群及其表示理论是处理具有一定对称性的物理体系的一种有力工具.本书在论述群及其表示理论的基础上，着重介绍群论在原子、分子和晶体等物理体系中的应用.全书共分五章，包括群和群表示的基本理论、群表示与薛定谔方程、完全转动群的不可约表示和角动量、群论在原子结构方面的应用及空间群的表示与应用.
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前言
第一章 群和群表示 1
§1.1 群的定义和有限群的几个性质 1
1.1.1 群的定义 1
1.1.2 有限群的基本性质 2
§1.2 子群和商群 4
1.2.1 子群的定义 4
1.2.2 陪集的定义和有关的定理 4
1.2.3 内积与共轭子群 5
1.2.4 不变子群（自轭子群或正则子群） 6
1.2.5 商群 7
§1.3 同构群与同态群，核 9
1.3.1 同构群 9
1.3.2 同态群 9
1.3.3 核 9
§1.4 群的矩阵表示与有关的定理 10
1.4.1 群G的矩阵表示的定义 10
1.4.2 幺正矩阵群 10
1.4.3 可约表示，完全可约表示和不可约表示 10
1.4.4 等价的群表示 11
§1.5 有关不可约表示的几个定理 13
§1.6 不可约表示的特征标 22
1.6.1 特征标的定义 22
1.6.2 特征标的性质 22
1.6.3 类的和以及有关的性质 24
1.6.4 可约表示的简约 25
§1.7 规则表示 26
1.7.1 定义 26
1.7.2 规则表示的特性 28
§1.8 直接乘积 31
1.8.1 群的直接乘积的定义 31
1.8.2 矩阵的直接乘积 33
1.8.3 矩阵的直接乘积可做为群直接乘积的表示 34
1.8.4 直接乘积的表示的特征标是各表示特征标的乘积 34
§1.9 几种常见的群 34
1.9.1 阿贝尔群 35
1.9.2 循环群 35
1.9.3 排列群 36
1.9.4 对称性群 36
§1.10 晶体中对称操作的数学描述 37
1.10.1 主动型描述和被动型描述 37
1.10.2 矩阵A的并矢表示 39
§1.11 晶体中的基本对称操作 42
§1.12 32个点群 45
1.12.1 生群元 45
1.12.2 32个点群的符号 45
1.12.3 32个点群 46
§1.13 32个点群的特征标 63
第一章习题 73
参考文献 74
第二章 群表示与薛定谔方程 75
§2.1 函数与算符的对称变换 75
2.1.1 函数的变换 75
2.1.2 算符的变换 77
§2.2 哈密顿算符的变换性质 78
2.2.1 哈密顿算符的对称变换 78
2.2.2 使哈密顿算符不变的操作 78
2.2.3 两种常见的哈密顿算符所属的群 79
§2.3 群表示与函数空间的基矢 80
2.3.1 用以产生群表示的基矢 80
2.3.2 函数空间或矢量空间 84
2.3.3 可约函数空间与不可约函数空间 84
§2.4 不可约表示基矢的性质 92
2.4.1 幺正算符和幺正矩阵 92
2.4.2 不可约表示Dj(R)的第入列基矢所满足的充要条件 93
2.4.3 准投影算符* 94
2.4.4 属于第j个不可约表示的基矢fj 95
2.4.5 投影算符* 95
2.4.6 定理 96
§2.5 薛定谔方程的解与哈密顿量的群 100
2.5.1 定理 100
2.5.2 正常简并和偶然简并 102
2.5.3 系— 102
§2.6 矩阵元的计算 104
§2.7 简并态的微扰理论 106
§2.8 轴转动群和完全转动群 109
2.8.1 轴转动群 109
2.8.2 完全转动群 111
§2.9 完全转动群的不可约表示按点群的简约 113
2.9.1 Dl按D3群的简约 113
2.9.2 Dl按点群Oh的简约 114
2.9.3 Dl按Td群的简约 117
2.9.4 Dl按照D4h群的简约 117
§2.10 杂化轨道的组合 117
§2.11 分子轨道（MO)理论 123
§2.12 分子振动的简正模式与简正坐标 128
2.12.1 原子振动的描述 128
2.12.2 群论在求解简正坐标与振动方式中的应用 131
§2.13 振动谱的选择定则 144
2.13.1 红外活性和无红外活性 145
2.13.2 拉曼跃迁 146
§2.14 振动波函数的对称性 148
2.14.1 组频能态波函数的对称性 149
2.14.2 倍频能级波函数的对称性 150
2.14.3 —般振动态的对称性 154
2.14.4 非简谐项的影响 156
§2.15 原子振动-电子相互作用，杨-特勒(Jahn-Teller)效应 156
2.15.1 电子-原子振动相互作用对电子跃迁的影响 156
2.15.2 杨—特勒（Jahn-Teller)效应 157
第二章习题 158
参考文献 160
第三章 完全转动群的不可约表示和角动量 161
§3.1 用欧拉角描述转动的完全转动群的不可约表示 161
§3.2 二维幺正群 164
3.2.1 二维幺正幺模矩阵 164
3.2.2 二维幺正幺模矩阵和坐标变换的关系 165
3.2.3 R(u)与R(a,b,r)的关系 167
3.2.4 与转动操作对应的二维幺正幺模矩阵组成群 169
§3.3 由二维幺正群导出的完全转动群的不可约表示 169
§3.4 无穷小转动算符和角动量算符 174
3.4.1 绕x轴作角度为d的无穷小转动的算符及其不可约表示 174
3.4.2 绕y轴作角度为d的无穷小转动的算符pRy及其不可约表示 176
3.4.3 绕z轴作角度为d的无穷小转动的算符Prz及其不可约表示 178
