本书总结了近年来作者在常微分方程边值问题和定性理论方面的部分研究成果,共九章。第1-6章利用Leray-Schauder度、迭合度理论、锥上不动点理论、上下解方法、最大值原理和单调迭代技巧研究了非线性常微分方程、时标动力方程非局部边值问题的可解性、正解的存在性和多解性以及解的收敛性。第7-9章主要介绍种群动力系统中离散动力系统的基本理论及其应用,其内容包括离散系统的稳定性判别法、中心流形理论、分支理论、混沌等内容。
样章试读
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前言
第1章 绪论 1
1.1 常微分方程、时标动力方程边值问题的发展概况 1
1.1.1 常微分方程非局部边值问题 1
1.1.2 常微分方程奇异边值问题正解存在的充要条件 4
1.1.3 抽象空间中的常微分方程边值问题 6
1.1.4 不动点理论在时标动力方程边值问题中的应用 7
1.1.5 迭合度理论在时标动力方程共振边值问题中的应用 9
1.2 基本概念和理论基础 9
1.2.1 有关锥的基本概念、不动点定理和不动点指数定理 9
1.2.2 迭合度理论 13
1.2.3 抽象基空间中的基本概念、不动点定理和不动点指数定理 14
第2章 几类常微分方程四点边值问题多解性研究 16
2.1 两类四点边值问题多个对称正解的存在性 17
2.1.1 边值问题 (2.1.1), (2.1.2) 三个对称正解的存在性 18
2.1.2 边值问题 (2.1.1), (2.1.3) 三个对称正解的存在性 23
2.1.3 例子 26
2.2 几类具非线性边界条件的四点边值问题正解的存在性 28
2.2.1 预备工作 29
2.2.2 边值问题 (2.2.1), (2.2.2) 三个正解的存在性 31
2.2.3 边值问题 (2.2.1), (2.2.3) 三个正解的存在性 34
2.2.4 推广性结果 36
2.2.5 例子 38
2.3 具 p-Laplace 算子的高阶四点边值问题正解的存在性 39
2.3.1 预备工作 40
2.3.2 正解的存在性 43
2.3.3 例子 49
第3章 Sturm-Liouville 型 2m 点边值问题正解存在性 51
3.1 具 p-Laplace 算子的 Sturm-Liouville 型 2m 点边值问题三个正解的存在性 52
3.1.1 预备工作 53
3.1.2 至少三个正解的存在性 57
3.1.3 例子 62
3.2 具 p-Laplace 算子的 2m 点边值问题对称正解的存在性 63
3.2.1 预备工作 63
3.2.2 三个对称正解的存在性 67
3.2.3 例子 68
3.3 非线性项可变号的 Sturm-Liouville 型 2m 点边值问题正解的存在性 69
3.3.1 预备工作 70
3.3.2 正解的存在性 71
3.3.3 例子 76
第4章 非线性常微分方程边值问题正解存在的充要条件 77
4.1 一类奇异三点边值问题正解存在的充要条件 77
4.1.1 预备工作 78
4.1.2 C([0, 1]) 正解存在的一个充要条件 80
4.1.3 C1([0, 1]) 正解存在的一个充要条件 83
4.2 四阶多点边值问题正解存在的充要条件 88
4.2.1 预备工作 90
4.2.2 主要结论的证明 93
4.2.3 例子 104
第5章 非线性时标动力方程多点边值问题解的存在性研究 105
5.1 时标上非线性 m 点边值问题正解的存在性研究 105
5.1.1 预备工作 105
5.1.2 至少一个正解的存在性 109
5.1.3 至少两个正解的存在性 111
5.1.4 至少三个正解的存在性 113
5.1.5 例子 115
5.2 时标上多点共振边值问题 119
5.2.1 预备工作 119
5.2.2 边值问题 (5.2.1), (5.2.2) 解的存在性 123
5.2.3 边值问题 (5.2.1), (5.2.3) 解的存在性 127
5.2.4 例子 129
5.3 时标上具 p-Laplace 算子的多点共振边值问题 131
5.3.1 预备工作 132
5.3.2 解的存在性 134
第6章 抽象空间中的非线性常微分方程边值问题 139
6.1 Banach 空间中具积分边界条件的三阶边值问题的研究 I 140
6.1.1 预备工作 140
6.1.2 边值问题 (6.1.1), (6.1.2) 正解的存在性 146
6.1.3 例子 152
6.2 Banach 空间中带有积分边界条件的三阶边值问题研究 II 154
第7章 离散动力系统的理论概要 156
7.1 离散动力系统的基本概念 156
7.2 离散系统的中心流形定理 161
7.3 离散系统的局部分支理论 165
7.4 混沌的相关概念 168
7.4.1 混沌的定义 168
7.4.2 混沌的检验 169
7.5 Routh-Hurwitz 准则 171
第8章 Logistic 模型的动力学性质 173
8.1 模型介绍 173
8.2 非自治周期 Logistic 映射的性质 175
8.2.1 解的性质 175
8.2.2 周期解的存在性 180
第9章 捕食–被捕食系统的动力学分析 185
9.1 模型介绍 185
9.2 不动点的存在性和稳定性 186
9.3 分支分析 189
9.4 Marotto 混沌分析 194
9.5 数值模拟 199
9.5.1 关于不动点的稳定性及其分支的数值模拟 200
9.5.2 关于 Marotto 混沌的数值模拟 200
9.5.3 关于系统 (9.1.1) 的进一步数值模拟 200
9.6 混沌控制 209
参考文献 212
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