本书研究无穷区间上常微分方程边值问题的非线性泛函分析理论，内容共七章，其中前两章系统介绍无穷边值问题、函数空间和非线性泛函理论的基础；第3—7章分别给出了五种方法研究二阶和高阶常微分方程、具有p-Laplace算子的微分方程、差分方程以及方程组的特征值问题、两点边值问题、多点边值问题、共振问题、周期解、次调和解和反周期解问题的研究结果.全书比较系统、详细地讨论了不同方法在不同边值问题中的运用.
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前言
第1章 绪论 1
1.1 边值问题的起源 1
1.2 无穷边值问题举例 2
1.3 线性边值问题 9
1.3.1 线性边值问题有解的条件 9
1.3.2 Green 函数 11
1.3.3 共振边值问题 17
1.3.4 具有 p-Laplace 算子的边值问题 19
1.4 无穷边值问题的研究方法 21
1.4.1 对角延拓法 22
1.4.2 打靶法 22
1.4.3 度理论和不动点定理 23
1.4.4 Fréchet 空间的不动点定理 23
1.4.5 上下解方法 23
1.4.6 临界点理论 24
1.5 前人研究工作总结 25
第2章 基础理论 28
2.1 Arzelá-Ascoli 定理及推广 28
2.1.1 Arzelá-Ascoli 定理 28
2.1.2 Corduneanu 定理 28
2.1.3 连续可微函数族的列紧性 29
2.1.4 可积函数族的列紧性 30
2.1.5 序列族的列紧性 31
2.2 拓扑度理论 33
2.2.1 度具有的性质 33
2.2.2 Brouwer 度 33
2.2.3 Leray-Schauder 度 34
2.2.4 锥映射的拓扑度 35
2.3 不动点定理 36
2.3.1 Schauder 不动点定理 36
2.3.2 锥上的不动点定理 37
2.3.3 多不动点定理 38
2.4 连续性定理 41
2.4.1 Leray-Schauder 连续性定理 41
2.4.2 Mawhin 连续性定理 41
2.4.3 Ge-Mawhin 连续性定理 42
2.5 变分法与极值原理 43
2.5.1 非线性算子的微分 43
2.5.2 Euler-Lagrange 方程 44
2.5.3 Fenchel 变换 45
2.5.4 极值原理 46
第3章 不动点定理与非共振无穷边值问题 48
3.1 二阶微分方程 Sturm-Liouville 边值问题 48
3.1.1 Green 函数 49
3.1.2 空间与算子 50
3.1.3 正解的存在性 50
3.1.4 解的唯一性 56
3.1.5 两个正解的存在性 57
3.2 具有 p-Laplace 算子的微分方程两点边值问题 60
3.2.1 Banach 空间和锥 60
3.2.2 全连续算子 62
3.2.3 三个正解的存在性 64
3.2.4 例子 68
3.3 二阶微分方程三点边值问题 69
3.3.1 线性边值问题和 Green 函数 70
3.3.2 空间与算子 72
3.3.3 有界解的存在性 74
3.3.4 无界解的存在性 77
3.3.5 例子 78
第4章 迭合度理论与共振边值问题 79
4.1 二阶微分方程三点无穷边值问题 79
4.1.1 空间与算子 79
4.1.2 解的存在性 84
4.1.3 解的唯一性 87
4.1.4 扰动问题 89
4.1.5 例子 91
4.2 具有 p-Laplace 算子的微分方程三点边值问题 92
4.2.1 空间和算子 92
4.2.2 解的存在性 94
4.2.3 例子 98
4.3 具有 p-Laplace 算子的微分方程三点无穷边值问题 99
4.3.1 空间与算子 100
4.3.2 解的存在性 104
第5章 上下解方法与无穷边值问题 107
5.1 二阶微分方程两点边值问题 107
5.1.1 准备工作 107
5.1.2 解的存在性 108
5.1.3 正解的存在性 113
5.1.4 例子 114
5.2 二阶微分方程三点边值问题 115
5.2.1 线性边值问题和 Green 函数 115
5.2.2 解的存在性 117
5.2.3 例子 118
5.3 高阶微分方程两点边值问题 119
5.3.1 Green 函数和上下解 120
5.3.2 解的存在性 122
5.3.3 三个解的存在性 128
5.3.4 例子 131
5.4 二阶差分方程两点边值问题 133
5.4.1 线性边值问题 133
5.4.2 上下解和 Nagumo 条件 135
5.4.3 解的存在性 136
5.4.4 三个解的存在性 142
5.4.5 例子 143
第6章 对角延拓原理与无穷边值问题 144
6.1 二阶微分方程两点边值问题 144
6.1.1 正解的存在性 144
6.1.2 例子 148
6.2 二阶微分方程三点边值问题 150
6.2.1 正解的不存在性 150
6.2.2 有限边值问题正解的存在性 151
6.2.3 无穷边值问题正解的存在性 153
6.2.4 唯一性 157
6.2.5 例子 158
6.3 Fréchet 空间中的不动点定理及应用 159
6.3.1 线性边值问题 160
6.3.2 空间与算子 161
6.3.3 解的存在性 163
6.3.4 例子 164
第7章 极值原理与微分系统边值问题 166
7.1 二阶微分系统两点无穷边值问题 166
7.1.1 推广的 Sobolev 空间 166
7.1.2 解的存在性 171
7.1.3 例子 174
7.2 具有 p-Laplace 算子的微分系统的次调和解 175
7.2.1 哈密顿系统和能量泛函 176
7.2.2 Fenchel 变换和对偶原理 178
7.2.3 kT-周期解的存在性 180
7.2.4 次调和解的存在性 186
7.3 二阶差分系统的反周期解 189
7.3.1 序列空间和对偶泛函 190
7.3.2 反周期解的存在性 193
参考文献 199
索引 202
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