本书总结了各种广义的最小二乘问题的理论与计算的最新成果.主要包括最小二乘问题、总体最小二乘问题、等式约束最小二乘问题以及刚性加权最小二乘问题等的理论与科学计算问题.由于四元数矩阵及四元数矩阵的计算在彩色图像处理、量子物理和量子化学等领域有广泛应用，在第二版中添加了四元数矩阵及四元数矩阵的实保结构算法等最新内容。
由于各种广义奇异值分解在解决矩阵论和数值代数问题中有着重要的作用，书中也较详细地介绍了广义的奇异值分解，并应用于解决若干矩阵论和数值代数问题.本书需要的预备知识为数值代数、矩阵论和四元数矩阵分析。
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《大学数学科学丛书》序
第二版前言
第一版前言
符号表
第一章 预备知识 1
1.1 引言 1
1.2 特征值和特征向量 2
1.3 矩阵分解 4
1.3.1 若干基本分解 4
1.3.2 SVD的推广 6
1.4 Hermite矩阵的特征值和矩阵的奇异值 13
1.4.1 Hermite矩阵特征值的极小极大定理 13
1.4.2 矩阵奇异值的极小极大定理 15
1.5 广义逆 16
1.5.1 Moore-Penrose逆 16
1.5.2 其他广义逆 19
1.6 投影 20
1.6.1 幂等矩阵和投影 21
1.6.2 正交投影 23
1.6.3 投影AAy和AyA的几何意义 24
1.7 范数 25
1.7.1 向量范数 25
1.7.2 矩阵范数 28
1.8 行列式,Hadamard不等式和Kronecker乘积 34
1.8.1 Binet-Cauchy公式 34
1.8.2 Hadamard不等式 36
1.8.3 Kronecker乘积 37
1.9 矩阵广义逆的进一步讨论 39
1.9.1 矩阵乘积广义逆的反序律 40
1.9.2 加边矩阵的广义逆 43
1.9.3 矩阵加权广义逆的结构 46
习题一 53
第二章 奇异值,奇异子空间和MP逆的扰动 57
2.1 酉不变范数的性质 57
2.1.1 Von Neumann定理 57
2.1.2 SG函数 60
2.1.3 酉不变范数的性质 62
2.2 奇异值的扰动和降秩最佳逼近 64
2.2.1 奇异值的扰动 64
2.2.2 降秩最佳逼近 65
2.3 正交投影和奇异子空间的扰动 68
2.4 MP逆的扰动 77
习题二 80
第三章 线性最小二乘问题 84
3.1 线性最小二乘问题 84
3.1.1 线性最小二乘及其等价性问题 85
3.1.2 LS 问题的正则化 87
3.2 LS 问题的扰动 89
3.3 若干矩阵方程的 LS 解 94
3.4 加权最小二乘问题 98
3.5 WLS问题的误差估计 101
3.5.1 第一种类型的误差界 102
3.5.2 第二种类型的误差界 104
习题三 105
第四章 总体最小二乘问题 108
4.1 总体最小二乘问题及其解集 108
4.1.1 总体最小二乘问题的定义 108
4.1.2 TLS问题的解集 115
4.2 TLS和截断的LS问题的扰动 117
4.2.1 TLS问题的扰动 118
4.2.2 截断的LS问题的扰动 124
4.3 TLS和截断的LS问题的比较 126
4.3.1 TLS和截断的LS问题的解的比较 127
4.3.2 TLS和截断的LS问题残量的比较 129
4.3.3 TLS和截断的LS问题极小F范数修正矩阵的比较 131
4.3.4 一个实例 135
4.4 推广的降秩最佳逼近定理 136
4.5 LS-TLS问题 143
4.6 约束总体最小二乘问题 149
习题四 152
第五章 等式约束最小二乘问题 156
5.1 等式约束最小二乘问题 156
5.1.1 等式约束最小二乘问题的定义与解集 156
5.1.2 等式约束最小二乘问题的等价性问题 158
5.2 关于KKT方程 164
5.2.1 WLS问题的KKT方程 164
5.2.2 LSE和WLS问题的KKT方程解的比较 167
5.2.3 对应于B和 B(. )零特征值的特征子空间 168
5.3 LSE问题的误差估计 168
5.4 等式约束加权最小二乘问题 178
5.4.1 等式约束加权最小二乘问题的定义与解集 178
5.4.2 加权最小二乘问题的等价性问题 179
5.5 WLSE问题的扰动 182
5.6 多重约束MP逆和多重约束最小二乘问题 186
5.7 嵌入总体最小二乘问题 190
习题五 196
第六章 加权MP逆和约束加权MP逆的上确界 199
6.1 基本问题 199
6.2 加权MP逆的上确界 202
6.3 约束加权MP逆的上确界 207
6.4 双侧加权MP逆的上确界 214
习题六 217
第七章 WLS问题和WLSE问题的稳定性扰动 219
7.1 加权MP逆和约束加权MP逆的稳定性 219
