本书力求对分数阶偏微分方程的有限差分方法做一个系统的介绍。全书分为6章。第1章介绍四种分数阶导数的定义，给出两类分数阶常微分方程初值问题解析解的表达式；介绍分数阶导数的几种数值逼近方法，研究它们的逼近精度，并应用于分数阶常微分方程的数值求解。这些是后面章节中分数阶偏微分方程数值解的基础。接着的5章依次论述求解时间分数阶慢扩散方程的有限差分方法、求解时间分数阶波方程的有限差分方法、求解空间分数阶偏微分方程的有限差分方法、求解一类时空分数阶微分方程的有限差分方法以及求解一类时间分布阶慢扩散方程的有限差分方法。对每一差分格式，分析其唯一可解性、稳定性和收敛性。
样章试读
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《信息与计算科学丛书》序
第二版前言
第1章 分数阶导数及其数值逼近 1
1.1 分数阶导数的定义和性质 1
1.1.1 分数阶积分 1
1.1.2 Grunwald-Letnikov分数阶导数 1
1.1.3 Riemann-Liouville分数阶导数 2
1.1.4 Caputo分数阶导数 2
1.1.5 Riesz分数阶导数 4
1.1.6 积分下限处分数阶导数的性态 4
1.2 分数阶导数的Fourier变换 5
1.3 分数阶常微分方程 6
1.3.1 Riemann-Liouville型方程的求解 6
1.3.2 Caputo型方程的求解 9
1.4 Riemann-Liouville分数阶导数的G-L逼近 10
1.5 Riesz分数阶导数的中心差商逼近 24
1.6 Caputo分数阶导数的插值逼近 30
1.6.1 L1逼近 30
1.6.2 L1-2逼近 38
1.6.3 L2-1σ逼近 40
1.6.4 多项分数阶导数和的L2-1σ逼近 47
1.6.5 H2N2逼近 55
1.7 Caputo分数阶导数的快速插值逼近 64
1.7.1 快速的L1逼近 65
1.7.2 快速的L2-1σ逼近 70
1.7.3 快速的H 2N 2逼近 77
1.8 分数阶常微分方程的差分方法 81
1.8.1 基于G-L逼近的方法 81
1.8.2 基于L1逼近的方法 89
1.8.3 基于L2-1σ逼近的方法 94
1.9 分数阶偏微分方程的简单分类 96
1.10 补注与讨论 98
习题1 100
第2章 时间分数阶慢扩散方程的差分方法 103
2.1 一维问题基于G-L逼近的空间二阶方法 103
2.1.1 差分格式的建立 105
2.1.2 差分格式的可解性 106
2.1.3 差分格式的稳定性 107
2.1.4 差分格式的收敛性 109
2.2 一维问题基于G-L逼近的空间四阶方法 109
2.2.1 差分格式的建立 110
2.2.2 差分格式的可解性 110
2.2.3 差分格式的稳定性 111
2.2.4 差分格式的收敛性 112
2.3 一维问题基于L1逼近的空间二阶方法 113
2.3.1 差分格式的建立 113
2.3.2 差分格式的可解性 114
2.3.3 差分格式的稳定性 115
2.3.4 差分格式的收敛性 116
2.4 一维问题基于L1逼近的快速差分方法 117
2.4.1 差分格式的建立 117
2.4.2 差分格式的可解性 118
2.4.3 差分格式的稳定性 119
2.4.4 差分格式的收敛性 120
2.5 一维问题基于L1逼近的空间四阶方法 121
2.5.1 差分格式的建立 121
2.5.2 差分格式的可解性 122
2.5.3 差分格式的稳定性 123
2.5.4 差分格式的收敛性 124
2.6 一维问题基于L2-1σ逼近的差分方法 125
2.6.1 差分格式的建立 125
2.6.2 差分格式的可解性 126
2.6.3 一个引理 126
2.6.4 差分格式的稳定性 129
2.6.5 差分格式的收敛性 132
