本书是由段一士教授长期讲授广义相对论课程的讲义整理而成，在兰州大学使用多年，是我国最早的广义相对论教材之一。本书系统介绍了广义相对论的物理内容，包括必要的数学知识（黎曼几何），爱因斯坦引力场方程，中心球对称解与广义相对论的引力效应，对致密星与黑洞的诠释，还介绍了引力规范理论的基础，以标架方法介绍了SO（N）规范理论与黎曼几何，广义协变Dirac方程，广义相对论中的广义协变守恒定律，并以广义协变守恒定律为基础讨论引力辐射理论，给出了双星引力辐射的计算。
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《21世纪理论物理及其交叉学科前沿丛书》出版前言
本书前言
引言
第1章 黎曼几何 1
1.1 张量 1
1.1.1 坐标变换 1
1.1.2 标量 2
1.1.3 协变矢量 2
1.1.4 逆变矢量 2
1.1.5 张量 3
1.2 协变微商 3
1.2.1 逆变矢量的协变微商 3
1.2.2 协变矢量的协变微商 4
1.3 曲率张量与挠率 4
1.3.1 曲率与挠率的引入 4
1.3.2 以曲率和挠率为基础的流形分类 5
1.4 黎曼流形、度规和黎曼联络 5
1.5 黎曼曲率张量 8
1.6 里奇张量、标曲率和爱因斯坦张量 9
1.7 黎曼曲率张量与拓扑 11
1.7.1 多面体的欧拉示性数 11
1.7.2 二维闭曲面的欧拉示性数 11
1.7.3 Gauss-Bonnet-Chern定理 12
1.8 微分形式与外积 12
1.8.1 dxμ的外积 12
1.8.2 1-形式 12
1.8.3 p-形式 13
1.8.4 广义协变斯托克斯定理 13
1.9 不变体积元和广义高斯积分定理 14
1.9.1 具有协变性的单位反对称张量 14
1.9.2 不变体积元 15
1.9.3 广义协变高斯积分定理 16
第2章 爱因斯坦引力场方程 17
2.1 广义相对论的基本原理 17
2.1.1 基本原理 17
2.1.2 广义相对论中的黎曼时空度规 18
2.2 短程线 19
2.2.1 短程线方程 19
2.2.2 矢量场的平行移动 20
2.3 度规的弱引力场和低速近似(牛顿近似)与牛顿第二定律 22
2.3.1 弱引力场近似 22
2.3.2 牛顿近似 22
2.3.3 牛顿近似下的短程线方程 25
2.4 爱因斯坦引力场方程 27
2.4.1 广义相对论的基本假设 27
2.4.2 能量-动量张量协变散度为零的内涵 27
2.4.3 牛顿近似下的静态引力场方程 28
2.5 爱因斯坦引力理论的作用量 30
2.5.1 Palatini公式 31
2.5.2 引力场作用量的变分与爱因斯坦张量 32
2.5.3 爱因斯坦引力理论的作用量 33
2.6 广义相对论中的坐标条件 34
第3章 引力场方程的中心球对称解与引力效应 35
3.1 引力场方程的中心球对称解 35
3.1.1 中心球对称的度规与线元 35
3.1.2 黎曼联络 37
3.1.3 爱因斯坦张量 37
3.1.4 中心球对称爱因斯坦场方程 38
3.1.5 引力场方程的中心球对称解 38
3.2 行星轨道进动 41
3.2.1 牛顿力学中万有引力作用下行星的运动 41
3.2.2 Schwarzschild度规下的测地线方程 42
3.2.3 面积速度不变 43
3.2.4 广义相对论中的行星轨道方程 43
3.2.5 行星轨道方程的解 45
3.2.6 行星轨道的进动 47
3.2.7 行星运动中的能量守恒 48
3.3 光线在恒星附近的偏折 50
3.3.1 光在引力场中的传播路径 50
3.3.2 Schwarzschild解情况下的光传播路径方程 51
3.3.3 引入变量的光轨道方程 52
3.3.4 光轨道方程的解 53
3.3.5 光线在恒星附近的偏折 55
3.4 雷达回波的延迟 57
3.5 固有时与引力频移 61
3.5.1 固有时 61
3.5.2 静态引力场中空间同一点两事件间的固有时间隔 62
3.5.3 光波的引力频移 64
3.5.4 恒星谱线红移的观测 64
3.5.5 用Mossbauer谱仪测地球表面的引力频移 65
3.6 绕地球运动的时钟 67
第4章 致密星与黑洞 70
4.1 恒星演化与黑洞 70
4.1.1 恒星的演化 70
4.1.2 白矮星 70
4.1.3 中子星 71
4.1.4 脉冲星 72
4.1.5 我国历史上的超新星 73
4.2 黑洞 74
4.2.1 黑洞的视界 74
4.2.2 粒子向黑洞中心运动的固有时 76
4.2.3 坐标时表述 78
4.2.4 Schwarzschild度规对应黎曼时空的奇点 79
4.2.5 黑洞类型 80
4.3 Lemaitre度规和粒子在黑洞内部的运动 80
