本书系统地介绍了自然边界积分方法的数学理论及其应用，总结了作者在这一方向三十余年的研究成果，包括椭圆边值问题的自然边界归化原理、超奇异积分的数值计算、对调和方程边值问题、重调和方程边值问题、平面弹性问题和Stokes问题的应用、自然边界元与有限元耦合法，以及基于自然边界归化的无界区域分解算法等内容。
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第1章 自然边界元方法的一般原理 1
1.1 引言 1
1.2 边界归化与边界元方法 3
1.2.1 间接边界归化 3
1.2.2 直接边界归化 10
1.2.3 边界积分方程的数值解法 11
1.3 自然边界归化的基本思想 13
1.3.1 椭圆边值问题的自然边界归化 14
1.3.2 Neumann问题的等价变分问题 19
1.3.3 自然积分算子的表达式 21
1.4 超奇异积分的数值计算 24
1.4.1 积分核级数展开法 24
1.4.2 奇异部分分离计算法 27
1.4.3 有限部分积分的近似求积公式 34
1.4.4 正则化方法及间接计算法 41
1.5 自然边界元解的收敛性与误差估计 43
1.5.1 近似变分问题及其解的收敛性 44
1.5.2 边界上的误差估计 47
1.5.3 区域内的误差估计 53
1.6 关于Poisson积分公式的计算 55
1.6.1 利用特解求近边界点的解函数值 55
1.6.2 误差估计 58
第2章 调和方程边值问题 60
2.1 引言 60
2.2 解的复变函数表示 61
2.2.1 定理及其证明 61
2.2.2 简单应用实例 62
2.3 自然边界归化原理 65
2.3.1 区域上的变分问题 66
2.3.2 自然边界归化及边界上的变分问题 68
2.4 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式 72
2.4.1 Ω为上半平面 72
2.4.2 Ω为圆内区域 77
2.4.3 Ω为圆外区域 82
2.4.4 几个简单例子 82
2.5 一般单连通域上的自然边界归化 87
2.5.1 保角映射与自然边界归化 87
2.5.2 对角形域、扇形域与矩形域的应用 89
2.6 自然积分算子及其逆算子 91
2.6.1 上半平面自然积分算子 92
2.6.2 圆内 (外) 区域自然积分算子 94
2.6.3 关于一般单连通域的一个定理 98
2.7 自然积分方程的直接研究 104
2.7.1 上半平面自然积分方程 104
2.7.2 圆内 (外) 区域自然积分方程 105
2.8 自然积分方程的数值解法 108
2.8.1 刚度矩阵系数的计算公式 109
2.8.2 刚度矩阵的条件数 117
2.8.3 自然边界元解的误差估计 120
2.8.4 数值例子 121
2.9 断裂及凹角扇形域上自然积分方程的数值解 127
2.9.1 自然积分方程及其边界元解 127
2.9.2 近似解的误差估计 129
2.9.3 解的奇异性分析 131
2.9.4 数值例子 132
第3章 重调和方程边值问题 136
3.1 引言 136
3.2 解的复变函数表示 138
3.2.1 定理及其证明 139
3.2.2 简单应用实例 140
3.3 自然边界归化原理 143
3.3.1 区域上的变分问题 143
3.3.2 自然边界归化及边界上的变分问题 148
3.4 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式 153
3.4.1 Ω为上半平面 153
3.4.2 Ω为圆内区域 158
3.4.3 Ω为圆外区域 167
3.4.4 几个简单例子 175
3.5 自然积分算子及其逆算子 179
3.5.1 上半平面自然积分算子 180
3.5.2 圆内区域自然积分算子 181
3.5.3 圆外区域自然积分算子 184
3.6 自然积分方程的直接研究 185
3.6.1 上半平面自然积分方程 185
3.6.2 圆内区域自然积分方程 187
3.6.3 圆外区域自然积分方程 193
3.7 自然积分方程的数值解法 199
3.7.1 刚度矩阵系数的计算公式 200
3.7.2 自然边界元解的误差估计 205
3.7.3 数值例子 207
3.8 多重调和方程边值问题 211
