本书用通俗浅显的语言介绍了泛函分析中与工程计算、数值逼近有密切关系的基本理论和有关重要定理及公式，如距离空间中的压缩映像原理与迭代法；Banach空间中的线性泛函与线性逼近；Hilbert空间中的正交分解、投影与逼近；Fourier分析与快速Fourier变换；泛函求极值的变分理论，有限元的变分原理及计算方法，小波理论及Mallat算法等。
书中另一重要内容副博在上述数值泛函的框架下，将变分理论、Fourier分析、有限元分析、小波分析等应用于工程计算所取得的科研成果。
样章试读
目录
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《信息与计算科学丛书》序
前言
第1章 预备知识 1
1.1 泛函分析初识 1
1.2 集合、元素 1
1.3 空间与映射 2
1.4 几个基础的拓扑概念 3
1.5 坐标与空间 4
第2章 距离空间与压缩映像原理 5
2.1 距离空间 5
2.1.1 定义和例 5
2.1.2 收敛概念和完备性 7
2.1.3 距离空间上的映射 12
2.2 压缩映像原理及应用 13
2.2.1 定义和例 14
2.2.2 压缩映像原理 14
2.3 压缩映像原理与迭代法 16
2.3.1 压缩算子与迭代法 16
2.3.2 压缩算子的判定 18
2.3.3 两种常用的迭代法 21
2.4 压缩映像原理在微分方程中的应用 26
2.5 压缩映像原理在积分方程中的应用 28
第3章 Banach 空间及线性逼近 33
3.1 定义和实例 33
3.1.1 线性空间的定义 33
3.1.2 赋范线性空间的定义 33
3.1.3 例 34
3.1.4 Banach 空间 35
3.2 按范数收敛 35
3.2.1 定义 36
3.2.2 性质 36
3.3 线性算子和线性泛函 37
3.3.1 算子 37
3.3.2 线性泛函 40
3.4 Banach 空间中的各种收敛 42
3.4.1 元素序列的收敛性 42
3.4.2 算子序列的收敛性 43
3.4.3 泛函序列的收敛性 43
3.4.4 几个结论 44
3.5 Banach 空间中的线性逼近 44
3.5.1 线性无关和线性表示 44
3.5.2 Banach 空间中的线性逼近 45
第4章 Hilbert 空间及投影逼近 48
4.1 定义和例 48
4.1.1 内积空间的定义 48
4.1.2 内积的性质 49
4.1.3 Hilbert 空间 51
4.1.4 例 51
4.2 正交分解与投影定理 52
4.2.1 正交的概念与正交分解 52
4.2.2 投影定理 53
4.3 H 空间中的广义 Fourier 分析 53
4.3.1 正交系、规范正交系 54
4.3.2 H 空间中的广义 Fourier 级数 55
4.4 函数空间中的最佳逼近 57
4.4.1 函数空间中的投影定理 58
4.4.2 函数逼近的算例 59
4.5 各种数值逼近的泛函背景 67
4.5.1 坐标、空间与量化 67
4.5.2 转化与逼近 68
4.5.3 基的选取和构造 69
4.5.4 常用的子空间 70
第5章 Fourier 分析及其应用 72
5.1 三角基的正交性 72
5.2 Fourier 级数和 Fourier 积分 73
5.2.1 Fourier 级数 73
5.2.2 Fourier 积分 75
5.3 Fourier 变换和非周期函数的频谱 78
5.3.1 Fourier 变换 78
5.3.2 非周期函数的频谱 78
5.4 离散 Fourier 变换和快速 Fourier 变换 84
5.4.1 离散 Fourier 变换 84
5.4.2 快速 Fourier 变换 85
5.5 应用算例 86
5.5.1 信号频率确定 86
5.5.2 ECG 信号去噪 87
第6章 变分理论及其应用 90
6.1 变分问题简介 90
6.2 变分原理 92
6.3 变分直接法 95
6.3.1 泛函的极小化序列 95
6.3.2 Ritz 法 95
6.3.3 Galerkin 法 98
6.3.4 基函数的选取 99
6.4 变分法的革新和前景 101
