中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书的文章系根据2017年数学所讲座的8个报告的讲稿整理而成，按报告的时间顺序编排。具体的内容包括：模空间的故事：形变和刚性、广义相对论中的拟局部质量和等周曲面、法诺簇的代数K-稳定性理论、完全非线性偏微分方程及相关的几何问题、Langlands纲领的近期进展、几何与表示掠影、量子克隆、量子可积系统新进展——非对角BetheAnsatz方法。
样章试读
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前言
1 模空间的故事:形变和刚性 季理真
1.1 简介 1
1.2 主要的刚性和形变定理 4
1.2.1 关于刚性的一些结果 4
1.2.2 关于形变的一些结果 6
1.2.3 我们为什么会研究刚性? 7
1.2.4 我们为什么会研究形变和模空间? 8
1.2.5 刚性和形变之间的联系 9
1.2.6 这些是怎么开始的?共同的根源是什么? 10
1.3 黎曼曲面的定义和相关历史 10
1.3.1 黎曼最初对模空间的定义 11
1.3.2 抽象的黎曼曲面的形式定义 16
1.4 紧黎曼曲面的模空间以及黎曼的数值方法 17
1.4.1 黎曼给出的初始定义 18
1.4.2 黎曼对模的计数 18
1.4.3 黎曼为什么要用模这个名词? 20
1.5 黎曼模问题 22
1.5.1 黎曼对维数的计算 22
1.5.2 数值模 24
1.6 模空间在单值化定理中的第一个应用 25
1.6.1 什么是单值化? 25
1.6.2 克莱因和庞加莱对代数曲线的单值化 26
1.6.3 赫尔维茨空间和塞维里簇 27
1.6.4 布劳威尔和科比的工作:完善连续性方法 28
1.6.5 弗里克空间 32
1.7 托勒利定理、西格尔上半空间和数值模 34
1.7.1 黎曼曲面的周期 34
1.7.2 西格尔上半空间和托勒利定理 36
1.7.3 数值模 38
1.8 泰希米勒关于模空间的工作:标记的黎曼曲面、泰希米勒空间、细模空间 38
1.8.1 泰希米勒问了哪些问题? 39
1.8.2 泰希米勒做了什么? 41
1.8.3 泰希米勒为什么要研究模空间? 47
1.9 泰希米勒理论 52
1.9.1 韦伊在泰希米勒空间上的工作与猜想 52
1.9.2 阿尔福斯和贝尔斯在泰希米勒空间上的工作 53
1.9.3 格罗滕迪克在泰希米勒空间上的工作 55
1.10 泰希米勒上的合适的复结构 58
1.10.1 阿尔福斯、劳赫和贝尔斯定义的Tg上的复结构 58
1.10.2 为什么阿尔福斯-贝尔斯-劳赫的复结构合理? 62
1.10.3 为何周期映射是全纯的很重要? 65
1.10.4 模空间上的性质和评论 66
1.10.5 细的和粗的模空间的定义 67
1.10.6 阿尔福斯和贝尔斯的复结构是合适的 68
1.11 代数曲线的模空间 69
1.11.1 Mg作为一个代数簇 69
1.11.2 几何不变量理论和Mg进一步性质 71
1.12 紧复流形的形变 73
1.12.1 小平邦彦-斯潘塞的形变理论 73
1.12.2 霍奇结构簇 78
1.13 塞尔贝格在格上的工作与猜想 79
1.13.1 塞尔贝格的工作和局部刚性 80
1.13.2 塞尔贝格在算术性的猜想 82
1.14 莫斯托关于局部对称空间的强刚性 83
1.14.1 强刚性和它的历史 83
1.14.2 莫斯托强刚性的证明 85
1.15 复流形的刚性 86
1.15.1 刚性的概念 86
1.15.2 复射影空间的强刚性 86
1.15.3 埃尔米特局部对称空间的刚性 86
1.15.4 刚性和算术性 87
1.15.5 局部对称埃尔米特空间的局部刚性和定义的域 88
1.16 马尔古利斯超刚性和格的算术性 88
1.16.1 超刚性 89
1.16.2 超刚性的推论 90
1.17 永不结束的故事 91
参考文献 97
2 广义相对论中的拟局部质量和等周曲面 史宇光
2.1 等周问题的历史及若干影响 107
2.2 各种曲率假设下的等周面积比较定理 108
参考文献 116
