本书首先简要介绍了数理逻辑的发展、形式系统及一些预备知识，然后介绍了集合论，详细讲解了命题演算、谓词演算、可计算性理论和哥德尔不完全性定理，最后介绍了模型论的基础知识和方法。全书重点突出，论证详细，各部分内容配有典型的例子和习题，以便读者更好地理解、掌握相关知识。
样章试读
目录
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丛书序
前言
第1章 绪论 1
1.1 数理逻辑发展简介 1
1.2 数学定义、证明与定理 5
1.3 证明方法 7
第2章 集合论 10
2.1 集合 10
2.1.1 对象及其名称 10
2.1.2 集合的定义 11
2.1.3 集合的表示 11
2.1.4 罗素悖论 12
2.1.5 公理化方法 13
2.1.6 外延公理和空集公理 13
2.1.7 子集 14
2.1.8 分离公理 14
2.1.9 无序对和单点集 15
2.1.10 交集 16
2.1.11 并集 16
2.1.12 集合的差 18
2.1.13 幂集 19
2.1.14 广义并 20
2.1.15 广义交 20
2.2 关系 21
2.2.1 有序对 21
2.2.2 笛卡儿积 22
2.2.3 二元关系 23
2.2.4 关系的运算 24
2.2.5 像与原像 25
2.2.6 等价关系 26
2.2.7 偏序关系 27
2.2.8 良序关系 29
2.2.9 多元关系 30
2.3 映射 31
2.3.1 映射的定义 31
2.3.2 单射、满射和双射 34
2.3.3 序同态与序同构 36
2.3.4 集族 37
2.3.5 广义笛卡儿积 37
2.3.6 选择公理 38
2.3.7 多元映射 38
2.4 归纳证明与归纳定义 39
2.4.1 自然数的定义 39
2.4.2 数学归纳法 40
2.4.3 归纳定义 43
2.5 有穷集合和无穷集合 47
2.5.1 等势集合 47
2.5.2 康托尔-伯恩斯坦定理 49
2.5.3 有穷集合 51
2.5.4 可数集合 52
2.5.5 无穷集合 53
2.5.6 不可数集合 54
2.6 序数与基数 56
2.6.1 序数 56
2.6.2 超穷归纳法 59
2.6.3 可数序数 61
2.6.4 基数 62
2.6.5 基数算术 64
第3章 命题演算 66
3.1 命题演算的形式语言 66
3.1.1 命题演算的形式符号 66
3.1.2 形成规则 67
3.2 命题演算的语义 68
3.2.1 赋值、真值表、重言式 69
3.2.2 代入 72
3.2.3 语义后承 73
3.2.4 紧致性定理 73
3.2.5 等价与替换 75
3.2.6 联结词的个数 76
3.3 命题演算的公理及推理规则 77
3.4 形式证明及形式定理 78
3.5 形式推演 78
3.6 推演定理 82
3.7 导出规则及辅助推演规则 84
3.8 斜式推演 85
3.9 可靠性定理 90
3.10 范式与完全性定理 91
3.11 联结词完全性 96
第4章 谓词演算 97
4.1 一阶谓词逻辑的形式语言 97
4.1.1 符号系统 97
4.1.2 形成规则 98
4.1.3 自由变元与约束变元 99
4.2 谓词演算的语义 100
4.2.1 一阶语言的结构 100
4.2.2 指派与项的取值 101
4.2.3 满足关系 103
4.2.4 语义后承 107
4.3 谓词演算的公理系统及推理规则 108
4.3.1 谓词演算的形式证明 109
4.3.2 形式推演 109
4.4 谓词演算的可靠性定理 110
4.5 推演定理 112
4.5.1 依赖性与变化性 113
4.5.2 谓词演算的推演定理 115
4.6 谓词演算的推演规则 118
4.7 斜式推演 121
4.8 具有特殊句法结构的公式 123
4.8.1 前束范式 123
4.8.2 公式分层 125
4.8.3 斯科伦范式 126
4.9 完全性定理与紧致性定理 127
第5章 可计算性理论 129
5.1 部分递归 129
5.1.1 原始递归函数 130
5.1.2 部分递归函数 132
5.1.3 递归函数 133
5.1.4 递归关系 135
5.2 图灵可计算函数 137
5.2.1 单带确定图灵机 137
5.2.2 多带图灵机 141
5.3 图灵计算的算术化 145
5.3.1 图灵机的编码 145
5.3.2 计算的算术化 147
5.4 丘奇-图灵论题 150
5.5 通用图灵机 151
5.5.1 通用函数 152
5.5.2 s-m-n定理 153
5.5.3 通用函数的应用 155
5.6 不可判定性 158
5.7 部分可判定性 162
5.7.1 部分可判定谓词 162
5.7.2 递归可枚举集 166
5.7.3 集合间的多一归约 169
5.8 图灵计算的逻辑刻画 172
5.9 递归定理 175
5.10 神谕图灵机 181
5.10.1 神谕图灵机的配置 181
5.10.2 神谕图灵机的编码 183
5.10.3 相对于A的递归集与r.e.集 184
5.10.4 图灵归约与图灵度 185
第6章 哥德尔不完全性定理 188
6.1 皮亚诺算术系统PA 188
6.1.1 皮亚诺算术系统 188
6.1.2 PA的语义 190
6.2 序关系 191
6.3 可表示性 193
6.4 哥德尔编码 196
6.5 元数学的算术化 197
6.6 哥德尔不完全性定理的证明 200
第7章 模型论 207
7.1 结构之间的关系 208
7.1.1 子结构 208
7.1.2 初等子结构 210
7.1.3 同态与同构 210
7.1.4 嵌入与初等嵌入 211
7.1.5 初等等价 212
7.1.6 膨胀与收缩 212
7.1.7 图像与初等图像 213
7.2 完全性定理与紧致性定理的详细证明 213
7.2.1 完全性定理 213
7.2.2 斯科伦化 218
7.2.3 紧致性定理 220
7.2.4 全称型理论的模型论刻画 223
7.3 完全理论与模型完全理论 223
7.4 部分同构 230
7.4.1 部分同构与有穷同构 230
7.4.2 Fra*ssé定理 232
7.5 量词消去 235
7.6 内插定理 238
7.6.1 命题逻辑的内插定理 238
7.6.2 谓词逻辑的内插定理 238
7.6.3 Beth可定义性定理 241
7.7 Ⅱ2-理论的模型论性质 242
7.8 型省略定理 245
7.8.1 相对于结构的型 245
7.8.2 相对于理论的型 248
参考文献 250
索引 251
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