C
A2.4 理工科专业“计算方法”模拟题D
A2.5 理工科专业“计算方法”模拟题E
A2.6 理工科专业“计算方法”模拟题F
A2.7 理工科专业“计算方法”模拟题A答案
A2.8 理工科专业“计算方法”模拟题B答案
A2.9 理工科专业“计算方法”模拟题C答案
A2.10 理工科专业“计算方法”模拟题D答案
A2.11 理工科专业“计算方法”模拟题E答案
A2.12 理工科专业“计算方法”模拟题F答案
附录3 数学专业考试模拟题
A3.1 数学专业“数值分析”模拟题A
A3.2 数学专业“数值分析”模拟题B
A3.3 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题A
A3.4 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题B
A3.5 数学专业“数值分析”模拟题A答案
A3.6 数学专业“数值分析”模拟题B答案
A3.7 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题A答案
A3.8 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题B答案
参考文献
京公网安备 11010102004214号