本书为中国科学技术大学数学类本科生的“概率论”教材, 既保留了第二版中原有的基本内容: 初等概率论、随机变量、随机向量、数字特征与特征函数、 极限定理等, 又根据国际通用表述习惯和教学需求调整了叙述方式和部分内容, 增加了例题, 使得主干脉络更清楚, 枝叶更丰满.
本书内容丰富, 叙述严谨, 深入浅出, 既以生动浅显的方式说明了概率论中的许多基本概念的直观意义, 又以严密的数学形式陈述了这些概念的数学本质. 书中的有趣例题和大量习题有助于读者理解和掌握概率论基础知识. 在教学中, 标有*号的节或小节可以跳过不讲, 不影响内容的衔接.
样章试读
目录
- 目录
序
第三版前言
第一版前言
第 1 章 预备知识 1
¤1.1 随机现象和随机事件 1
1.2 随机事件的运算 3
¤1.3 古典概型 9
¤1.4 古典概型的一些例子 17
1.5 几何概型 24
¤1.6 絮话概率论 31
第 2 章 初等概率论 35
2.1 概率论的公理化体系 35
2.1.1 什么是随机事件 35
2.1.2 事件 . 域 36
2.1.3 关于事件 . 域的一些讨论 37
2.1.4 什么是概率 40
2.1.5 概率空间的例子 44
2.2 利用概率性质解题的一些例子 46
2.3 条件概率 55
2.3.1 条件概率的初等概念和乘法定理 56
2.3.2 全概率公式 62
2.3.3 Bayes 公式 70
2.4 一些应用 74
2.4.1 求概率的递推方法 74
2.4.2 秘书问题 75
2.4.3 直线上的随机游动 76
2.5 事件的独立性 83
2.5.1 两个事件的独立性 83
2.5.2 多个事件的独立性 86
2.5.3 独立场合下的概率计算 90
第 3 章 随机变量 95
3.1 初识随机变量 95
3.1.1 随机变量与随机试验 95
3.1.2 随机事件的示性函数是随机变量 99
3.1.3 Bernoulli 随机变量 101
3.1.4 Bernoulli 随机变量应用举例 104
3.2 与 Bernoulli 试验有关的随机变量 108
3.2.1 多重 Bernoulli 试验中的成功次数 108
3.2.2 Bernoulli 试验中等待成功所需的试验次数 112
¤3.2.3 Pascal 分布 (负二项分布) 117
3.2.4 区间 [0; 1] 上的均匀分布 120
3.3 随机变量与分布函数 123
3.3.1 随机变量及其分布函数 123
3.3.2 分布函数与随机变量 125
3.3.3 分布函数的类型 128
3.3.4 Riemann-Stieltjes 积分与期望方差 132
3.4 Poisson 分布与指数分布 135
3.4.1 Poisson 定理 135
3.4.2 Poisson 分布的性质, 随机和 139
3.4.3 指数分布 140
3.4.4 指数分布与 Poisson 过程的关系 142
3.5 正态分布 146
3.5.1 正态分布的定义与性质 146
3.5.2 正态分布的高度集中性 150
3.6 随机变量的若干变换及其分布 153
¤3.6.1 随机变量的截尾 153
¤3.6.2 与连续型随机变量有关的两种变换 155
3.6.3 随机变量的初等函数 157
¤3.7 絮话正态分布 162
3.7.1 正态分布的来历 162
3.7.2 6. 原则 165
3.7.3 高考中的标准分 166
第 4 章 随机向量 168
4.1 随机向量的概念 168
4.1.1 随机向量的定义 168
4.1.2 多维分布 169
4.2 边缘分布与条件分布 173
4.2.1 边缘分布与条件分布的概念 174
4.2.2 离散型场合 175
4.2.3 连续型场合: 边缘分布与边缘密度 180
4.2.4 连续型场合: 条件分布与条件密度 181
4.2.5 随机变量的独立性 184
4.3 常见的多维连续型分布 190
4.3.1 多维均匀分布 190
4.3.2 二维正态分布 191
4.4 随机向量的函数 193
4.4.1 随机变量的和 194
4.4.2 两个随机变量的商 198
4.4.3 多维连续型随机向量函数的一般情形 199
¤4.4.4 最大值和最小值 204
¤4.4.5 随机变量的随机加权平均 207
¤4.4.6 顺序统计量 208
4.4.7 纪录值 212
第 5 章 数字特征与特征函数 216
5.1 矩与分位数 216
5.1.1 对于数学期望的进一步认识 216
5.1.2 数学期望的性质 219
5.1.3 随机变量的矩 223
5.1.4 方差 227
5.1.5 中位数和 p 分位数 231
¤5.2 条件期望与条件方差 235
5.2.1 条件数学期望及其应用 236
5.2.2 连续情形下的全概率公式 244
5.2.3 数学期望的一些其他应用 247
¤5.2.4 条件方差及其应用 250
¤5.2.5 随机足标和的期望和方差 252
5.3 协方差和相关系数 255
5.3.1 协方差 256
5.3.2 相关系数 257
5.3.3 随机向量的数字特征 264
5.4 特征函数 266
5.4.1 特征函数的定义 267
5.4.2 特征函数的性质 269
5.4.3 关于特征函数的一些讨论 273
5.4.4 特征函数的几个初步应用 278
5.4.5 多元特征函数 281
5.5 多维正态分布 283
5.5.1 多维正态分布的定义 284
5.5.2 多维正态分布定义的推广 286
5.5.3 多维正态分布的性质 287
第 6 章 极限定理 293
6.1 依概率收敛与平均收敛 293
6.1.1 依概率收敛 293
6.1.2 平均收敛 299
6.2 依分布收敛 306
6.2.1 依分布收敛的概念 306
6.2.2 连续性定理及其应用 309
6.3 弱大数律和中心极限定理 314
6.3.1 弱大数律 315
6.3.2 Slutsky 引理 317
6.3.3 中心极限定理 319
6.3.4 独立不同分布场合下的中心极限定理 327
6.3.5 关于中心极限定理成立条件的进一步讨论 336
6.3.6 多维场合下的中心极限定理 340
6.4 a.s. 收敛 344
6.4.1 a.s. 收敛的概念 344
6.4.2 无穷多次发生 347
6.4.3 若干引理与不等式 352
6.5 强大数律 356
6.5.1 独立随机变量级数的 a.s. 收敛性 356
6.5.2 强大数律 361
参考文献 367
附录 368
¤A.1 一些计数模式 368
A.1.1 关于排列组合计数模式的再认识 368
A.1.2 多组组合 369
A.1.3 分球入盒问题 370
A.1.4 可重排列和可重组合 373
A.1.5 大间距组合 373
¤A.2 一些概念和一些定理的证明 377
A.2.1 Poisson 过程初谈 377
A.2.2 反演公式与唯一性定理 379
A.2.3 连续性定理 382
¤A.3 统计学中的三大分布 387
A.3.1 .2 分布 388
A.3.2 t 分布 390
A.3.3 F 分布 391
A.3.4 三大分布在统计中的重要性 392
附表 I 常用分布表 395
附表 II Poisson 分布数值表 398
附表 III 标准正态分布数值表 400
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