本书是关于外推法在多维问题应用的专著。全书共10章，除阐述显式外推：Richardson外推与分裂外推在多维积分、有限元和有限差分的应用外，对于隐式外推：如基于多层网格法的τ外推、基于有限元内估计的局部有限元外推、稀疏网与组合技巧也有专章介绍。
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第1章Richardson外推与分裂外推的算法分析1
1.1多项式外推法1
1.1.1插值多项式与外推2
1.1.2多项式外推算法及其推广4
1.1.3外推系数与外推算法的稳定性和收敛性7
1.1.4后验误差估计12
1.2分裂外推法15
1.2.1多变量渐近展开16
1.2.2分裂外推的通推算法18
1.2.3分裂外推的组合系数计算21
1.2.4分裂外推算法的稳定性分析22
1.2.5分裂外推的后验误差估计28
1.2.6分数军展开式与逐步齐次分裂外推消去法30
第2章推广Euler-Maclaurin求和公式与一维超奇积分的外推37
2.1经典Euler-Maclaurin和公式与外推37
2.1.1梯形公式的Euler-Maclaurin渐近展开37
2.1.2带偏差的梯形公式的Euler-Maclaurin渐近展开41
2.2 基于Mellin变换的Euler-Maclaurin展开式在奇异与弱奇异积分的应用45
2.2.1Riemann-Zeta函数46
2.2.2Mellin变换及其逆变换47
2.2.3弱奇异积分的Euler-Maclaurin展开式48
2.2.4带参数的弱奇异积分的Euler-Maclaurin展开式53
2.2.5带参数的奇异积分的Euler-Maclaurin展开式56
2.3超奇积分的Euler-Maclaurin展开式及其外推59
2.3.1超奇积分的Hadamard有限部分及其性质60
2.3.2超奇积分的Mellin变换63
2.3.3在[0,∞)区间上的超奇积分的Euler-Maclaurin展开式63
2.3.4有限区间上的奇异和超奇积分的Euler-Maclaurin展开式65
2.3.5有任意代数端点奇性函数的积分及其Euler-Maclaurin展开式69
2.4带参数的超奇积分的数值方法及其渐近展开71
2.4.1带参数的超奇积分的推广Euler-Maclaurin渐近展开71
2.4.2超奇积分的推广Romberg外推78
2.5变数替换方法与收敛的加速84
2.5.1sinn变换方法84
2.5.2双军变换方法87
2.5.3反常积分的变换方法88
第3章多维积分的Euler-Maclaurin展开式与分裂外推算法90
3.1多维积分的Euler-Maclaurin展开式91
3.1.1多维偏矩形积分公式与多参数Euler-Maclaurin展开式91
3.1.2分裂外推法及其通推算法93
3.1.3变换方法与收敛加速97
3.2多维弱奇异积分的数值算法——变量替换法98
3.2.1面型弱奇异积分98
3.2.2多维弱奇异积分的Du.y转换法100
3.3多维弱奇异积分的分裂外推法102
3.3.1正方体上的多维弱奇异积分的多变量渐近展开式102
3.3.2多维单纯形区域上的积分106
3.3.3多维曲边区域上的积分111
3.3.4多维弱奇异积分的分裂外推法的数值试验113
3.4多维齐次函数的弱奇异积分的外推法114
3.4.1多维积分的单参数渐近展开115
3.4.2多维齐次函数的定义与积方法116
3.4.3齐次弱奇异函数的近似积与渐近展开118
3.4.4积分变换与收敛加速122
3.4.5算例126
3.5曲面上积分的高精度算法130
3.5.1转换曲面积分到球面积分130
3.5.2球面数值积分与Atkinson变换131
3.5.3光滑积分的算例138
3.5.4奇点的处理139
3.5.5奇异积分的算例142
3.5.6Sidi变换与曲面积分的加速收敛方法144
3.5.7Sidi方法的进一步改善149
3.6奇点在区域内部的多维弱奇积分的分裂外推152
3.6.1多维位势型积分与Du.y变换方法152
3.6.2奇点在原点的多维弱奇异积分的多参数渐近展开154
3.6.3奇点在任意内点的多维弱奇异积分的多参数渐近展开156
第4章基于三角剖分的有限元外推法159
4.1变系数椭圆型偏微分方程的线性有限元近似的外推159
4.1.1三角形区域上积分的积方法与误差的渐近展开160
4.1.2二阶椭圆型偏微分方程的有限元近似168
4.1.3分片一致剖分下的线性有限元近似的误差与渐近展开170
4.2二次有限元近似解的渐近展开与外推179
4.2.1Poisson方程的Dirichlet问题的二次有限元解与外推179
4.2.2辅助引理及其证明180
4.2.3定理4.2.1的证明183
4.2.4渐近后验估计与算例189
4.3一类拟线性椭圆型偏微分方程有限元近似的渐近展开与外推190
4.3.1一类拟线性椭圆型偏微分方程有限元近似的L∞范数估计190
4.3.2一类拟线性椭圆型偏微分方程的有限元误差的渐近展开与外推193
第5章椭圆型偏微分方程的等参多线性的有限元分裂外推算法195
5.1二阶椭圆型方程的有限元近似与分裂外推196
5.1.1线性椭圆型偏微分方程的Dirichlet问题及其有限元近似196
5.1.2线性问题有限元误差的多参数渐近展开197
5.1.3全局细网格点的高精度算法205
5.1.4算例208
5.2特征值问题的有限元近似与分裂外推212
5.2.1问题的提出212
5.2.2特征值问题的有限元误差的多参数渐近展开213
5.2.3算例216
5.3拟线性椭圆型偏微分方程的有限元误差的多参数渐近展开217
5.3.1一类拟线性椭圆型偏微分方程的有限元方法及其误差的多参数渐近展开217
5.3.2算例221
第6章基于区域分解的多二次等参有限元分裂外推方法223
6.1二阶椭圆型偏微分方程组的多二次等参有限元的分裂外推方法223