2.7 一维问题基于L2-1σ逼近的快速差分方法 132
2.7.1 差分格式的建立 132
2.7.2 差分格式的可解性 134
2.7.3 差分格式的稳定性 135
2.7.4 差分格式的收敛性 137
2.8 多项时间分数阶慢扩散方程基于L1逼近的差分方法 138
2.8.1 差分格式的建立 138
2.8.2 差分格式的可解性 139
2.8.3 差分格式的稳定性 140
2.8.4 差分格式的收敛性 142
2.9 多项时间分数阶慢扩散方程基于L2-1σ逼近的差分方法 143
2.9.1 差分格式的建立 143
2.9.2 差分格式的可解性 144
2.9.3 差分格式的稳定性 145
2.9.4 差分格式的收敛性 146
2.10 二维问题基于G-L逼近的ADI方法 147
2.10.1 差分格式的建立 149
2.10.2 差分格式的可解性 151
2.10.3 差分格式的稳定性 152
2.10.4 差分格式的收敛性 153
2.11 二维问题基于L1逼近的ADI方法 154
2.11.1 差分格式的建立 155
2.11.2 差分格式的可解性 157
2.11.3 差分格式的稳定性 157
2.11.4 差分格式的收敛性 159
2.12 补注与讨论 160
习题2 162
第3章 时间分数阶波方程的差分方法 164
3.1 一维问题基于L1逼近的空间二阶方法 164
3.1.1 差分格式的建立 164
3.1.2 差分格式的可解性 165
3.1.3 差分格式的稳定性 166
3.1.4 差分格式的收敛性 168
3.2 一维问题基于L1逼近的快速差分方法 169
3.2.1 差分格式的建立 169
3.2.2 差分格式的可解性 171
3.2.3 差分格式的稳定性 172
3.2.4 差分格式的收敛性 176
3.3 一维问题基于L1逼近的空间四阶方法 178
3.3.1 差分格式的建立 178
3.3.2 差分格式的可解性 179
3.3.3 差分格式的稳定性 180
3.3.4 差分格式的收敛性 182
3.4 一维问题基于L2-1σ逼近的差分方法 183
3.4.1 差分格式的建立 183
3.4.2 差分格式的可解性 187
3.4.3 差分格式的稳定性 188
3.4.4 差分格式的收敛性 199
3.5 一维问题基于L2-1σ逼近的快速差分方法 199
3.5.1 差分格式的建立 200
3.5.2 差分格式的可解性 202
3.5.3 差分格式的稳定性 203
3.5.4 差分格式的收敛性 211
3.6 多项时间分数阶波方程基于L1逼近的差分方法 212
3.6.1 差分格式的建立 212
3.6.2 差分格式的可解性 213
3.6.3 差分格式的稳定性 214
3.6.4 差分格式的收敛性 216
3.7 多项时间分数阶波方程基于L2-1σ逼近的差分方法 217
3.7.1 差分格式的建立 217
3.7.2 差分格式的可解性 220
3.7.3 差分格式的稳定性 221
3.7.4 差分格式的收敛性 228
3.8 时间分数阶混合扩散-波方程基于L1逼近的差分方法 229
3.8.1 差分格式的建立 229
3.8.2 差分格式的可解性 231
3.8.3 差分格式的稳定性 231
3.8.4 差分格式的收敛性 235
3.9 二维问题基于L1逼近的ADI方法 235
3.9.1 差分格式的建立 236
3.9.2 差分格式的可解性 238
3.9.3 差分格式的稳定性 239
3.9.4 差分格式的收敛性 241
3.10 二维问题基于L1逼近的紧ADI方法 241
3.10.1 差分格式的建立 242
3.10.2 差分格式的可解性 244
3.10.3 差分格式的稳定性 246
3.10.4 差分格式的收敛性 249
3.11 补注与讨论 249
习题3 251
第4章 空间分数阶偏微分方程的差分方法 256
4.1 一维问题基于位移G-L逼近的一阶方法 256
