本书以非线性算子不动点为出发点导出非线性问题解的迭代算法,着重介绍如下三类非线性问题的迭代算法及其收敛性分析：①非线性算子不动点迭代算法,包括与非线性算子不动点理论和算法密切相关的泛函分析的基本知识,非扩张映像不动点的Halpern迭代、粘滞迭代、Mann迭代以及Ishikawa迭代等迭代算法。②单调变分不等式解的迭代算法,包括变分不等式解的存在性、唯一性理论,Lipschitz连续单调变分不等式解的外梯度算法、次梯度外梯度算法以及松弛投影方法等。③凸优化问题解的迭代算法,包括凸分析基本知识、二次规划问题、最小二乘问题、凸可行问题、分裂可行问题解的迭代算法,大型线性方程组随机Kaczmarz算法,一般凸优化问题的邻近梯度算法等。本书既介绍了一些经典的结果,也介绍了新近出现的新成果,其中包含了作者的一些新结果。
样章试读
目录
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前言
符号表
第1章 非线性算子不动点理论及其算法概述 1
1.1 不动点理论概述 1
1.1.1 什么是不动点 1
1.1.2 为什么要研究不动点 1
1.1.3 若干重要不动点定理 1
1.2 不动点迭代算法概述 5
1.2.1 不动点问题研究的演变 5
1.2.2 几种重要的不动点迭代算法 6
1.3 练习题 8
第2章 不动点迭代算法分析基础 10
2.1 几个重要引理 10
2.1.1 重要引理1 10
2.1.2 重要引理2 11
2.1.3 重要引理3 12
2.1.4 重要引理4 14
2.2 Banach空间基础 16
2.2.1 Banach空间基本概念 16
2.2.2 严格凸与一致凸 16
2.2.3 闭与弱闭 17
2.2.4 紧与弱紧 17
2.2.5 下半连续与弱下半连续 19
2.3 Hilbert空间基础 20
2.3.1 Hilbert空间基本概念 20
2.3.2 泛函表示定理 21
2.3.3 度量投影 21
2.3.4 松弛投影 27
2.3.5 Opial性质 28
2.3.6 K-K性质 30
2.4 练习题 30
第3章 非线性算子不动点迭代算法 32
3.1 非扩张映像的基本性质 32
3.1.1 不动点集的结构 32
3.1.2 次闭原理 32
3.1.3 不动点的存在性 33
3.2 Halpern迭代 34
3.2.1 Browder隐式迭代 34
3.2.2 Halpern迭代计算格式 36
3.2.3 Halpern迭代的收敛速度估计 41
3.2.4 粘滞迭代 45
3.2.5 最小范数不动点 47
3.2.6 一般Halpern迭代的最优参数选取 51
3.3 Mann迭代 58
3.3.1 Mann迭代计算格式 58
3.3.2 修正的Mann迭代 61
3.3.3 带有误差项的Mann迭代 67
3.3.4 一般Mann迭代的最优参数选取 69
3.4 伪压缩映像不动点迭代算法 80
3.4.1 伪压缩映像 80
3.4.2 Ishikawa迭代 81
3.4.3 逐次压缩算法 82
3.5 练习题 86
第4章 凸优化理论基础 88
4.1 凸分析简介 88
4.1.1 凸函数 88
4.1.2 下半连续函数与上方图 90
4.1.3 Gateaux微分和次微分 92
4.1.4 凸函数梯度算子基本性质 96
4.2 凸优化问题与变分不等式的关系 98
4.2.1 最优化问题解的存在性 98
4.2.2 最优化条件 100
4.3 练习题 101
第5章 强单调与反强单调变分不等式解的迭代算法 103
5.1 什么是变分不等式 103
5.1.1 变分不等式问题的一般提法 103
5.1.2 变分不等式与不动点问题的等价性 104
5.1.3 共轭变分不等式问题 104
5.2 强单调变分不等式 105
5.2.1 解的存在唯一性与梯度投影算法 105
5.2.2 变参数梯度投影算法 108
5.2.3 松弛梯度投影算法 109
5.2.4 混合最速下降算法 113
5.3 反强单调变分不等式117
5.3.1 反强单调映像与平均映像的进一步性质 117
5.3.2 反强单调变分不等式解的迭代算法 124
5.4 变分不等式的正则化方法 128
5.4.1 什么是正则化方法 128
5.4.2 一类单调变分不等式的正则化方法 130
5.5 逆变分不等式 137
5.5.1 什么是逆变分不等式 137
5.5.2 解的存在唯一性 138
5.5.3 不精确梯度投影算法 139
5.6 练习题 142
第6章 一般单调变分不等式解的迭代算法 144
6.1 极大单调算子 144
6.1.1 极大单调算子的概念 144
6.1.2 闭凸集的法锥 150
6.1.3 极大单调算子与变分不等式的关系 151
6.2 单调变分不等式的外梯度方法及其推广 152
6.2.1 Fejer单调序列的收敛性 152
6.2.2 外梯度方法及其推广 152
6.3 单调变分不等式的次梯度外梯度方法 157
6.3.1 次梯度外梯度方法的提出动机 157
6.3.2 次梯度外梯度方法 158
6.3.3 修正的次梯度外梯度方法 162
6.4 练习题 163
第7章 凸优化问题解的迭代算法 164
7.1 二次规划问题的迭代算法 164
7.1.1 强凸二次规划问题的迭代算法 164
7.1.2 最小二乘问题的迭代算法 166
7.2 凸优化问题的邻近梯度算法 168
7.2.1 邻近算子 168
7.2.2 邻近梯度算法 172
7.3 Kaczmarz算法及其对偶算法 175
7.3.1 Kaczmarz算法 175
7.3.2 随机Kaczmarz算法 177
7.3.3 惯性随机Kaczmarz算法 182
7.3.4 对偶Kaczmarz算法 187
7.4 选择性投影方法 192
7.4.1 凸可行问题的选择性投影方法 192
7.4.2 多集分裂可行问题的选择性投影方法 194
7.5 单调变分包含问题的多步惯性邻近收缩算法 197
7.6 练习题 211
参考文献 212
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