6.1.1二阶椭圆型方程组及其有限元近似方程223
6.1.2Hermite二次内插与相关的积公式225
6.1.3有限元误差的多参数渐近展开230
6.1.4算法和算例234
6.2 拟线性二阶椭圆型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法237
6.2.1拟线性二阶椭圆型方程的多二次等参有限元方法237
6.2.2d二次等参有限元误差的多参数渐近展开239
6.2.3分裂外推与后验估计246
6.2.4算例248
6.3抛物型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法250
6.3.1二阶线性抛物型偏微分方程的多二次等参有限元法250
6.3.2半离散等参多二次有限元误差的多参数渐近展开253
6.3.3全离散等参多二次有限元误差的多参数渐近展开259
6.3.4全离散有限元解的分裂外推法与后验误差估计260
6.3.5算例261
6.4二阶线性双曲型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法264
6.4.1二阶线性双曲型偏微分方程及其离散方法264
6.4.2半离散有限元误差的多参数渐近展开266
6.4.3全离散有限元误差的多参数渐近展开269
6.4.4全局细网格的分裂外推算法与算例273
第7章有限差分法的高精度外推与校正法278
7.1差分方程近似解的分裂外推算法278
7.1.1差分方程的构造与离散极大值原理278
7.1.2光滑边界区域上差分近似解的误差的多参数渐近展开284
7.1.3长方体上差分近似解的误差的多参数渐近展开292
7.1.4算例298
7.2两点边值问题的差分方程解的高精度校正法302
7.2.1一维问题的高精度差分格式302
7.2.2Sturm-Liouville特征值问题的四阶差分法304
7.2.3拟线性两点边值问题的四阶差分法309
7.3多维椭圆型微分方程的高精度校正法311
7.3.1二维Laplace算子的差分格式311
7.3.2二维半线性问题的高精度校正法313
7.3.3二维特征值问题的高精度校正法314
7.3.4二维变系数散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法318
7.3.5二维变系数散度型椭圆型偏微分方程的特征值问题的高精度校正法323
7.3.6二维拟线性散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法324
7.3.7多维散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法328
7.3.8算例331
7.4L形区域特征值问题的高精度校正法332
7.4.1L形区域特征值问题333
7.4.2L形区域特征值问题的九点差分格式与特征值估计335
7.4.3L形区域特征值问题的校正方法337
7.5基于Laplace反演的发展方程的高精度校正方法338
7.5.1Laplace变换及其数值反演338
7.5.2基于Zakian反演的双曲型方程的高精度校正方法339
7.5.3基于Zakian反演的一类Volterra型积微方程的高精度校正方法341
7.6有限体积法及其分裂外推342
7.6.1数值解二阶椭圆型偏微分方程的有限体积法342
7.6.2有限体积法的分裂外推算例343
第8章基于多网格的τ外推法346
8.1二网格法的τ外推346
8.1.1多网格法的基本思想346
8.1.2二网格的算法348
8.1.3二层网格算法的磨光性质与逼近性质350
8.1.4二层网格算法的收敛性证明351
8.1.5二网格迭代的磨光性质的证明352
8.1.6二网格迭代的逼近性质的证明354
8.1.7二网格迭代的τ外推357
8.2多层网格法的τ外推359
8.2.1三网格的V-循环算法359
8.2.2三网格算法的收敛性证明361
8.2.3辅助定理及其证明362
8.2.4一类新的磨光过程365
8.2.5τ外推的高精度证明367
8.2.6算例368
第9章基于内估计的有限元外推370
9.1有限元的内估计370
9.1.1有限元的负范数估计370
9.1.2有限元子空间的内估计性质373
9.1.3有限元误差的局部渐近展开不等式375
9.2基于内估计的一类非标准的有限元外推377
9.2.1相似子空间的定义377
9.2.2常系数二阶椭圆型偏微分方程的局部有限元外推377
9.2.3变系数二阶椭圆型偏微分方程的局部有限元外推383
9.3局部相似子空间的构造387
9.3.1一般描述387
9.3.2平面三角形单元的嵌套子空间388
9.3.3平面矩形元与三维元的子空间390
9.4对特殊边值问题的应用390
9.4.1对Neumann问题的应用390
9.4.2对Dirichlet边值问题的应用391
第10章稀疏网格法与组合技巧394
10.1稀疏网格法394
10.1.1有限元空间的多水平分裂394
10.1.2二维稀疏网397
10.1.3高维稀疏网400
10.1.4稀疏网上的有限元方法402
10.2组合技巧403
10.2.1二维稀疏网组合技巧的分裂形式404
10.2.2二维稀疏网组合技巧的一般形式405
10.2.3三维组合技巧407
10.2.4满网格与稀疏组合网格的数值比较411
10.2.5组合技巧、分裂外推和稀疏网方法的数值结果比较414
10.3多维矩形积公式的组合方法419
10.3.1多元乘积型矩形积公式419
10.3.2组合方法.421
10.3.3算例423
评注425
参考文献431
后记439
索引440
丛书目录442
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