3.4.4 转动算符的一般表示式 179
§3.5 角动量耦合与矢量耦合系数 180
3.5.1 耦合表象与非耦合表象 181
3.5.2 A*的计算 181
3.5.3 Djl*Dj2在耦合表象中的简约 188
§3.6 矢量耦合系数的性质 189
3.6.1 j,m为某些特殊值的矢量耦合系数 189
3.6.2 A*的矩阵表示和正交关系 189
3.6.3 矢量耦合系数的对称性质 192
§3.7 Clebsch-Gordan系列 193
3.7.1 Clebsch-Gordan系列的定义 193
3.7.2 逆Clebsch-Gordan系列 194
3.7.3 球谐函数的某些性质 195
§3.8 张量算符 198
3.8.1 矢量算符 198
3.8.2 二级张量算符 199
3.8.3 其他的高级张量算符 201
3.8.4 不可约张量算符 201
3.8.5 不可约张量算符的乘积 203
§3.9 不可约张量算符矩阵元的简约，Wigner-Eckart定理 205
§3.10 三个角动量的耦合，Racah系数 209
3.10.1 Racah系数的定义和推导 209
3.10.2 Racah系数的性质 212
3.10.3 Racah系数应用举例——矩阵元{j'm'j1'|TL(1)TL(2)|jmj1j2＞的简约 213
§3.11 自旋角动量 217
§3.12 计入自旋转动耦合的哈密顿算符所属的群 219
§3.13 双点群的性质与特征标表 224
3.13.1 双点群的性质 224
3.13.2 双点群的不可约表示的特征标表 227
§3.14 时间反演对称算符 234
3.14.1 时间反演对称和时间反演算符 235
3.14.2 计入自旋后的时间反演算符的性质 237
3.14.3 Kramers定理 240
3.14.4 对非简并的态，磁矩的平均值为零 240
§3.15 计入时间反演后电子系能级的简并度 241
3.15.1 复表示的定义与性质 241
3.15.2 当j为整数时，完全转动群的不可约表示Dj(R)是实表示 244
3.15.3 时间反演附加简并 246
第三章习题 251
参考文献 251
第四章 群论在有关原子结构问题中的应用 252
§4.1 顺磁晶体中的晶体场 252
§4.2 晶体微扰势矩阵元的计算 256
§4.3 多电子体系的薛定谔方程 264
§4.4 Russel-Saunder稱合能量的计算 269
4.4.1 根据角动量简化久期方程 270
4.4.2 Slater求和定则 272
4.4.3 计入静电相互作用后能级的分裂 274
4.4.4 计入自旋—轨道耦合后能级的分裂 283
§4.5 在外加磁场下能级的分裂 291
§4.6 超精细结构 295
4.6.1 磁偶极矩相互作用 295
4.6.2 有外加磁场的情况 299
4.6.3 电—四极矩相互作用 300
第四章习题 302
参考文献 303
第五章 空间群表示 304
§5.1 描述转动及平移算符的性质 304
§5.2 空间群 306
§5.3 布喇菲格子 308
§5.4 纯平移群的不可约表示 311
§5.5 群的分导表示，Frobenius定理 313
5.5.1 分导表示的定义 313
5.5.2 Frobenius第一定理 314
5.5.3 Frobenius第二定理 315
§5.6 群的诱导表示 316
5.6.1 定义 316
5.6.2 诱导表示*的矩阵元 316
§5.7 诱导表示的特征标，Frobenius互易原理 321
5.7.1 诱导表示的特征标 321
5.7.2 Frobenius互易原理 322
§5.8 诱导表示的不可约性 324
§5.9 正则子群的共扼表示 326
5.9.1 共轭表示的定义 326
5.9.2 轨道，波矢星 326
5.9.3 共轭表示基矢之间的关系 332
5.9.4 正则子群与共轭表示的关系 333
§5.10 第二类小群 333
5.10.1 定义 333
5.10.2 空间群的第二类小群一一波矢群Gk 335
5.10.3 同构共轭子群 335
5.10.4 可允许表示 337
§5.11 简单空间群的不可约表示的诱导 341
§5.12 简单空间群不可约表示与晶体能带结构 350
§5.13 自由电子近似计算立方晶体的能带结构 353
5.13.1 薛定谔方程及其解 353
5.13.2 能量E(k)k所属的不可约表示及有关的基矢 354
§5.14 非简单空间群不可约表示的诱导 357
5.14.1 表示的核 357
5.14.2 不变子群 358
5.14.3 表示的产生 359
5.14.4 用L11(*)/K可产生L：I(*)的可允许表示 359
5.14.5 求非简单空间群不可约表示的步骤 360
§5.15 金刚石型晶体（空间群O7h)波矢群的不可约表示的特征标 362
§5.16 空间群不可约表示直接乘积的简约 366
§5.17 晶体晶格振动的正则模式 374
5.17.1 运动方程及其解 374
5.17.2 本征矢的变换性质 377
5.17.3 本征矢的计算 381
5.17.4 金刚石的正则振动模式 385
§5.18 晶体红外吸收与拉曼散射的选择定则 387
5.18.1 振动波函数|n>的对称性 387
5.18.2 偶极矩算符的对称性和红外吸收选择定则 389
5.18.3 极化率算符的对称性与拉曼跃迁选择定则 394
第五章习题 395
参考文献 397
附录 398
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