4.1.1 差分格式的建立 257
4.1.2 差分格式的可解性 258
4.1.3 差分格式的稳定性 259
4.1.4 差分格式的收敛性 260
4.2 一维问题基于加权位移G-L逼近的二阶方法 260
4.2.1 差分格式的建立 260
4.2.2 差分格式的可解性 262
4.2.3 差分格式的稳定性 263
4.2.4 差分格式的收敛性 264
4.3 一维问题基于加权位移G-L逼近的四阶方法 265
4.3.1 差分格式的建立 266
4.3.2 差分格式的可解性 267
4.3.3 差分格式的稳定性 268
4.3.4 差分格式的收敛性 270
4.4 二维问题基于加权位移G-L逼近的四阶ADI方法 270
4.4.1 差分格式的建立 271
4.4.2 三个引理 274
4.4.3 差分格式的可解性 275
4.4.4 差分格式的稳定性 276
4.4.5 差分格式的收敛性 278
4.5 补注与讨论 279
习题4 279
第5章 时空分数阶微分方程的差分方法 283
5.1 一维问题空间二阶方法 283
5.1.1 差分格式的建立 284
5.1.2 差分格式的可解性 285
5.1.3 一个引理 286
5.1.4 差分格式的稳定性 288
5.1.5 差分格式的收敛性 290
5.2 一维问题空间四阶方法 291
5.2.1 差分格式的建立 291
5.2.2 差分格式的可解性 293
5.2.3 差分格式的稳定性 293
5.2.4 差分格式的收敛性 295
5.3 二维问题空间二阶方法 296
5.3.1 差分格式的建立 296
5.3.2 差分格式的可解性 298
5.3.3 差分格式的稳定性 299
5.3.4 差分格式的收敛性 301
5.4 二维问题空间四阶方法 302
5.4.1 差分格式的建立 303
5.4.2 差分格式的可解性 304
5.4.3 差分格式的稳定性 306
5.4.4 差分格式的收敛性 309
5.5 补注与讨论 310
习题5 311
第6章 时间分布阶慢扩散方程的差分方法 313
6.1 一维问题空间和分布阶二阶方法 313
6.1.1 差分格式的建立 313
6.1.2 差分格式的可解性 315
6.1.3 两个引理 316
6.1.4 差分格式的稳定性 318
6.1.5 差分格式的收敛性 320
6.2 一维问题空间和分布阶四阶方法 321
6.2.1 差分格式的建立 321
6.2.2 差分格式的可解性 323
6.2.3 差分格式的稳定性 324
6.2.4 差分格式的收敛性 326
6.3 二维问题空间和分布阶二阶方法 327
6.3.1 差分格式的建立 328
6.3.2 差分格式的可解性 329
6.3.3 差分格式的稳定性 330
6.3.4 差分格式的收敛性 331
6.4 二维问题空间和分布阶四阶方法 332
6.4.1 差分格式的建立 332
6.4.2 差分格式的可解性 333
6.4.3 差分格式的稳定性 334
6.4.4 差分格式的收敛性 336
6.5 二维问题空间和分布阶二阶ADI方法 337
6.5.1 差分格式的建立 337
6.5.2 差分格式的可解性 339
6.5.3 差分格式的稳定性 340
6.5.4 差分格式的收敛性 341
6.6 二维问题空间和分布阶四阶ADI方法 342
6.6.1 差分格式的建立 343
6.6.2 差分格式的可解性 344
6.6.3 差分格式的稳定性 345
6.6.4 差分格式的收敛性 346
6.7 补注与讨论 347
习题6 350
附录 Caputo分数阶导数核函数t-a的指数和逼近的MATLAB程序代码 353
参考文献 357
索引 365
《信息与计算科学丛书》已出版书目 368
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