3 法诺簇的代数K-稳定性理论 许晨阳
3.1 历史简介 119
3.2 法诺簇的K-稳定性理论 120
3.3 法诺簇的K-模空间 122
3.4 显式例子 124
3.4.1 |KX|Q的奇点不变量 124
3.4.2 模空间方法 125
3.4.3 未知情形 126
参考文献 126
4 完全非线性偏微分方程及相关的几何问题 关波
4.1 引言 130
4.2 偏微分方程在几何、分析中应用的例子 130
4.2.1 等周不等式 131
4.2.2 Alexandrov极大值原理 133
4.2.3 Sobolev不等式和Monge-Ampère方程 134
4.2.4 常平均曲率闭曲面和Alexandrov定理 136
4.3 几何问题中Monge-Ampère方程及其推广 139
4.3.1 Minkowski问题 140
4.3.2 Alexandrov-Chern Minkowski问题 141
4.3.3 Weyl等距嵌入问题 143
4.3.4 Calabi猜想和复Monge-Ampère方程 145
4.3.5 Mabuchi度量和Donaldson猜想 146
4.4 黎曼流形上的一类完全非线性椭圆偏微分方程 148
4.4.1 Dirichlet问题 149
4.4.2 闭流形上的完全非线性方程 151
参考文献 151
5 Langlands纲领的近期进展 李文威
5.1 引言 153
5.2 自守形式 153
5.2.1 起源:上半平面 153
5.2.2 复环面的模空间 154
5.2.3 一般理论 156
5.3 表示理论的观点 157
5.3.1 过渡 157
5.3.2 谱分解 158
5.3.3 间奏:赋值和adèle环 159
5.3.4 回到谱分解 160
5.3.5 光滑表示 161
5.4 Langlands纲领 162
5.4.1 Langlands对偶群 162
5.4.2 非分歧表示 162
5.4.3 L-函数 163
5.4.4 Langlands函子性 164
5.4.5 Langlands对应 165
5.4.6 几何、算术与分析 166
5.5 函数域情形:Weil的见解 167
5.5.1 Dedekind-Kronecker-Weil的洞见 167
5.5.2 挠子的模空间 168
5.5.3 数域上的一种类比 169
5.5.4 函数域上实现整体Langlands对应的思路 170
5.6 Lafforgue工作的概述 171
5.6.1 Hecke叠和shtuka 171
5.6.2 上同调 172
5.6.3 巡游算子或S-算子 173
5.7 几何Langlands纲领 174
5.7.1 几何化的线索 174
5.7.2 范畴化 175
5.8 量子Langlands纲领概述 175
参考文献 176
6 几何与表示掠影 付保华
6.1 引子:正多面体 177
6.2 SL(2,C)中有限子群的表示 178
6.3 克莱因奇点及其极小解消 181
6.4 McKay对应及其发展 182
6.5 幂零轨道 184
6.6 Springer解消 185
6.7 Springer对应 188
6.8 McKay遇见Springer? 191
参考文献 192
7 量子克隆 骆顺龙
7.1 两朵乌云 194
7.2 机械观之兴衰 196
7.3 量子克隆之前世 199
7.4 量子克隆之今生 207
7.5 量子信息 212
7.6 若干课题 214
参考文献 220
8 量子可积系统新进展——非对角Bethe Ansatz方法 杨文力
8.1 量子可积模型介绍 228
8.2 非对角Bethe Ansatz方法 230
8.3 拓扑自旋环 232
8.3.1 构造Bethe态 236
8.4 非平行边界的自旋链 238
8.4.1 非平行边界的XXX自旋链 238
8.4.2 非平行边界的XXZ自旋链 243
8.4.3 XXZ自旋链的热力学极限和表面能 246
8.5 总结和展望 248
参考文献 248
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