本书是数学物理方程的入门教材，主要介绍三个经典方程（波动方程、热传导方程和Laplace方程）定解问题的导出及求解。通过介绍一般二阶线性偏微分方程的分类与化简，指明这三个方程代表着数学物理方程的三种类型。针对不同的定解问题，介绍了如分离变量法、积分变换法、通解法和Green函数法等常规的求解方法，还介绍了由分离变量法求解定解问题时引出的两个特殊函数——Bessel函数和Legendre函数。本书没有致力于严谨的数学理论分析，而是通过经典的问题，向读者展示数学物理方程定解问题适定性的分析方法，以期达到抛砖引玉的目的。
样章试读
目录
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前言
第1章 典型方程及其定解问题 1
1.1 偏微分方程的基本概念 1
1.2 典型方程及定解条件的导出 2
1.2.1 弦振动方程及其定解条件 3
1.2.2 热传导方程及其定解问题 7
1.2.3 位势方程及定解条件 11
1.3 定解问题的适定性 13
习题 1 13
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与化简 15
2.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程 15
2.2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 23
习题 2 25
第3章 分离变量法 26
3.1 齐次边界齐次发展型方程的混合问题 26
3.1.1 求形式解 26
3.1.2 解的存在性 29
3.1.3 解的物理意义 34
3.1.4 热传导方程初边值问题 35
3.2 齐次边界非齐次发展型方程的混合问题 36
3.2.1 非齐次弦振动方程 36
3.2.2 非齐次热传导方程 39
3.3 一般发展型方程混合问题 44
3.4 具有第三类边界条件的混合问题举例 48
3.5 椭圆型方程边值问题的分离变量法 55
3.5.1 矩形区域上 Laplace 方程边值问题 55
3.5.2 圆域上 Laplace 方程第一边值问题 58
3.5.3 Poisson 方程第一边值问题 61
3.6 方程中含有一阶空间导数的定解问题 64
习题 3 68
第4章 积分变换法 72
4.1 Fourier 积分与 Fourier 变换 72
4.2 Fourier 变换的性质 76
4.3 Fourier 变换在解数学物理方程中的应用 78
4.3.1 热传导方程问题 78
4.3.2 一维波动方程问题 83
4.3.3 半平面上 Laplace 方程的 Dirichlet 问题 89
4.4 Laplace 变换 89
4.4.1 定义 89
4.4.2 基本性质 90
4.4.3 反演公式 92
4.4.4 Laplace 变换的应用 94
习题 4 98
第5章 波动方程 101
5.1 通解法 101
5.1.1 达朗贝尔公式 101
5.1.2 达朗贝尔公式的物理意义 103
5.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域 104
5.1.4 通解法的例题 105
5.2 球面平均法 108
5.2.1 三维齐次方程初值问题的球面平均法 108
5.2.2 三维非齐次波动方程初值问题 112
5.3 二维齐次波动方程初值问题的降维法 113
5.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥 114
5.5 Poisson 公式的物理意义、Huygens 原理 116
习题 5 117
第6章 椭圆型方程 120
6.1 δ-函数及其基本性质 121
6.1.1 δ-函数的定义 121
6.1.2 δ-函数的基本性质 123
6.2 椭圆型方程的基本解 124
6.2.1 三维 Laplace 方程 Δu= 0 124
6.2.2 三维 Helmholtz 方程 Δu + cu = 0 126
6.3 调和函数的基本积分表达式和一些基本性质 128
6.3.1 调和函数的基本积分表达式 128
6.3.2 调和函数的基本性质 130
6.4 Laplace 方程 Dirichlet 问题的 Green 函数 133
6.4.1 Green 函数 133
6.4.2 Green 函数的性质 135
6.5 Helmholtz 方程 Dirichlet 问题的 Green 函数 138
6.6 某些特殊区域上 Laplace 方程 Dirichlet 问题的解 140
6.6.1 半空间上三维 Laplace 方程 Dirichlet 问题 140
6.6.2 球域上 Laplace 方程 Dirichlet 问题 142
习题 6 147
第7章 发展型方程定解问题的适定性 150
7.1 热传导方程初边值问题 150
7.2 热传导方程初值问题 154
7.3 波动方程初边值问题 158
7.4 波动方程初值问题 163
习题 7 167
第8章 特殊函数 (一): Bessel 函数 170
8.1 引言 170
8.2 Bessel 方程的解 172
8.3 Bessel 函数的递推公式 178
8.4 函数展开成 Bessel 函数的级数 180
8.4.1 的正交性 181
8.4.2 函数展开成的级数 183
8.5 Bessel 函数的应用举例 184
习题 8 193
第9章 特殊函数 (二): Legendre 多项式 195
9.1 引言 195
9.2 Legendre 方程的解 197
9.3 Legendre 多项式的 Rodrigues 表达式 200
9.4 函数展开成 Legendre 多项式级数 202
9.4.1 Legendre 多项式的正交性 202
9.4.2 函数展开成 Legendre 多项式级数 204
9.5 Legendre 多项式的应用举例 207
习题 9 210
参考文献 212
附录 A Sturm-Liouville 固有值问题 213
A.1 固有值问题的提法 213
A.2 固有值问题的主要结论 214
附录 B Fourier 变换表和 Laplace 变换表 219
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