本书为地球物理学及相关地学专业教材,主要内容包括张量分析部分与弹性力学部分.张量分析部分主要讲述有关的数学基础,涉及拓扑空间、流形与微分流形、张量分析基础等章节;弹性力学部分以基本概念、基础理论、逻辑推演为主,主要涉及应变分析、应力分析、本构关系、边值问题、二维平面问题、三维空间问题、弹性波等章节,很少涉及工程结构问题.
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目录
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第1章绪论1
1.1张量1
1.2弹性力学的研究对象2
1.3弹性力学的基本假设3
1.4弹性力学的理论基础5
第2章点集拓扑基础6
2.1集合与映射6
2.1.1集合与子集6
2.1.2集合的基本运算7
2.1.3乘集与关系9
2.1.4映射与变换10
2.2群、向量空间与度量空间13
2.2.1代数运算与群13
2.2.2向量空间14
2.2.3度量空间14
2.2.4度量空间的开集16
2.3拓扑空间及其点集18
2.3.1拓扑空间18
2.3.2拓扑空间的邻域与开集20
2.3.3拓扑空间的点集20
2.4拓扑基与拓扑空间的可分离性23
2.4.1拓扑基与拓扑子基23
2.4.2可数性公理25
2.5拓扑空间的连续性26
2.5.1连续映射26
2.5.2同胚映射29
2.6拓扑空间的度量化、连通性和紧性31
2.6.1拓扑空间度量化31
2.6.2连通性32
2.6.3拓扑空间的紧性33
2.6.4紧空间的性质34
第3章流形与微分流形36
3.1微分流形36
3.1.1流形36
3.1.2局部坐标及其转换37
3.1.3光滑微分结构39
3.1.4光滑流形的例子41
3.2光滑映射及其特例43
3.2.1光滑映射43
3.2.2光滑函数44
3.2.3微分同胚45
3.2.4光滑曲线47
3.3切向量和切空间48
3.3.1切向量48
3.3.2切空间51
3.4光滑流形的切映射与定向54
3.4.1光滑流形的切映射54
3.4.2光滑流形的定向55
3.5向量空间的线性映射57
3.5.1线性映射及其空间57
3.5.2对偶空间58
3.5.3多重线性映射59
3.5.4张量空间60
第4章张量基础63
4.1一般坐标系中的向量63
4.1.1平面内的斜角直线坐标系63
4.1.2三维空间中的斜角直线坐标系64
4.1.3曲线坐标系及其基向量66
4.1.4Einstein求和约定67
4.2坐标转换68
4.2.1坐标转换的含义68
4.2.2基向量的转换关系69
4.2.3向量分量的坐标转换关系71
4.2.4Descartes坐标系的转换71
4.3张量的表示72
4.3.1向量的表示方法72
4.3.2张量的分量表示74
4.3.3张量的实体表示75
4.3.4张量方程的不变性76
4.4张量的代数运算与商法则77
4.4.1张量代数77
4.4.2常用的二阶特殊张量80
4.4.3张量的商法则81
4.5度规张量及其性质82
4.5.1度规张量82
4.5.2张量分量的指标升降关系83
4.5.3度规张量分量的变换85
4.5.4δij的特殊用法86
4.6置换符号与张量矢积86
4.6.1置换符号及其应用86
4.6.2置换(Eddington)张量与-δ等式88
4.6.3向量的矢积与多重矢积90
4.6.4张量的双重运算92
4.7张量的微积分92
4.7.1Christoffel符号92
4.7.2协变导数94
4.7.3Descartes张量的微积分95
4.8直线坐标系下的张量场论97
4.8.1张量场函数的梯度、散度与旋度97
4.8.2无旋场与无源场101
4.8.3Gauss公式和Stokes公式102
第5章应变与应变分析105
5.1位移与应变105
5.1.1位移105
5.1.2应变与应变分量106
5.1.3相对位移张量的分解108
5.1.4均匀变形109
5.2应变分析111
5.2.1相邻两点间的变形111
5.2.2任意方向的线应变113
5.2.3任意方向的变化115
5.2.4任意角度的变形116
5.3主应变、主方向与最大剪应变119
5.3.1主应变与主方向119
5.3.2主应变的性质121
5.3.3最大剪应变122
5.4应变张量124
5.4.1应变分量的转换124
5.4.2体积膨胀系数126
5.4.3八面体应变127
5.4.4应变球量和应变偏量128
5.5应变协调方程130
5.5.1微分形式的应变协调方程131
5.5.2积分形式的位移场单值条件133
5.6应变状态的几何表示136
5.6.1应变椭球136
5.6.2三维Mohr圆137
第6章应力与应力分析140
6.1外力与应力140
6.1.1体力与面力140
6.1.2应力矢量141
6.1.3应力状态142
6.1.4应力张量144
6.2斜面应力与平衡方程145
6.2.1任意斜面上的应力145
6.2.2力矩的平衡146
6.2.3力平衡方程148
6.2.4动态平衡的积分推导149
6.3主应力与最大剪应力150
6.3.1主应力150
6.3.2最大剪应力152
6.4应力张量157
6.4.1应力分量的变换157
6.4.2应力球张量和偏斜张量159
6.4.3八面体上的剪应力159
6.4.4Lamé应力椭球160
第7章弹性本构关系163
7.1小变形情况下的应力应变关系163
