本书详细地介绍分数阶偏微分方程的数值方法. 这些分数阶偏微分方程包括空间、时间、时间-空间分数阶偏微分方程，反常次扩散方程，修正的反常次扩散方程，分数阶Cable方程，也包括时间-空间分数阶偏微分方程，多项时间-空间分数阶偏微分方程和变分数阶偏微分方程，以及人类大脑组织中的反常扩散模型，非均匀介质中扩散过程的分数阶模型。所讨论的数值方法包括有限差分方法、有限元方法、谱方法、有限体积方法、无网格方法和矩阵转换技巧，详细介绍如何构造适当的数值方法，并讨论了数值方法的稳定性和收敛性，以及数值分析技巧和方法，给出了部分数值结果。同时也介绍了分数阶偏微分方程的一些数值实例，最后介绍所提出的数值方法在医学工程和心脏科学中的应用。
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第1章分数阶微积分基础1
1.1一些特殊函数的定义和性质1
1.1.1Gamma函数1
1.1.2Beta函数2
1.1.3Mittag-Le2er函数2
1.2Riemann-Liouville分数阶积分和分数阶导数3
1.3Riesz分数阶导数11
1.4Gr.unwald-Letnikov分数阶导数11
1.5Caputo分数阶导数13
1.6分数阶算子的Fourier变换和Laplace变换15
参考文献16
第2章空间分数阶偏微分方程的差分方法18
2.1Gr.unwald-Letnikov/移位Gr.unwald-Letnikov近似20
2.1.1含有移位Gr.unwald-Letnikov近似的显式Euler方法24
2.1.2含有移位Gr.unwald-Letnikov近似的隐式Euler方法25
2.1.3含有移位Gr.unwald-Letnikov近似的Crank-Nicholson方法25
2.2移位Gr.unwald-Letnikov近似的稳定性和收敛性26
2.2.1含有移位Gr.unwald-Letnikov近似的显式Euler方法的稳定性和收敛性26
2.2.2含有移位Gr.unwald-Letnikov近似的隐式Euler方法的稳定性和收敛性29
2.2.3含有移位Gr.unwald-Letnikov近似的Crank-Nicholson方法的稳定性和收敛性32
2.3Riesz空间分数阶(对流-)扩散方程的二阶格式36
2.3.1外推技巧36
2.3.2Crank-Nicholson方法-分数阶中心差分格式37
2.3.3求解Riesz空间分数阶扩散方程/Riesz空间分数阶对流-扩散方程的加权格式42
2.4解空间分数阶偏微分方程L-算法49
2.5解空间分数阶偏微分方程分数阶行方法52
2.6含有空间分数阶Laplace算子的扩散方程54
2.6.1齐次和非齐次Dirichlet边界条件的空间分数阶Laplace算子的扩散方程56
2.6.2具有非齐次混合边界条件的空间分数阶Laplace算子的扩散方程61
2.7复合介质中一维空间分数阶扩散方程的分析解和数值解64
2.7.1复合介质中一维空间分数阶Laplace算子的扩散方程64
2.7.2单一均匀介质的区域分解方法67
2.7.3具有相同的复合介质中的整体分析解70
2.7.4具有相同的复合介质中的整体数值解72
2.7.5具有相同的复合介质中的区域分解方法75
2.7.6具有不同的复合介质中的区域分解方法77
2.7.7利用数值情况的研究给出方法的比较79
2.8双侧空间分数阶非线性变系数扩散方程81
2.8.1双侧空间分数阶非线性变系数扩散方程81
2.8.2半隐式差分格式82
2.8.3半隐式差分格式的理论分析84
2.8.4快速迭代算法88
2.9二维空间分数阶渗透方程的有限差分方法91
2.9.1一种隐式差分方法91
2.9.2交替方向隐式差分方法96
2.9.3交替方向隐式差分方法的稳定性和收敛性97
参考文献103
第3章时间、时间-空间分数阶偏微分方程的差分方法107
3.1分数阶积分和Caputo分数阶导数的数值近似108
3.1.1分数阶积分的数值近似108
3.1.2Caputo分数阶导数的数值近似112
3.2时间、时间-空间分数阶扩散方程的差分格式116
3.2.1差分格式的建立117
3.2.2差分格式的稳定性和收敛性121
3.3反常次扩散方程的隐式差分格式及其理论分析124
3.3.1反常次扩散方程的隐式差分方法125
3.3.2隐式差分格式的稳定性128
3.3.3隐式差分格式的收敛性131
3.4生物系统中分数阶非线性动力系统的反问题136
3.4.1生物系统中分数阶非线性动力系统137