7.1.1 加权MP逆的稳定性 219
7.1.2 约束加权MP逆的稳定性 222
7.1.3 双侧加权MP逆的稳定性 226
7.2 加权投影矩阵的扰动上界 228
7.3 加权最小二乘问题的稳定性扰动 236
7.4 约束加权最小二乘问题的稳定性扰动 239
习题七 244
第八章 刚性加权最小二乘问题 246
8.1 预备知识 246
8.2 刚性加权最小二乘和多重约束最小二乘问题 249
8.3 刚性加权投影矩阵和刚性加权MP逆的扰动 252
8.4 刚性加权最小二乘问题的扰动 260
习题八 261
第九章 广义最小二乘问题的直接解法 263
9.1 基本知识 263
9.1.1 算法和浮点运算 263
9.1.2 正定矩阵线性方程组的数值计算 264
9.1.3 矩阵的预条件处理 266
9.2 正交分解的数值计算 267
9.2.1 QR分解 267
9.2.2 完全正交分解 277
9.2.3 奇异值分解 279
9.3 最小二乘问题的直接解法 281
9.3.1 QR分解方法 281
9.3.2 法方程法 282
9.3.3 完全正交分解方法 282
9.3.4 SVD方法 283
9.4 总体最小二乘问题的直接解法 283
9.4.1 基本SVD方法 283
9.4.2 完全正交方法 284
9.4.3 Cholesky分解法 284
9.5 约束最小二乘问题的数值解法 285
9.5.1 零空间法 285
9.5.2 加权LS法 286
9.5.3 直接消去法 286
9.5.4 QR分解和Q-SVD方法 289
9.6 刚性WLS问题和刚性WLSL问题的直接解法 290
9.6.1 行稳定的QR分解 290
9.6.2 刚性WLS问题的稳定解法 292
9.6.3 刚性WLSE问题的稳定解法 295
习题九 295
第十章 广义最小二乘问题的迭代解法 298
10.1 基本知识 298
10.1.1 Chebyshev多项式 298
10.1.2 分裂迭代法的基本理论 301
10.1.3 实对称三对角矩阵的特征值的范围 305
10.2 最小二乘解的迭代算法 307
10.2.1 分裂迭代法 307
10.2.2 Krylov子空间法 312
10.2.3 预条件对称反对称分裂迭代法 320
10.3 总体最小二乘问题的迭代解法 324
10.3.1 部分SVD方法 325
10.3.2 双对角化方法 325
10.4 刚性加权最小二乘问题的迭代解法 327
习题十 329
第十一章 非线性最小二乘问题的迭代解法 331
11.1 基本知识 331
11.1.1 Gateaux导数和Frechet导数 331
11.1.2 基本算法 333
11.2 Gauss-Newton型方法 333
11.2.1 Gauss-Newton方法 334
11.2.2 阻尼Gauss-Newton方法 334
11.2.3 信赖域方法 336
11.3 Newton型方法 337
11.3.1 Newton迭代法 337
11.3.2 混合Newton迭代法 337
11.3.3 拟 Newton迭代法 338
11.4 可分离问题和约束问题 339
11.4.1 可分离问题 339
11.4.2 约束非线性最小二乘问题 340
习题十一 342
第十二章 四元数矩阵的性质 344
12.1 四元数及其性质 344
12.2 四元数矩阵及其性质 346
12.3 四元数矩阵的特征值问题 347
12.4 四元数矩阵的实表示矩阵 350
习题十二 352
第十三章 四元数GLS问题的数值计算 354
13.1 初等矩阵 355
13.2 四元数Hermite正定矩阵的LDLH分解和Cholesky分解 359
13.3 四元数矩阵的QR分解 362
13.3.1 四元数矩阵的Householder QR分解 362
13.3.2 四元数矩阵QR分解的改进的Gram-Schmidt方法 366
13.4 四元数矩阵的SVD367
13.5 四元数LS问题的数值解法 371
13.5.1 四元数LS问题的直接方法 372
13.5.2 四元数LS问题的迭代算法 373
13.6 四元数TLS问题的数值解法 378
13.6.1 四元数TLS问题的直接方法 378
13.6.2 四元数TLS问题的迭代算法 380
13.7 四元数LSE问题的数值解法 381
习题十三 384
第十四章 四元数LS与WLS问题的误差分析 385
14.1 四元数LS问题的误差估计 385
14.2 四元数WLS问题的扰动分析 389
14.3 四元数LS扰动问题的进一步讨论 394
14.4 数值例子 397
参考文献 400
《大学数学科学丛书》已出版书目 415
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