本书是一部畅销欧美的数学手册，内容全面而丰富，涵盖分析学、代数学、几何学、数学基础、变分法与优化、概率论与数理统训、讨算数学与科学计算、数学史书中收录有大量的无穷级数、特殊函数、积分、积分变换、数理统计以及物理学基本常数的表格；此外还附有极为丰富的重要数学文献目录。
样章试读
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译者序
第二版前言
第一版前言
使用说明
引言1
第0章公式、图和表3
0.1初等数学中的基本公式3
0.1.1数学常数3
0.1.2量角5
0.1.3平面图形的面积与周长7
0.1.4立体图形的体积与表面积10
0.1.5正多面体的体积与表面积12
0.1.6n维球的体积与表面积13
0.1.7平面解析几何学中的基本公式14
0.1.8空间解析几何学中的基本公式23
0.1.9军、根与对数24
0.1.10初等代数公式26
0.1.11重要不等式34
0.1.12在行星运动中的应用——数学在太空中的一次胜利38
0.2初等函数及其图示42
0.2.1函数的变换44
0.2.2线性函数46
0.2.3二次函数46
0.2.4军函数48
0.2.5欧拉e函数48
0.2.6对数50
0.2.7一般指数函数51
0.2.8正弦与余弦52
0.2.9正切与余切58
0.2.10双曲函数sinhx和coshx61
0.2.11双曲函数tanhx和cothx63
0.2.12反三角函数64
0.2.13反双曲函数66
0.2.14多项式68
0.2.15有理函数69
0.3数学与计算机——数学中的革命73
0.4数理统计表与标准过程74
0.4.1测量(试验)序列的最重要的试验数据74
0.4.2理论分布函数76
0.4.3正态分布检验78
0.4.4测量序列的统计计算79
0.4.5两个测量序列的统计比较79
0.4.6数理统计中的表82
0.5特殊函数值表97
0.5.1Γ函数Γ(x)和1/Γ(x)97
0.5.2柱函数(也称贝塞尔函数)98
0.5.3球函数(勒让德多项式)102
0.5.4椭圆积分103
0.5.5积分三角函数与积分指数函数105
0.5.6菲涅耳.积分107
0.5.7函数etdt107
0.5.8角度向弧0度的转化108
0.6不大于4000的素数表109
0.7级数与乘积公式110
0.7.1特殊级数110
0.7.2军级数113
0.7.3渐近级数123
0.7.4傅里叶级数126
0.7.5无穷乘积131
0.8函数的微分表132
0.8.1初等函数的微分132
0.8.2单变量函数的微分法则134
0.8.3多变量函数的微分法则136
0.9积分表138
0.9.1初等函数的积分138
0.9.2积分法则140
0.9.3有理函数的积分143
0.9.4重要代换144
0.9.5不定积分表148
0.9.6定积分表182
0.10积分变换表187
0.10.1傅里叶变换187
0.10.2拉普拉斯变换198
0.10.3Z变换210
第1章分析学214
1.1初等分析214
1.1.1实数214
1.1.2复数221
1.1.3在振荡上的应用226
1.1.4对等式的运算227
1.1.5对不等式的运算229
1.2序列的极限231
1.2.1基本思想231
1.2.2实数的希尔伯特(Hilbert)公理232
1.2.3实数序列235
1.2.4序列收敛准则239
1.3函数的极限242
1.3.1一个实变量的函数242
1.3.2度量空间和点集248
1.3.3多变量函数253
1.4一个实变量函数的微分法256
1.4.1导数256
1.4.2链式法则258
1.4.3递增函数和递减函数259
1.4.4反函数261
1.4.5泰勒定理和函数的局部行为263
1.4.6复值函数273
1.5多元实变函数的导数274
1.5.1偏导数274
1.5.2弗吉歇导数276
1.5.3链式法则279
1.5.4对微分算子的变换的应用281
1.5.5对函数相关性的应用284
1.5.6隐函数定理285
1.5.7逆映射287
1.5.8n阶变分与泰勒定理289
1.5.9在误差估计上的应用290