6.4.1 变分与有限元 101
6.4.2 变分 PDE 与图像处理 102
6.5 TV 变分模型的改进及应用 102
6.5.1 TV 变分模型在图像恢复中的研究现状 103
6.5.2 基于 TV 和各向异性扩散方程的图像恢复模型 104
6.5.3 “纯粹的”各向异性扩散方程 104
6.5.4 新模型的提出 105
6.5.5 新模型的离散格式 106
6.5.6 应用仿真 107
第7章 有限元分析及其应用 109
7.1 有限元法简介 109
7.1.1 有限元的思想起源和发展 109
7.1.2 有限元的变分原理 109
7.1.3 Galerkin 有限元 110
7.2 有限元基的几何描述 111
7.3 有限元法的解题步骤 113
7.4 基于拓扑有向图的有限元方法 119
7.4.1 电磁场与有向图 119
7.4.2 场的线性化 120
7.4.3 数学模型 122
7.4.4 算例 123
7.5 电机磁场的有限元分析 126
7.5.1 有限元法 126
7.5.2 计算模型 126
7.5.3 有限元解 128
7.5.4 解的讨论 134
第8章 小波分析及其应用 136
8.1 小波分析与 Fourier 分析 136
8.2 小波基与多分辨分析 138
8.3 小波级数与小波变换 140
8.3.1 小波级数 140
8.3.2 小波变换 141
8.4 Mallat 算法 143
8.4.1 基本思想 143
8.4.2 Mallat 分解算法 145
8.4.3 Mallat 重构算法 146
8.4.4 Mallat 算法的矩阵形式 146
8.5 小波分析在信号去噪中的应用 147
8.5.1 小波模极大值去噪方法 148
8.5.2 基于小波系数区域相关的阈值滤波方法 150
8.5.3 小波阈值去噪 152
本书参考文献 159
附录 A 变分、网络与有限元 162
A.1 古典变分的危机 162
A.2 差分网络法的特点 165
A.3 有限元法的优点 168
A.4 算例 174
参考文献 178
附录 B Besov 空间中的变分模型 179
B.1 研究背景 179
B.1.1 Besov 空间的描述 179
B.1.2 变分 PDE 在图像分解中的研究现状 180
B.2 一类基于 Besov 空间与负 Hilbert-Sobolev 空间的变分模型 183
B.2.1 主要思想 183
B.2.2 新变分模型的极小化 183
B.2.3 新变分模型的解与小波阈值之间的关系 184
B.2.4 实验仿真 189
B.3 基于投影的图像分解变分模型 192
B.3.1 新变分模型的极小化 192
B.3.2 小波阈值与投影之间的关系 196
B.3.3 实验仿真 199
B.4 一类基于 Besov 空间与齐次 Besov 空间的变分模型 202
B.4.1 (Bs1,1,E) 模型 203
B.4.2 (|u|pBsp,p , ∥v∥E) 模型 205
B.4.3 (|u|Bsp,p , ∥v∥E) 模型 207
B.4.4 算法 208
B.4.5 算法的收敛性分析 209
B.4.6 实验仿真 210
B.5 小结 216
参考文献 217
附录 C 基于波原子变换的图像去噪算法 220
C.1 引言 220
C.2 波原子理论 221
C.2.1 波原子的定义 221
C.2.2 波原子的构造及变换系数 221
C.3 波原子在图像处理中的应用 224
C.3.1 波原子硬阈值去噪算法 224
C.3.2 仿真实验与分析 224
C.4 结合全变差最小的波原子去噪算法 228
C.4.1 全变差正则化模型 229
C.4.2 结合全变差最小的波原子去噪算法 229
C.4.3 仿真实验与分析 230
C.5 结合循环平移的波原子去噪算法 233
C.5.1 循环平移思想 233
C.5.2 结合循环平移的波原子去噪算法 234
C.5.3 仿真实验与分析 234
C.6 小结 237
参考文献 237
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