4.3.1 Lemaitre度规 80
4.3.2 质点在黑洞内部的运动 82
第5章 爱因斯坦引力场方程中心球对称的通解 83
5.1 中心球对称度规 83
5.2 爱因斯坦方程中心球对称通解 84
5.3 Schwarzschild解 86
5.4 欧氏共形解与牛顿近似解 86
5.5 Fock解 87
第6章 SO(N)规范理论与黎曼几何 89
6.1 正交标架与SO(N)规范群 89
6.2 标架的协变微商 90
6.3 SO(N)规范场张量与黎曼曲率张量 92
6.4 SO(2)和U(1)规范理论与拓扑 94
6.4.1 曲面微分几何与拓扑 94
6.4.2 黎曼几何与拓扑 95
6.4.3 规范场理论与拓扑 95
6.5 自旋联络的内部结构 96
第7章 广义协变Dirac方程 99
7.1 Dirac方程 99
7.2 广义协变Dirac方程 99
7.2.1 ωabc的分解 101
7.2.2 ωa和ωa 101
7.2.3 ωabcγaγbγc的分解 102
7.3 牛顿近似下的广义协变Dirac方程 104
7.4 有引力和电磁势情况的广义协变Dirac方程 107
7.4.1 电磁理论中场函数的协变微商 107
7.4.2 有引力和电磁作用情况下的广义协变Dirac方程 108
7.4.3 星体表面的固有时 110
7.5 狭义相对论中的Dirac方程、Pauli方程和Schrodinger方程 111
第8章 广义相对论中广义协变能量动量守恒定律 116
8.1 广义相对论中守恒定律存在的问题 116
8.1.1 完整的矢量守恒流 116
8.1.2 能量动量守恒定律存在的问题 117
8.1.3 解决方案 117
8.2 标曲率与引力场拉氏量的标架表示 118
8.2.1 黎曼曲率张量与标架 118
8.2.2 里奇张量和标曲率 118
8.2.3 广义相对论中的拉氏量 119
8.2.4 引力场标架作用量的变分 120
8.3 广义相对论中广义协变能量动量守恒定律 121
8.3.1 广义Noether定理 121
8.3.2 由Le 决定的引力场和物质总守恒定律 122
8.3.3 广义位移变换和广义相对论中的能量动量守恒定律 125
8.3.4 能量动量守恒定律的超势 128
8.3.5 广义协变自然守恒流 131
8.3.6 中心球对称解的正交标架与超势 132
8.3.7 四维守恒矢量流与对应的守恒量 134
8.3.8 球对称引力源物质和引力场的总能量 135
第9章 引力辐射理论 138
9.1 引力辐射理论基础 138
9.2 弱引力场近似 140
9.3 Fock 坐标条件与Hilbert 条件 142
9.4 弱引力场近似下的爱因斯坦引力场方程与引力波 143
9.5 扰动的推迟解 145
9.6 引力场能动张量的计算 148
9.6.1 扰动与自旋联络 148
9.6.2 扰动与引力场能动张量 148
9.6.3 推迟解的限制 149
9.7 引力辐射四极矩公式 151
9.8 双星引力辐射 152
9.8.1 能量变化率 152
9.8.2 轨道半径与周期变化率 156
9.8.3 引力辐射的天文观测与证实 157
附录一： 矩阵与行列式 159
附1.1 矩阵与逆矩阵 159
附1.1 矩阵与逆矩阵 159
附1.2 矩阵的行列式 159
附1.3 矩阵元aμv 的余因子Aμv 160
附1.4 行列式的偏微商 161
附1.5 行列式的变分 162
附录二： 对称矩阵与三角矩阵 163
附2.1 关于对称矩阵等于三角矩阵乘积的定理 163
附2.2 对称矩阵和三角矩阵的矩阵元表示 165
附录三： SO(N)规范理论与Riemann-Cartan几何 168
附3.1 经典规范场理论 168
附3.2 O(N)群与SO(N)群 169
附3.3 SO(N)群的生成元 170
附3.4 Clifford 代数与SO(N)生成元的表示 171
附3.5 Clifford 矢量与张量的对易关系 174
附3.6 SO(N)规范势与Clifford 代数矢量场的协变微商 175
附3.7 SO(N)规范场张量 177
附3.8 协变微商与规范场张量 178
附3.9 SO(N)李代数矢量的协变微商 180
附3.10 挠率张量 180
附3.11 SO(N)规范理论与黎曼几何 182
附3.11.1 Riemann 几何中的联络与协变微商 182
附3.11.2 SO(N)规范场张量与Riemann-Cartan微分几何的曲率张量 184
附录四： 超势的具体表达式 187
主要参考文献 189
后记 190
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