1.5.10弗吉歇微分292
1.6单实变函数的积分303
1.6.1基本思想303
1.6.2积分的存在性308
1.6.3微积分基本定理309
1.6.4分部积分法310
1.6.5代换311
1.6.6无界区间上的积分313
1.6.7无界函数的积分314
1.6.8柯西主值315
1.6.9对弧长的应用316
1.6.10物理角度的标准推理317
1.7多实变量函数的积分318
1.7.1基本思想318
1.7.2积分的存在性327
1.7.3积分计算329
1.7.4卡瓦列里原理(累次积分)331
1.7.5代换332
1.7.6微积分基本定理(高斯–斯托克斯定理)333
1.7.7黎曼曲面测度340
1.7.8分部积分342
1.7.9曲线坐标343
1.7.10应用到质心和惯性中点346
1.7.11依赖于参数的积分348
1.8向量代数349
1.8.1向量的线性组合349
1.8.2坐标系350
1.8.3向量的乘法352
1.9向量分析与物理学领域354
1.9.1速度和加速度355
1.9.2梯度、散度和旋度357
1.9.3在形变上的应用359
1.9.4哈密顿算子的运算360
1.9.5功、势能和积分曲线364
1.9.6对力学的守恒律的应用365
1.9.7流、守恒律与高斯积分定理367
1.9.8环量、闭积分曲线与斯托克斯积分定理369
1.9.9根据源与涡确定向量场(向量分析的主要定理)370
1.9.10对电瞄学中麦克斯韦方程的应用371
1.9.11经典向量分析与嘉当微分学的关系373
1.10无穷级数374
1.10.1收敛准则375
1.10.2无穷级数的运算377
1.10.3军级数380
1.10.4傅里叶级数382
1.10.5发散级数求和386
1.10.6无穷乘积386
1.11积分变换388
1.11.1拉普拉斯变换389
1.11.2傅里叶变换394
1.11.3Z变换399
1.12常微分方程403
1.12.1引导性的例子404
1.12.2基本概念412
1.12.3微分方程的分类421
1.12.4初等解法431
1.12.5应用447
1.12.6线性微分方程组和传播子451
1.12.7稳定性455
1.12.8边值问题和格林函数457
1.12.9一般理论462
1.13偏微分方程466
1.13.1数学物理中的一阶方程467
1.13.2二阶数学物理方程494
1.13.3特征的作用510
1.13.4关于唯一性的一般原理519
1.13.5一般的存在性结果521
1.14复变函数530
1.14.1基本思想531
1.14.2复数列532
1.14.3微分533
1.14.4积分535
1.14.5微分式的语言538
1.14.6函数的表示541
1.14.7留数计算与积分计算547
1.14.8映射度549
1.14.9在代数基本定理上的应用550
1.14.10双全纯映射和黎曼映射定理552
1.14.11共形映射的例子553
1.14.12对调和函数的应用561
1.14.13在流体动力学上的应用564
1.14.14在静电学和静瞄学上的应用567
1.14.15解析延拓与恒等原理568
1.14.16在欧拉伽马函数上的应用571
1.14.17椭圆函数和椭圆积分572
1.14.18模形式与P函数的反演问题580
1.14.19椭圆积分582
1.14.20奇异微分方程590
1.14.21在高斯超几何微分方程上的应用592
1.14.22在贝塞尔微分方程上的应用592
1.14.23多复变函数594
第2章代数学597
2.1初等代数597
2.1.1组合学597
2.1.2行列式600
2.1.3矩阵604
2.1.4线性方程组609
2.1.5多项式的计算614
2.1.6代数学基本定理(根据高斯的观点)616
2.1.7部分分式分解623
2.2矩阵625
2.2.1矩阵的谱625
2.2.2矩阵的正规形式627
2.2.3矩阵函数634
2.3线性代数636
2.3.1基本思想636
2.3.2线性空间637
2.3.3线性算子640
2.3.4线性空间的计算644
2.3.5对偶性648
