中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书根据2014年7个报告的讲稿整理而成，内容涉及数学控制论、非负曲率流形与Tits几何、素数分布与M.bius正交性猜想、度量黎曼几何之旅、局部指标理论、二维拓扑场理论与镜对称、拓扑量子态与拓扑电子材料等。
样章试读
目录
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序
前言
1 数学控制论浅谈 张旭
1.1 引言 1
1.1.1 概述 1
1.1.2 控制科学发展简史 2
1.1.3 控制科学中的基本问题 4
1.1.4 数学控制论 6
1.2 有限维系统控制理论 7
1.2.1 有限维系统的能控性 7
1.2.2 有限维系统的最优控制 9
1.3 分布参数系统控制理论 12
1.3.1 分布参数系统的能控性 13
1.3.2 分布参数系统的最优控制 18
1.4 随机有限维系统控制理论 20
1.4.1 随机有限维系统的能控性 21
1.4.2 随机有限维系统的最优控制 23
1.5 随机分布参数系统控制理论 25
1.5.1 随机分布参数系统的能控性 26
1.5.2 随机分布参数系统的最优控制 29
参考文献 33
2 非负曲率流形与Tits几何 方复全
2.1 非负曲率黎曼流形的主要结构定理 39
2.2 非负曲率流形上的反射群 40
2.3 极作用 42
2.4 极作用和房系统 44
2.5 正曲率流形上的极作用 46
参考文献 48？
3 素数分布与Mobius正交性猜想 刘建亚
3.1 轨道上的素数分布 50
3.2 二次型与高次型 52
3.3 Mobius正交性猜想 53
3.4 远端流 55
3.5 α非丢番图 57
参考文献 58
4 度量黎曼几何之旅 戎小春 黄虹智
4.1 引言 60
4.2 低维Riemann几何 61
4.3 经典比较Riemann几何 64
4.3.1 截面曲率与距离比较 65
4.3.2 Ricci曲率与体积比较 69
4.4 Gromov-Hausdorff拓扑 71
4.5 度量Riemann几何的进展 75
4.5.1 截面曲率两边有界与收敛塌缩理论 75
4.5.2 截面曲率有下界与Alexandrov几何 77
4.5.3 Ricci曲率有下界与Cheeger-Colding理论 78
参考文献 81
5 局部指标理论简介 张伟平
5.1 指标定理简介 84
5.1.1 从三角形到流形 84
5.1.2 Gauss-Bonnet-Chern定理与Chern-Weil理论 88
5.1.3 Hirzebruch符号差定理与Hirzebruch-Riemann-Roch定理 91
5.1.4 Atiyah-Singer指标定理 93
5.1.5 McKean-Singer公式 95
5.2 局部指标理论 97
5.2.1 局部Gauss-Bonnet-Chern定理 98
5.2.2 关于Dirac算子的Atiyah-Singer指标定理 99
5.2.3 关于Dirac算子的局部指标定理与η-不变量 101
6 二维拓扑场理论与镜对称 范辉军
6.1 前言 104
6.2 黎曼面, 曲线模空间和Witten猜想 109
6.2.1 黎曼面和曲线模空间 109？
6.2.2 模空间的紧化以及同义映射 111
6.2.3 曲线模空间上的同义环和递归关系 113
6.2.4 KdV可积系统 118
6.2.5 相交理论与Witten猜想 120
6.2.6 带边黎曼面的模空间与开的KdV可积系统 122
6.2.7 评论 126
6.3 卡-丘(CY)流形之间的镜对称现象 126
6.3.1 Candelas, dela Ossa, Green和Parks的发现 126
6.3.2 镜像对称的几何构造 128
6.3.3 Strominger-Yau-Zaslow镜像对称猜想 142
6.3.4 非卡-丘模型的SYZ猜想 146
6.4 辛几何与伪全纯曲线模空间(A模型1) 146
6.4.1 稳定映射的模空间与Gromov-Witten不变量 146
6.4.2 Kontsevich-Manin公理化体系 149
6.4.3 WDVV方程和量子乘法 151
6.5 复结构形变理论(B模型 1) 160
6.5.1 一般复流形的形变理论 160
6.5.2 卡-丘流形的形变 164
6.5.3 紧Kahler流形上Hodge结构的形变与周期域 166
6.5.4 三维卡-丘流形上的特殊几何和tt*方程 169
6.5.5 DGBV代数与Frobenius流形 174
6.5.6 复结构形变的量子化方法 185
6.6 朗道-金兹堡(LG)模型与更一般的镜对称现象 199
6.7 上同调场论 202
6.8 关于奇点的Saito-Givental量子化理论(B模型2) 203
6.8.1 经典的奇点理论 203
6.8.2 Saito平坦结构理论 204
6.8.3 本原形式的扰动计算方法 210
6.8.4 Givental形式量子化 213
6.9 FJRW理论(量子奇点理论)(A模型2) 229
6.9.1 状态空间 229
6.9.2 虚拟基本圈的构造和穿墙现象 231
6.9.3 FJRW理论的公理体系 236
6.10 ADE情形广义Witten猜想的解决和整体的镜对称猜想 239
6.11 微分几何途径：Schroedinger方程与LG模型的Hodge理论 241
6.11.1 截面-丛系统中的微分算子与超对称代数结构 242
6.11.2 谱理论, Hodge定理和Hard Lefschetz定理 242
6.11.3 L2*f-上同调群的计算 244
6.11.4 超位势的形变理论与稳定性定理 244
6.11.5 tt*几何结构 245
6.11.6 tt*几何与Frobenius流形结构 (当*→0时) 250
6.11.7 进一步的发展 252
6.12 开弦理论简介 252
6.12.1 拉格朗日相交的Floer理论 253
6.12.2 Fukaya范畴 260
6.12.3 B理论的范畴化 268
6.12.4 同调镜像对称猜想 277
6.12.5 进一步的问题 282
6.13 统一理论：规范线性西格玛模型 283
参考文献 289
7 拓扑量子态与拓扑电子材料 方忠
7.1 简介 307
7.1.1 对称性与物态 308
7.1.2 准粒子与能带 309
7.1.3 拓扑量子态 311
7.2 拓扑不变量 313
7.2.1 动量空间 313
7.2.2 联络与曲率 315
7.2.3 陈数 317
7.2.4 Z2不变量 318
7.2.5 磁单极 318
7.3 拓扑量子态 319
7.3.1 整数量子霍尔效应(IQHE)/量子反常霍尔效应(QAHE) 320
7.3.2 量子自旋霍尔效应(QSHE) 321
7.3.3 拓扑绝缘体 321
7.3.4 拓扑金属/半金属 322
7.4 拓扑材料 323
7.4.1 反带机制 323
7.4.2 二维拓扑绝缘体：HgTe量子阱 324
7.4.3 三维拓扑绝缘体Bi2Se3、Bi2Te3、Sb2Te3家族 325
7.4.4 量子化反常霍尔效应 326
7.4.5 Weyl半金属 326
7.4.6 Dirac半金属 327
7.5 总结 328
参考文献 328
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