3.8.1 解的复变函数表示 211
3.8.2 自然边界归化原理 213
3.8.3 关于上半平面的若干结果 215
第4章 平面弹性问题 219
4.1 引言 219
4.2 解的复变函数表示 222
4.2.1 定理及其证明 222
4.2.2 简单应用实例 226
4.3 自然边界归化原理 230
4.3.1 区域上的变分问题 230
4.3.2 自然边界归化及边界上的变分问题 233
4.4 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式 236
4.4.1 Ω为上半平面 236
4.4.2 Ω为圆内区域 241
4.4.3 Ω为圆外区域 253
4.4.4 几个简单例子 260
4.5 自然积分算子及其逆算子 264
4.5.1 上半平面自然积分算子 264
4.5.2 圆内区域自然积分算子 266
4.5.3 圆外区域自然积分算子 275
4.6 自然积分方程的直接研究 276
4.6.1 上半平面自然积分方程 277
4.6.2 圆内区域自然积分方程 278
4.6.3 圆外区域自然积分方程 292
4.7 自然积分方程的数值解法 294
4.7.1 刚度矩阵系数的计算公式 295
4.7.2 自然边界元解的误差估计 299
4.7.3 数值例子 301
第5章 Stokes问题 304
5.1 引言 304
5.2 解的复变函数表示 305
5.2.1 定理及其证明 305
5.2.2 简单应用实例 309
5.3 自然边界归化原理 312
5.3.1 Green公式 313
5.3.2 自然边界归化及等价变分问题 315
5.4 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式 318
5.4.1 Ω为上半平面 318
5.4.2 Ω为圆外区域 322
5.4.3 Ω为圆内区域 329
5.4.4 几个简单例子 332
5.5 自然积分算子及其逆算子 337
5.5.1 上半平面自然积分算子 337
5.5.2 圆外区域自然积分算子 339
5.5.3 圆内区域自然积分算子 344
5.6 自然积分方程的直接研究 350
5.6.1 上半平面自然积分方程 351
5.6.2 圆外区域自然积分方程 352
5.6.3 圆内区域自然积分方程 359
5.7 自然积分方程的数值解法 370
5.7.1 刚度矩阵系数的计算公式 371
5.7.2 自然边界元解的误差估计 374
5.7.3 数值例子 376
第6章 自然边界元与有限元耦合法 377
6.1 引言 377
6.2 耦合法解调和方程边值问题 378
6.2.1 断裂区域问题 378
6.2.2 无界区域问题 386
6.2.3 数值例子 389
6.3 耦合法解重调和方程边值问题 392
6.3.1 耦合法原理 392
6.3.2 收敛性与误差估计 394
6.4 耦合法解平面弹性问题 397
6.4.1 耦合法原理 397
6.4.2 收敛性与误差估计 398
6.5 耦合法解 Stokes问题 400
6.5.1 耦合法原理 400
6.5.2 收敛性与误差估计 403
6.6 无穷远边界条件的近似 405
6.6.1 积分边界条件的近似 405
6.6.2 误差估计 409
第7章 基于自然边界归化的区域分解算法 417
7.1 引言 417
7.2 基于自然边界归化的重叠型区域分解算法 418
7.2.1 Schwarz 交替法及其收敛性 419
7.2.2 收敛速度分析 423
7.2.3 若干例子 426
7.3 基于自然边界归化的非重叠型区域分解算法 428
7.3.1 Dirichlet-Neumann交替法及其收敛性 428
7.3.2 离散化及其收敛性 435
7.3.3 数值例子 440
7.3.4 对平面弹性问题的应用 445
7.4 Steklov-Poincare算子及其逆算子 452
7.4.1 二阶椭圆边值问题 452
7.4.2 重调和边值问题 455
7.4.3 平面弹性问题 458
7.4.4 Stokes问题 460
7.4.5 预条件Steklov-Poincare算子 462
参考文献 463
索引 481
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