本书是关于超奇异积分的数值计算及其应用方面的专著,全书共8章：第1章为引言,简要介绍超奇异积分的由来,使读者可以轻松地阅读本书;第2章阐述边界归化方法和典型域上的超奇异积分方程,详细介绍区间上和圆周上超奇异积分方程的引入,以及求解超奇异积分方程的经典方法;第3章介绍超奇异积分的定义,并阐述不同的定义在一定条件下是等价的;第4章阐述超奇异积分的计算的准确计算方法和常用的数值方法;第5—7章分别阐述区间上超奇异积分的超收敛现象、圆周上超奇异积分的超收敛现象以及外推法近似计算区间上和圆周上超奇异积分的高精度算法;第8章阐述配置法求解区间上和圆周上的超奇异积分方程.本书取材新颖,理论分析严谨,算例翔实,所提供的算法计算复杂度低、精度高、易于实现,提出的外推算法拥有后验误差估计.
样章试读
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前言
第1章 引言 1
第2章 边界归化方法和典型域上的超奇异积分方程 4
2.1 边界归化方法 4
2.1.1 间接边界归化方法 4
2.1.2 直接边界归化方法 11
2.1.3 边界积分方程的数值解法 13
2.1.4 自然边界归化的基本思想 15
2.2 典型域上的Poisson积分公式及超奇异积分方程 19
2.2.1 Ω为上半平面 20
2.2.2 Ω为圆内区域 21
2.2.3 Ω为圆外区域 23
2.2.4 Ω为球内外区域 24
第3章 超奇异积分定义 28
3.1 柯西型奇异积分定义 28
3.1.1 柯西主值积分定义 29
3.1.2 二维柯西主值积分定义 31
3.1.3 Hilbert型奇异积分定义 33
3.1.4 多奇异核积分定义 33
3.2 超奇异积分定义 34
3.2.1 Hadamard有限部分积分定义 35
3.2.2 奇异部分分离定义 37
3.2.3 积分核级数展开法 38
3.2.4 求导定义 40
3.2.5 正则化方法及间接计算法 44
3.2.6 超奇异积分性质 46
3.3 超奇异积分的推广 47
3.3.1 整数阶超奇异积分的推广 47
3.3.2 实数阶超奇异积分 50
3.3.3 二维奇异积分与超奇异积分的定义 51
第4章 超奇异积分的计算 54
4.1 超奇异积分的准确计算 54
4.1.1 柯西主值积分的准确计算 54
4.1.2 有限部分积分的准确计算 60
4.1.3 任意阶超奇异积分的准确计算 65
4.2 牛顿-科茨积分公式 69
4.2.1 梯形公式和辛普森公式近似计算二阶超奇异积分 71
4.2.2 二阶超奇异积分近似计算的改进算法 74
4.2.3 数值算例 78
4.3 高斯积分公式 79
4.3.1 公式的提出 79
4.3.2 主要结论 84
4.4 基于辛普森公式的三阶超奇异积分近似计算 88
4.4.1 公式的提出 88
4.4.2 数值积分公式 92
4.4.3 数值算例 95
4.5 自适应算法近似计算超奇异积分 95
4.5.1 区间上奇异点与剖分节点重合时的误差估计 95
4.5.2 圆周上奇异点与剖分节点重合时的误差估计 102
4.5.3 数值算例 105
4.6 其他数值方法 107
第5章 区间上超奇异积分的超收敛现象 113
5.1 梯形公式近似计算超奇异积分 113
5.1.1 积分公式的提出 113
5.1.2 主要结论 115
5.1.3 当p=1时定理5.1.1的证明 124
5.1.4 唯一性证明 124
5.1.5 当p=2时定理5.1.1的证明 125
5.1.6 数值算例 128
5.2 辛普森公式近似计算区间上二阶超奇异积分 130
5.2.1 积分公式的提出 130
5.2.2 主要结论 130
5.2.3 唯一性证明 135
5.2.4 数值算例 137
5.3 牛顿-科茨公式近似计算区间上二阶超奇异积分 137
5.3.1 主要结论 138
5.3.2 定理5.3.2的证明 139
5.3.3 超收敛点的存在性 144
5.3.4 数值算例 150
5.4 辛普森公式近似计算区间上三阶超奇异积分 151
5.4.1 积分公式的提出 152
5.4.2 主要结论 152
5.4.3 定理5.4.1的证明 158
5.4.4 超收敛点的存在唯一性 158
5.4.5 超收敛点的一些应用 162
5.4.6 数值算例 165
5.5 牛顿-科茨公式近似计算区间上三阶超奇异积分 168
5.5.1 积分公式的提出 168
5.5.2 主要结论 171
5.5.3 S′k(τ)的计算 173
5.5.4 定理5.5.2的证明 176
5.5.5 数值算例 182
5.6 牛顿-科茨公式近似计算区间上任意阶超奇异积分 184
5.6.1 积分公式的提出 184
5.6.2 主要结论 185
5.6.3 特殊函数S(p)k(τ)的性质 185
5.6.4 数值算例 186
第6章 圆周上超奇异积分的超收敛现象 188
6.1 梯形公式近似计算圆周上的二阶超奇异积分 188
6.1.1 积分公式的提出 190
6.1.2 主要结论 192
6.1.3 定理 6.1.3 的证明 199
6.1.4 梯形公式的一些应用 199
6.1.5 数值算例 205
6.2 牛顿-科茨公式近似计算圆周上的二阶超奇异积分 207
6.2.1 积分公式和超收敛结论 209
6.2.2 定理6.2.2的证明 211
6.2.3 超收敛点的存在性 222
6.2.4 科茨系数的计算 225
6.2.5 数值算例 227
6.3 梯形公式近似计算圆周上的三阶超奇异积分 231
6.3.1 积分公式的提出 231
6.3.2 主要结论 233
6.3.3 定理6.3.1的证明 242
6.3.4 数值算例 246
6.4 辛普森公式近似计算圆周上三阶超奇异积分 250
6.4.1 积分公式的提出 251
6.4.2 主要结论 251
6.4.3 定理6.4.1的证明 252
6.4.4 数值算例 260
第7章 外推法近似计算超奇异积分 263
7.1 外推法近似计算区间上二阶超奇异积分 263
7.1.1 主要结论 264
7.1.2 定理7.1.1的证明 273
7.1.3 外推算法 275
7.1.4 数值算例 278
7.2 外推法近似计算圆周上二阶超奇异积分 281
7.2.1 主要结论 281
7.2.2 定理7.2.1的证明 288
7.2.3 外推算法 290
7.2.4 数值算例 292
第8章 配置法求解区间上和圆周上的超奇异积分方程 296
8.1 基于中矩形公式的配置法求解区间上的超奇异积分方程 296
8.1.1 积分公式的提出 296
8.1.2 主要结论 299
8.1.3 配置法求解区间上的超奇异积分方程 303
8.1.4 数值算例 310
8.2 基于中矩形公式的配置法求解圆周上的超奇异积分方程 312
8.2.1 积分公式的提出 313
8.2.2 主要结论 315
8.2.3 配置法求解圆周上的超奇异积分 321
8.2.4 数值算例 328
参考文献 330
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