本书重点介绍分数阶灰色模型的基本理论和应用，集中反映作者及其团队多年来在分数阶累加灰色模型和分数阶导数灰色模型方面的理论及应用方面的研究积累，同时吸收国内外同行相关的最新研究成果，系统展示分数阶灰色模型的前沿发展动态。
全书共5章，包括分数阶灰色模型研究进展、分数阶灰色模型理论基础、分数阶单变量灰色模型、分数阶多变量灰色模型、分数阶非线性灰色模型等，附录包含本书中的几个主要分数阶灰色模型用到的Python代码。书中绝大部分内容为作者及其团队的研究成果。
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目录
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前言
第1章 分数阶灰色模型研究进展 1
1.1 分数阶累加灰色模型研究进展 1
1.2 分数阶导数灰色模型研究进展 6
1.3 文献评述 10
第2章 分数阶灰色模型理论基础 12
2.1 灰生成 12
2.1.1 灰生成定义 12
2.1.2 灰生成的矩阵形式 13
2.2 分数阶灰生成 15
2.2.1 分数阶累加生成 15
2.2.2 Caputo型分数阶导数与差分 18
2.3 GM（1,1）模型 20
2.3.1 GM（1,1）模型的定义 20
2.3.2 GM（1,1）模型的矩阵表示 23
2.4 灰色关联度 27
2.5 缓冲算子 31
2.5.1 弱化算子作用下GM模型参数的矩阵估计形式 42
2.5.2 其他类型缓冲算子与还原误差研究 47
2.5.3 强化缓冲算子概念 50
2.5.4 强化算子的矩阵形式及其属性 51
2.5.5 强化算子作用下GM（1,1）模型参数的矩阵估计形式 55
2.5.6 实例分析 57
2.6 累加生成算子凸凹性 58
2.6.1 AGO序列的凸性 58
2.6.2 反向累加生成序列的凸性 60
2.6.3 广义AGO的凸性 62
2.6.4 实例分析 64
2.7 智能算法简介 64
2.7.1 鲸鱼算法 65
2.7.2 量子粒子群优化算法 66
2.7.3 灰狼优化 68
第3章 分数阶单变量灰色模型 73
3.1 分数阶累加GM（1,1）模型 73
3.1.1 分数阶累加GM（1,1）模型的级比界区 74
3.1.2 分数阶累加GM（1,1）模型应用 83
3.2 离散分数阶累加灰色模型 86
3.2.1 离散分数阶累加M（1,1,D）模型定义 86
3.2.2 分数阶累加GM（1,1）与分数阶累加离散GM（1,1）误差分析 88
3.2.3 分数阶累加离散灰色模型应用 92
3.2.4 分数阶累加GM（1,1）模型与分数阶累加离散灰色模型应用比较 95
3.3 分数阶导数灰色模型 96
3.3.1 分数阶导数灰色模型的建立 96
3.3.2 不同算子下的FGM（q,1）模型 102
3.3.3 初始值变换对模型的影响 111
3.3.4 分数阶导数灰色模型的定阶方法 116
3.3.5 矩阵分解及模型关系综述 117
3.4 分数阶导数多项式灰色模型 125
3.4.1 分数阶导数非线性灰色模型 125
3.4.2 分数阶导数多项式灰色模型的建立 126
3.4.3 分数阶导数多项式灰色模型的区间估计 127
3.4.4 分数阶导数多项式灰色模型应用 128
第4章 分数阶多变量灰色模型 132
4.1 GM（1,N）模型 132
4.2 时滞GM（1,N,τ）模型 135
4.3 分数阶累加GM（1,N,τ）模型 139
4.3.1 分数阶累加GM（1,N,τ）模型的建立 139
4.3.2 非整数时滞值下模型完善 140
4.3.3 模型阶数的确定 140
4.4 多变量分数阶灰色模型 141
4.4.1 FGM（q,N,τ）模型的建立 142
4.4.2 FGM（q,N,τ）模型的求解 142
4.5 灰色时滞Lotka-Volterra模型 146
4.6 分数阶导数灰色Lotka-Volterra模型 150
4.6.1 分数阶导数灰色Lotka-Volterra模型的建立 150
4.6.2 Adams-Bashforth-Moulton预估校正算法 152
4.6.3 分数阶导数灰色Lotka-Volterra模型的参数优化 154
4.6.4 三种群分数阶灰色延迟Lotka-Volterra模型 156
4.7 多变量灰色模型及其应用案例 160
4.7.1 基于FGM（q,N,τ）模型油价与汇率的实证分析 160
4.7.2 灰色时滞Lotka-Volterra模型的应用 164
4.7.3 第三方互联网在线支付与网上银行的直接灰色Lotka-Volterra模型 168
4.7.4 三种群分数阶灰色延迟Lotka-Volterra模型应用 183
第5章 分数阶非线性灰色模型 191
5.1 基于灰色作用量优化的GM（1,1|sin）动态预测模型 191
5.1.1 GM（1,1|sin）优化模型的建立 191
5.1.2 GM（1,1|sin）模型的引理 197
5.1.3 GM（1,1|sin）动态预测模型应用 198
5.2 波动型灰色GM（1,1|tan（k.τ）p,sin（k.τ）p） 模型 200
5.3 泰勒逼近的非线性FGM（q,1）模型 204
5.4 分数阶导数灰色Bernoulli模型 205
5.4.1 分数阶导数灰色Bernoulli模型的建立 205
5.4.2 分数阶灰色Bernoulli模型解的性质 207
5.4.3 分数阶导数灰色Bernoulli模型应用 208
5.4.4 时间序列分解算法 208
5.4.5 人工智能模型 210
5.4.6 清洁能源的长期记忆性分析 212
5.4.7 清洁能源产量建模过程 212
5.4.8 各模型的拟合效果 215
5.4.9 各模型的预测效果 219
5.5 分形导数分数阶灰色Riccati模型 220
5.5.1 分形导数分数阶灰色Riccati模型的建立 220
5.5.2 预测误差与还原误差的关系 228
5.5.3 基于QPSO的FDFGRM模型参数研究的多目标优化 230
5.5.4 FDFGRM的建模过程及伪代码 232
5.5.5 FDFGRM的数值模拟与应用 232
参考文献 244
附录 书中用到的部分Python代码 264
附录1 分数阶导数灰色Bernoulli模型 264
附录2 分形导数分数阶灰色模型 266
附录3 两种群分数阶Lotka-Volterra模型 269
附录4 三种群时滞分数阶Lotka-Volterra模型 272
附录5 分数阶导数灰色模型 275
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