7.1.1广义Hooke定律163
7.1.2应力与应变关系的材料属性试验164
7.2热力学基本定律与热弹性本构关系165
7.2.1热力学第一定律165
7.2.2热力学第二定律168
7.2.3热弹性本构关系169
7.3应变能与应变余能171
7.3.1应变能171
7.3.2应变余能173
7.4各向异性弹性体的本构关系174
7.4.1极端各向异性弹性材料174
7.4.2具有一个弹性对称面的各向异性弹性体175
7.4.3正交各向异性弹性体176
7.4.4横观各向同性弹性体178
7.5各向同性体本构关系及其弹性常数的物理意义180
7.5.1各向同性弹性体本构关系180
7.5.2各向同性体弹性常数的测定183
7.5.3偏应力张量与偏应变张量的关系185
7.5.4各向同性体弹性常数的物理意义185
第8章弹性力学边值问题和一般原理188
8.1弹性力学基本方程和定解条件188
8.1.1弹性力学基本方程188
8.1.2弹性力学问题的定解条件189
8.1.3弹性力学边值问题及求解190
8.2弹性力学问题的位移解法191
8.2.1以位移表示的弹性力学方程191
8.2.2位移法解的讨论193
8.2.3例题194
8.3弹性力学问题的应力解法197
8.3.1应力表示的协调方程197
8.3.2应力法解的讨论199
8.3.3例题201
8.4弹性力学问题的应力函数解法203
8.4.1Maxwell应力函数204
8.4.2Morera应力函数205
8.4.3其他应力函数206
8.5弹性力学的一般性原理207
8.5.1叠加原理207
8.5.2应变能定理208
8.5.3唯一性定理209
8.5.4功的互等定理210
8.5.5Saint-Vénant原理211
第9章弹性力学二维平面问题213
9.1弹性力学平面问题的分类213
9.1.1平面应变问题213
9.1.2平面应力问题215
9.1.3平面问题的统一217
9.2平面问题的基本方程和边界条件218
9.2.1平面问题的基本方程218
9.2.2平面问题的边界条件219
9.2.3平面弹性力学基本边值问题的提法220
9.3平面弹性力学基本边值问题的解法221
9.3.1位移解法221
9.3.2应力解法222
9.3.3混合解法224
9.4应力函数及其性质224
9.4.1Airy应力函数224
9.4.2应力函数的物理意义225
9.5直角坐标系下的多项式应力函数解法228
9.5.1具有矩形域的简单弹性力学问题228
9.5.2多项式应力函数的逆解法与半逆解法229
9.5.3应力函数法求解示例231
9.6极坐标系中的基本方程235
9.6.1极坐标系中的几何方程和本构方程235
9.6.2极坐标系中的平衡微分方程236
9.6.3极坐标系中的应力函数与相容方程237
第10章弹性力学三维空间问题240
10.1齐次Lamé-Navier方程及其位移矢函数分解求解240
10.1.1引言240
10.1.2位移的势函数分解240
10.1.3Lamé应变势242
10.2Galerkin矢量解及其应用243
10.2.1Galerkin矢量243
10.2.2Love应变函数244
10.2.3Cerruti问题245
10.3轴对称问题求解及其应用246
10.3.1空间轴对称问题的简化246
10.3.2Kelvin问题248
10.3.3Boussinesq问题249
10.4Papkovich-Neuber解及其应用251
10.4.1Papkovich-Neuber一般解251
10.4.2Boussinesq问题再讨论252
10.5非齐次Lamé-Navier方程的解253
10.5.1非齐次Lamé-Navier方程的特解254
10.5.2具有体力常量的非齐次Lamé-Navier方程的特解255
10.5.3Kelvin解255
10.6球对称问题求解及其应用257
10.6.1无体力球对称问题的求解258
10.6.2地球内部的应力261
10.7边值问题的积分方程解263
10.7.1边值问题的积分方程263
10.7.2积分方程的数值解法265
第11章弹性波268
11.1一维波动方程及其DAlembert解268
11.1.1一维弹性波动方程268
11.1.2波动方程解的简单应用270
11.2无限介质中的弹性波272
11.2.1弹性波方程272
11.2.2位移的矢量分解273
11.2.3纵波与横波273
11.3球面波与平面波275
11.3.1球面波275
11.3.2平面波279
11.4平面波的反射与透射282
11.4.1平面波在分界面处的反射与透射283
11.4.2平面波在自由界面处的反射286
11.5Rayleigh波与Love波290
11.5.1Rayleigh波290
11.5.2Love波293
参考文献297
附录300
A不同坐标系下的基本方程301
A.1几何方程301
A.2平衡方程302
A.3本构关系303
A.4Lamé-Navier方程304
B位移、应力分量在Cartesian、柱面、球面坐标系间的转换305
B.1从Descartes坐标系到柱面坐标系305
B.2从柱面坐标系到球面坐标系305
B.3从Descartes坐标系到球面坐标系306
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