2.4多线性代数649
2.4.1代数650
2.4.2多线性型的计算650
2.4.3泛积656
2.4.4李代数661
2.4.5超代数662
2.5代数结构662
2.5.1群663
2.5.2环669
2.5.3域671
2.6伽罗瓦理论和代数方程674
2.6.1三个著名古代问题674
2.6.2伽罗瓦理论的主要定理675
2.6.3广义代数学基本定理678
2.6.4域扩张的分类679
2.6.5根式可解方程的主定理680
2.6.6尺规作图681
2.7数论684
2.7.1基本思想685
2.7.2欧几里得算法686
2.7.3素数分布689
2.7.4加性分解695
2.7.5用有理数及连分数逼近无理数698
2.7.6超越数703
2.7.7对数π的应用706
2.7.8高斯同余式710
2.7.9间可夫斯基数的几何713
2.7.10数论中局部–整体基本原理714
2.7.11理想和因子理论715
2.7.12对二次数域的应用717
2.7.13解析类数公式720
2.7.14一般数域的希尔伯特类域论720
第3章几何学722
3.1由克莱因的埃尔兰根纲领所概括的几何学的基本思想722
3.2初等几何学723
3.2.1平面三角学723
3.2.2对大地测量学的应用731
3.2.3球面几何学734
3.2.4对于海上和空中旅行的应用738
3.2.5几何的希尔伯特公理740
3.2.6欧几里得平行公理744
3.2.7非欧椭圆几何学744
3.2.8非欧双曲几何学745
3.3向量代数在解析几何学中的应用747
3.3.1平面中的直线748
3.3.2空间中的直线和平面750
3.3.3体积751
3.4欧氏几何学(运动的几何学)752
3.4.1欧几里得运动群752
3.4.2圆锥截线753
3.4.3二次曲面755
3.5射影几何学759
3.5.1基本思想759
3.5.2射影映射761
3.5.3n维实射影空间762
3.5.4n维复射影空间763
3.5.5平面几何学的分类764
3.6微分几何学767
3.6.1平面曲线768
3.6.2空间曲线774
3.6.3高斯的曲面局部理论777
3.6.4高斯的曲面整体理论786
3.7平面曲线的例子787
3.7.1包络线和焦散线787
3.7.2渐屈线788
3.7.3渐伸线789
3.7.4惠更斯的曳物线和悬链线790
3.7.5伯努利双纽线和卡西尼卵形线791
3.7.6利萨如图形792
3.7.7螺线792
3.7.8射线曲线(蚌线)793
3.7.9旋轮线795
3.8代数几何学799
3.8.1基本思想799
3.8.2平面曲线的例子807
3.8.3对积分计算的应用811
3.8.4平面代数曲线的射影复形式813
3.8.5曲线的亏格817
3.8.6去番图几何820
3.8.7解析集和魏尔斯特拉斯预备定理827
3.8.8奇点分解828
3.8.9现代代数几何的代数化829
3.9现代物理的几何835
3.9.1基本思想836
3.9.2酋几何、希尔伯特空间和基本粒子838
3.9.3伪酋几何845
3.9.4间可夫斯基几何849
3.9.5对狭义相对论的应用853
3.9.6旋量几何和费米子859
3.9.7近复结构868
3.9.8辛几何868
第4章数学基础871
4.1数学的语言871
4.1.1真命题和假命题871
4.1.2蕴涵872
4.1.3重言律和逻辑定律874
4.2证明的方法876
4.2.1间接证明876
4.2.2归纳法证明877
4.2.3唯一性证明877
4.2.4存在性证明878
4.2.5计算机时代证明的必要性879
4.2.6不正确的证明881
4.3朴素集合论883
4.3.1基本概念883
4.3.2集合的运算884
4.3.3映射888
4.3.4集合的等势891
4.3.5关系892
4.3.6集系894
4.4数理逻辑895
4.4.1命题逻辑896
4.4.2谓词逻辑899
4.4.3集合论的公理900
4.4.4康托尔的无穷结构902
4.5公理方法及其与哲学认识论之关系的历史905
第5章变分法与最优化908
5.1单变量函数的变分法908
