重分形分析是20世纪80年代以来分形几何最重要的成果，已成为分形几何的核心课题之一，它广泛应用于动力系统、湍流、降雨量模型、地震和昆虫数量的空间分布、金融时间序列模型及交通网络模型。本书侧重将重分形分析理论应用于统计，特别是用统计学的观点来估计分形维数是其他书所未涉及的独到的贡献。 本书第一部分介绍背景和重分形测度的不同定义，特别是用格覆盖和点中心球覆盖的两种构造。第二部分介绍大偏差下的重分形公式，主要讨论通过大偏差理论得到上述两种构造的“重分形机制”。第三部分讨论Rényi维数的估计、性质及其应用。独特的是将偏差分为内在与外在两类形式，并通过理论及实例指出：内在偏差由概率分布的内在性质引起，外在偏差由取样与所采用的统计方法形成，从而给出了一些实用的方法与技巧。同时给出丰富的应用实例，特别详细讨论了地震位置空间点模型。附录部分概括介绍了各种维数的定义和大偏差理论。 这是一本将重分形理论应用于统计的非常好的参考书。可供数学及相关专业高年级本科生、研究生及科研教学人员参考。
样章试读
目录
中文版序
前言
符号表
插图列表
第一部分 引言和预备知识
第1章 动机和背景
1.1 引言
1.2 分形集和重分形测度
1.3 动力系统
1.4 湍流
1.5 降雨量
1.6 地震模型
1.7 其他应用
1.8 重分形概念
1.9 全书概述
第2章 重分形公式
2.1 引言
2.2 广义Rényi维数的发展历史
2.3 广义Rényi格维数
2.4 广义Rényi点中心维数
2.5 重分形谱和重分形公式
2.6 格点情形的基本结论的复习
2.7 点中心情形的结论的复习
第3章 多项分布测度
3.1 引言
3.2 局部性态
3.3 全局平均和Legendre变换
3.4 分形维数
3.5 点中心构造
第二部分 大偏差下的重分形公式
第4章 基于格点的重分形
4.1 引言
4.2 大偏差公式
4.3 均匀空间样本测度
4.4 样本测度组成的族
4.5 Hausdorff维数
第5章 点中心情形的重分形
5.1 引言
5.2 大偏差体系
5.3 一族样本测度
5.4 Hausdorff维数
5.5 格构造和点中心构造之间的关系
第6章 倍增级联过程
6.1 引言
6.2 Moran级联过程
6.3 随机级联
6.4 其他级联过程
第三部分 Rényi维数的估计
第7章 q阶点间距离和内在偏差
7.1 第三部分的引言
7.2 边界效应
7.3 边界的重数
7.4 FY(y)的分解
7.5 可微分布
第8章 点中心Rényi维数估计(q≥2)
8.1 引言
8.2 推广的Grassberger-Procaccia运算法则
8.3 Takens估计
8.4 Hill估计
8.5 自举估计过程
8.6 讨论和例子
第9章 偏差的外在来源
9.1 引言
9.2 强加的边界的影响
9.3 四舍五入的影响
9.4 噪音的影响
第10章 维数估计的应用
10.1 引言
10.2 进一步的估计和诠释
10.3 空间与时间点模式
10.4 动力系统
10.5 一个过程是随机的，还是决定性的？
10.6 具有幂律性质的随机过程
第11章 地震分析
11.1 引言
11.2 数据来源
11.3 引起偏差的影响
11.4 结果
11.5 结果的比较和结论
第四部分 附录
附录A 集合的性质和维数
A.1 自相似集
A.2 Hausdorff维数
A.3 盒维数
A.4 Packing维数
附录B 大偏差
B.1 导论
B.2 Cramér定理
B.3 G?rtner-Ellis定理
参考文献
译后记
《现代数学译丛》已出版书目
插图列表
图1.1 Cantor测度的构造
图1.2 Cantor测度的特征
图1.3 ξ=ξ∞时的Logistic映射的尺度刻画
图1.4 ξ=3.569945672时的Logistic映射
图1.5 Lorenz吸引子
图1.6 Wellington地震深度截面
图1.7 Wellington地震震中：浅事件
图1.8 Wellington地震震中：深事件
图3.1 b=10时，多项分布测度的θ(q)
图3.2 Cantor测度：?(y)的Legendre变换
图3.3 Cantor测度：函数yq
图3.4 Cantor测度：θ(q)的Legendre变换
图6.1 Moran分形集
图6.2 对数-正态级联的重分形谱
图7.1 当q=2时，正规分布的关联积分
图7.2 当q=2时，一致分布的关联积分
图7.3 预Cantor测度的关联积分
图7.4 Cantor测度的关联积分
图7.5 p0=0.5时，Cantor测度对应的Ф(y)
图8.1 p0=0.5时，Cantor测度的D2变化
图8.2 一致分布的D2估计
图8.3 p0=0.5时，Cantor测度的D2估计
图8.4 p0=0.2时，Cantor测度的D2估计
图8.5 p0=0.5时，Cantor测度的维数估计
图8.6 p0=0.2时，Cantor测度的维数估计
图9.1 一致随机变量：边界的影响(Hill估计)
图9.2 一致随机变量：四舍五入的影响(D2的Hill估计)
图9.3 Cantor测度加白噪声(D2的Hill估计)
图10.1 有或没有间隔的多项分布测度
图10.2 当p0=0.2时，Cantor测度的θ(q)的估计
图10.3 当p0=0.2时，Cantor测度的?(y)的估计
图10.4 模拟Moran级联过程
图10.5 对模拟Moran级联过程的D2的估计
图10.6 α=β时，Beta分布的维数估计
图10.7 当ξ逼近ξ∞时，对Logistic映射的D2估计
图10.8 当ξ=3.569945672时，对Logistic映射的维数估计
图10.9 Lorenz吸引子的维数估计
图10.10 Lorenz吸引子：各种延迟长度
图10.11 Lorenz吸引子：平均相互信息
图10.12 Lorenz吸引子的嵌入的D2估计
图10.13 白噪声的嵌入的D2估计
图10.14 分式Brown运动
图10.15 2维分式Brown运动的路径
图11.1 关东地震震中：深地震(经度和纬度)
图11.2 关东地震震中：中等深度地震(经度和纬度)
图11.3 关东地震震中：浅地震(经度和纬度)
图11.4 关东地震深度的截面
图11.5 惠灵顿维数估计：浅地震(平均点间距和Hill估计)
图11.6 惠灵顿维数估计：深地震(平均点间距和Hill估计)
图11.7 关东维数估计：浅地震(平均点间距和Hill估计)
图11.8 关东维数估计：中等深度地震(平均点间距和Hill估计)
图11.9 关东维数估计：深地震(平均点间距和Hill估计)]]>
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