3.4.2模拟分数阶非线性动力系统的分数阶预估-校正方法138
3.4.3一种复合Nelder-Mead单纯形和粒子群体最佳化算法139
3.4.4非线性分数阶动力模型中的参数估计143
参考文献145
第4章多项时间-空间分数(分布)阶偏微分方程148
4.1多项时间分数阶偏微分方程的解析解149
4.1.1理论背景150
4.1.2非齐次边界条件下的多项时间分数阶幂律波动方程151
4.1.3特例153
4.2多项时间-空间分数阶偏微分方程的解析解156
4.2.1具有多项时间分数阶扩散项和空间分数阶Laplace算子的对流-扩散方程的解析解157
4.2.2具有多项时间分数阶波动项和空间分数阶Laplace算子的对流-扩散方程的解析解160
4.2.3具有多项时间分数阶混合扩散-波动项和空间分数阶Laplace算子的对流-扩散方程的解析解162
4.2.4特例163
4.3多项时间分数阶偏微分方程的数值方法164
4.3.1二项移动/静止时间分数阶扩散方程164
4.3.2二项时间分数阶波动-扩散方程167
4.3.3多项时间分数阶偏微分方程的数值方法168
4.4多项时间-空间分数阶偏微分方程的数值方法171
4.4.1二项时间-空间分数阶偏微分方程的数值方法171
4.4.2多项时间-空间Riesz-Caputo分数阶微分方程的最大值原理和数值方法177
4.4.3最大值原理178
4.4.4解的唯一性和连续依赖性182
4.4.5数值方法182
4.5时间分布阶的偏微分方程的数值方法185
4.5.1紧差分格式.185
4.5.2紧差分格式的数值分析.189
4.6时间分布阶-空间分数阶扩散方程的数值方法194
4.6.1时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散方程194
4.6.2隐式差分方法的数值分析196
4.7空间分布阶扩散方程的隐式差分方法202
4.7.1一维情况下的隐式差分方法.202
4.7.2二维情况下的隐式交替方向方法205
参考文献210
第5章变分数阶偏微分方程的差分方法214
5.1变分数阶导数的定义214
5.2空间变分数阶对流-扩散方程215
5.2.1隐式差分方法215
5.2.2显式Euler方法的稳定性和收敛性219
5.2.3隐式Euler方法的稳定性和收敛性221
5.2.4其他数值方法224
5.3时间变分数阶移动/不动对流-扩散方程225
5.3.1隐式Euler方.226
5.3.2隐式Euler方法的稳定性227
5.3.3隐式Euler方法的收敛性229
5.4时间变分数阶扩散方程的数值方法.230
5.4.1时间变分数阶扩散方程的逼近格式231
5.4.2逼近格式的稳定性233
5.4.3逼近格式的收敛性235
5.4.4逼近格式的可解性240
5.5时间-空间变分数阶对流-扩散方程240
5.5.1隐式Euler方法240
5.5.2隐式Euler方法的稳定性243
5.5.3隐式Euler方法的收敛性246
5.6二维空间变分数阶偏微分方程248
5.6.1一种隐式交替方向方法249
5.6.2稳定性和收敛性分析251
参考文献255
第6章分数阶偏微分方程的有限元法257
6.1预备知识257
6.2时间分数阶Cable方程的Galerkin有限元法261
6.2.1时间离散的半离散格式261
6.2.2全离散Galerkin有限元近似266
6.3一维空间分数阶对流-扩散方程的Galerkin有限元法270
6.3.1变分公式271
6.3.2隐式Galerkin有限元完全离散格式272
6.3.3稳定性和收敛性分析273
6.4一维时间-空间分数阶扩散方程的有限元法276
6.4.1全离散格式的稳定性分析279
6.4.2全离散格式的误差估计281
6.5二维空间分数阶扩散方程的Galerkin有限元方法283
6.5.1二维分数阶导数空间和分数阶Sobolev空间283
6.5.2变分形式288
6.5.3全离散Galerkin有限元格式289
6.6二维时间-空间分数阶Bloch-Torrey方程的有限元方法293
6.6.1半离散格式293
6.6.2全离散格式的收敛性296
参考文献300
第7章分数阶偏微分方程的谱方法303
7.1时间分数阶导数空间和Jacobi多项式303
7.1.1时间分数阶导数空间303
7.1.2Jacobi多项式与分数次Jacobi多项式305
7.2时间分数阶Fokker-Planck方程的高阶空间-时间谱方法309
7.2.1变分形式310