5.1.1欧拉–伯努利方程908
5.1.2应用912
5.1.3哈密顿方程918
5.1.4应用923
5.1.5局部极小值的充分条件926
5.1.6带约束问题和拉格朗日乘子929
5.1.7应用930
5.1.8自然边界条件933
5.2多变量函数的变分法934
5.2.1欧拉–拉格朗日方程934
5.2.2应用934
5.2.3带约束的问题和拉格朗日乘子938
5.3控制问题938
5.3.1贝尔曼动态最优化939
5.3.2应用940
5.3.3庞特里亚金极大值原理942
5.3.4应用943
5.4经典非线性最优化945
5.4.1局部极小化问题945
5.4.2全局极小化问题和凸性946
5.4.3对于高斯最小二乘法的应用946
5.4.4对于伪逆的应用947
5.4.5带约束的问题和拉格朗日乘子947
5.4.6对惰的应用949
5.4.7次微分950
5.4.8对偶理论和鞍点951
5.5线性最优化952
5.5.1基本思想952
5.5.2一般线性最优化问题954
5.5.3最优化问题的标准形式和最小试验957
5.5.4单形法957
5.5.5最小试验958
5.5.6标准形式的获得961
5.5.7线性最优化中的对偶性962
5.5.8单形法的修改963
5.6线性最优化的应用963
5.6.1容量利用问题963
5.6.2混合问题964
5.6.3资源或产品的分配问题964
5.6.4设计问题和轮班计划965
5.6.5线性运输问题966
第6章随机演算——机会的数学974
6.1基本的随机性976
6.1.1古典概型976
6.1.2伯努利大数定律978
6.1.3橡莫弗极限定理979
6.1.4高斯正态分布980
6.1.5相关系数983
6.1.6在经典统计物理学中的应用986
6.2科尔莫戈罗夫的概率论公理化基础988
6.2.1事件与概率的计算991
6.2.2随机变量995
6.2.3随机向量1001
6.2.4极限定理1005
6.2.5应用于独立重复试验的伯努利模型1007
6.3数理统计1016
6.3.1基本思想1016
6.3.2重要的估计量1018
6.3.3正态分布测量值的研究1019
6.3.4经验分布函数1022
6.3.5参数估计的最大似然方法1028
6.3.6多元分析1030
6.4随机过程1032
6.4.1时间序列1034
6.4.2马尔可夫链与随机矩阵1040
6.4.3泊松过程1042
6.4.4布朗运动与扩散1043
6.4.5关于一般随机过程的科尔莫戈罗夫主定理1047
第7章计算数学与科学计算1050
7.1数值计算和误差分析1051
7.1.1算法的概念1051
7.1.2在计算机上表示数1051
7.1.3误差来源,发现误差,条件和稳定性1053
7.2线性代数1055
7.2.1线性方程组——直接法1055
7.2.2线性方程组的迭代法1063
7.2.3特征值问题1066
7.2.4拟合和最小二乘法1070
7.3插值,数值微分和积分1076
7.3.1插值多项式1076
7.3.2数值微分1085
7.3.3数值积分1086
7.4非线性问题1093
7.4.1非线性方程1093
7.4.2非线性方程组1094
7.4.3确定多项式零点1098
7.5数值逼近1102
7.5.1二次平均逼近1103
7.5.2一致逼近1107
7.5.3近似一致逼近1108
7.6常微分方程1109
7.6.1初值问题1109
7.6.2边值问题1118
7.7偏微分方程与科学计算1121
7.7.1基本思想1121
7.7.2离散方法概述1122
7.7.3椭圆型微分方程1127
7.7.4抛物微分方程1138
7.7.5双曲微分方程1142
7.7.6自适应离散方法1149
7.7.7方程组的迭代解1151
7.7.8边界元方法1163
7.7.9调和分析1165
7.7.10反问题1176
数学历史概要1179
参考文献1207
数学符号1241
基本物理量纲1245
基本物理常数1247
SI词头构成表1251
希腊字母表1252
人名译名对照表1253
索引1279
京公网安备 11010102004214号