本书是为大学数学系基础复分析课程编写的教材 . 全书共七章, 内容包括: 复数、点集拓扑基础、复函数、初等共形映射、复积分、级数与乘积展开、共形映射与 Dirichlet问题. 本书在选材上注重几何直观 . 在内容上力求全面 , 包括了特殊函数的基础内容. 在写作上叙述精练. 各章配有适量习题.
样章试读
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前言
第 1章复数1
1.1复数代数1
1.1.1算术运算 1
1.1.2平方根1
1.1.3合理性2
1.1.4共轭和绝对值3
1.1.5不等式4
1.2复数的几何表示 5
1.2.1加法与乘法的几何表示 6
1.2.2高次单位根7
1.2.3解析几何 8
1.2.4球面表示10
1.2.5一般位置的球极投影12
习题 113
第 2章点集拓扑基础15
2.1集合与元素15
2.2度量空间 16
2.3拓扑空间 17
2.4连通性18
2.5紧致性20
2.6连续函数 22
2.7一致收敛性23
习题 224
第 3章复函数26
3.1解析函数 26
3.1.1解析函数的定义26
3.1.2导数的几何意义27
3.1.3调和函数27
3.1.4形式偏导数 28
3.1.5多项式29
3.1.6有理函数31
3.2幂级数的基础概念 34
3.2.1幂级数34
3.2.2 Abel极限定理 38
3.3指数函数和三角函数 39
3.3.1指数函数39
3.3.2三角函数40
3.3.3周期性40
3.3.4对数函数42
习题 343
第 4章初等共形映射46
4.1分式线性变换 46
4.1.1保圆性46
4.1.2交比 47
4.1.3对称性48
4.1.4分式线性变换的不动点与分类.50
4.1.5分式线性变换的其他表示 53
4.2二次多项式与有理函数55
4.3三次多项式58
4.4指数函数与三角函数 59
4.5初等共形映射 61
习题 462
第 5章复积分63
5.1 Cauchy定理.63
5.1.1线积分63
5.1.2全微分65
5.1.3矩形上的 Cauchy定理67
5.1.4圆盘内的 Cauchy定理69
5.2 Cauchy积分公式71
5.2.1环绕数71
5.2.2积分公式72
5.2.3高阶导数73
5.3解析函数的局部性质 75
5.3.1可去奇点与 Taylor定理75
5.3.2零点和极点 77
5.3.3局部映射78
5.3.4最大模原理 81
5.4 Cauchy定理的一般形式 82
5.4.1链和闭链82
5.4.2单连通性83
5.4.3 Cauchy定理的一般形式的证明84
5.4.4局部恰当微分88
5.4.5多连通性90
5.5留数计算 91
5.5.1留数定理91
5.5.2辐角原理92
5.5.3定积分计算 93
5.6调和函数 99
5.6.1定义和基本性质99
5.6.2均值性质100
5.6.3 Poisson公式 101
5.6.4 Schwarz定理 103
5.6.5反射原理104
习题 5 105
第 6章级数与乘积展开109
6.1幂级数展开式 109
6.1.1 Weierstrass定理 109
6.1.2 Taylor级数110
6.1.3 Laurent级数 112
6.2部分分式与因子分解113
6.2.1部分分式113
6.2.2典范乘积116
6.3 函数119
6.3.1函数的定义 119
6.3.2 Legendre加倍公式120
6.3.3 Stirling公式 121
6.3.4 函数的积分表示124
6.4 Riemann ζ函数125
6.4.1乘积展开126
6.4.2 ζ(s)扩张到整个平面 126
6.4.3函数方程与 ζ函数的零点128
6.5椭圆函数130
6.5.1周期函数130
6.5.2模群 130
6.5.3椭圆函数的一般性质 131
6.5.4 Weierstrass P函数 132
6.5.5函数 ζ(z)与 σ(z) 133
6.5.6微分方程135
6.5.7椭圆模函数136
6.6正规族139
6.6.1 Arzela-Ascoli定理139
6.6.2解析函数族141
6.6.3亚纯函数族142
习题 6 143
第 7章共形映射与 Dirichlet问题146
7.1单连通区域上的共形映射146
7.1.1 Riemann映射定理146
7.1.2边界对应147
7.2多边形上的共形映射148
7.2.1 Schwarz-Christoffel公式148
7.2.2三角形和矩形上的共形映射 150
7.3 Dirichlet问题 151
7.3.1具有均值性质的函数 151
7.3.2 Harnack原理151
7.3.3次调和函数 152
7.3.4 Dirichlet问题的解 154
7.4多连通区域的典范映射 156
7.4.1调和测度156
7.4.2 Green函数158
7.4.3平行割线区域 160
习题 7 160
索引162
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