7.2.2空间-时间谱方法312
7.2.3谱方法的实现314
7.2.4数值例子316
7.3一维时间-空间分数阶扩散方程的高阶空间-时间谱方法.320
7.3.1时间离散322
7.3.2空间离散323
7.3.3算法的实现323
7.3.4稳定性和收敛性325
7.4二维Riesz空间分数阶非线性反应-扩散方程的Crank-Nicolson交替方向谱方法329
7.4.1格式和实现329
7.4.2稳定性和收敛性334
7.4.3应用于分数阶的FitzHugh-Nagumo模型340
7.4.4数值例子341
7.5求解具有分数阶Laplace算子的反常扩散方程的高阶谱方法343
7.5.1空间离散343
7.5.2半离散问题的解345
参考文献347
第8章有限体积方法和无网格方法350
8.1空间分数阶对流-扩散方程的有限体积方法350
8.1.1离散格式350
8.1.2理论分析354
8.2双侧空间分数阶扩散方程的一个新的分数阶有限体积方法360
8.2.1一个新的分数阶有限体积方法360
8.2.2分数阶有限体积方法的理论分析363
8.3二维空间分数阶反应-扩散方程的非结构网格有限体积方法371
8.3.1非结构网格有限体积方法373
8.3.2预处理Lanczos方法375
8.3.3数值例子377
8.4径向基点插值方法380
8.5时间分数阶扩散方程的RPCM逼近383
8.5.1半离散格式383
8.5.2方程的RPCM逼近384
8.5.3算法和数值例子385
8.6空间分数阶扩散方程的RPCM逼近388
8.6.1支持域的选取388
8.6.2形函数分数阶导数的计算及算法388
8.6.3方程的RPCM逼近389
8.6.4数值例子390
参考文献390
第9章人类大脑组织中的反常扩散模型的数值模拟393
9.1链接大脑的计算模拟395
9.2分数阶Bloch方程的数值模拟399
9.2.1分数阶Bloch方程399
9.2.2预备知识401
9.2.3时间分数阶Bloch方程的解析解.403
9.2.4求解时间分数阶Bloch方程的分数阶预估-校正方法403
9.2.5求解时间分数阶Bloch方程的分数阶预估-校正方法的误差分析404
9.2.6反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法406
9.2.7反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法的稳定性408
9.2.8反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法的收敛性409
9.3时间-空间Bloch-Torrey方程的数值模拟410
9.3.1时间-空间Bloch-Torrey方程410
9.3.2时间-空间分数阶Bloch-Torrey方程的隐式差分方法411
9.3.3分数阶Bloch-Torrey方程的隐式数值方法的稳定性413
9.3.4时间-空间分数阶Bloch-Torrey方程的隐式差分方法的收敛性416
9.3.5时间-空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法418
9.3.6时间-空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法的稳定性420
9.3.7时间-空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法的收敛性421
参考文献424
第10章心脏科学中非均匀介质内的分数阶模型的数值模拟427
10.1非均匀介质中扩散过程的分数阶模型427
10.2二维Riesz分数阶空间中的非线性反应-扩散模型430
10.2.1隐式差分方法431
10.2.2隐式差分方法的稳定性和收敛性432
10.2.3隐式交替方向方法434
10.2.4隐式交替方向法的稳定性和收敛性435
10.3二维变分数阶非线性反应-扩散模型438
10.3.1半隐式交替方向法439
10.3.2半隐式交替方向法的稳定性和收敛性441
10.4近似不规则域上的二维分数阶非线性反应-扩散模型444
10.4.1近似不规则域上的半隐式交替方向法445
10.4.2半隐式交替方向法的稳定性和收敛性449
10.5数值结果452
参考文献455
索引458
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