本书系统介绍计算几何的理论与方法. 内容包括计算几何的数学基础、曲线曲面的基本理论、Bézier 曲线曲面、B 样条曲线曲面、有理 Bézier 曲线曲面与 NURBS 方法、细分方法以及径向基函数等.
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第1章 计算几何的数学基础 1
1.1 Weierstrass定理 1
1.2 一致逼近 3
1.2.1 Borel存在定理 4
1.2.2 最佳逼近定理 6
1.2.3 Tchebvsherv多项式及其应用 11
1.3 平方逼近 16
1.3.1 最小二乘法 16
1.3.2 空间三 23
1.3.3 正交函数系与广义Fourier级数 26
1.4 多项式插值法 31
1.4.1 Lagrange插值公式 32
1.4.2 Newton插值公式 35
1.4.3 插值余项 38
1.4.4 Hermite插值公式 40
1.4.5 多元多项式插值简介 42
1.5 一元样条 48
1.5.1 3次样条函数插值 49
1.5.2 样条函数及其性质 53
1.6 多元样条简介 61
1.6.1 多元样条空间的基本定理 61
1.6.2 多元样条空间的维数 64
1.6.3 多元B样条与拟插值算子 66
习题1 71
第2章 曲线曲面的基本理论 76
2.1 向量及向量函数 76
2.2 曲线曲面的表示方法 79
2.2.1 曲线曲面的参数表示 79
2.2.2 曲线曲面的代数表示 82
2.3 曲线的参数表示 83
2.3.1 弧长参数化 83
2.3.2 Frenet标架和Frenet-Serret方程 86
2.3.3 曲线的拼接 90
2.4 曲面的参数表示 92
2.4.1 曲面上的曲线 92
2.4.2 曲面的曲率 94
2.4.3 曲面的拼接 96
2.4.4 直纹面与可展曲面 98
习题2 99
第3章 Bezier曲线曲面 102
3.1 Bernstein基函数及其性质 102
3.2 Bezier曲线 106
3.2.1 Bezier曲线的定义和性质 106
3.2.2 Bezier曲线的deCasteljau算法和几何作图法 112
3.2.3 分段光滑的Bezier曲线 116
3.3 矩形域上的张量积型Bezier曲面 119
3.3.1 张量积型的Bernstein基函数 119
3.3.2 张量积型Bezier曲面 120
3.4 三角形上的Bezier曲面 125
3.4.1 面积坐标与三角形上的Bernstein基函数 125
3.4.2 三角域上Bezier曲面 139
3.5 开花(blossoms)方法简介 143
3.5.1 一元多项式的开花 143
3.5.2 Bezier曲线开花的应用 148
3.5.3 矩形域上张量积型Bezier曲面的开花 150
3.5.4 三角形上Bezier曲面的开花 153
习题3 155
第4章 B样条曲线曲面 158
4.1 一元B样条基函数 158
4.2 一元B样条基函数的其他定义 174
4.2.1 B样条的差商定义 175
4.2.2 B样条的差分定义 181
4.2.3 B样条的光滑余因子方法 185
4.3 B样条曲线 188
4.3.1 B样条曲线的定义及基本性质 188
4.3.2 B样条曲线的几何作图法 192
4.3.3 B样条曲线的节点插入算法 195
4.4 常用的低次B样条曲线 200
4.4.1 0次B样条曲线 200
4.4.2 1次B样条曲线 200
4.4.3 2次B样条曲线 200
4.4.4 3次B样条曲线 203
4.5 B样条曲面 207
4.5.1 张量积型的二元B样条基函数 207
4.5.2 张量积型B样条曲面 210
4.5.3 双1次B样条曲面 218
4.5.4 双2次B样条曲面 219
习题4 220
第5章 有理Bezier曲线曲面与NURBS方法 222
5.1 有理Bezier曲线 222
5.1.1 有理Bezier曲线的定义 222
5.1.2 齐次坐标表示 224
5.1.3 有理Bezier曲线的性质 225
5.1.4 权因子的几何意义 229
5.2 有理Bezier曲面 233
5.3 NURBS方法 241
5.4 NURBS曲线 242
5.4.1 NURBS曲线的定义和基本性质 242
5.4.2 常用的低次NURBS衄线 249
5.5 矩形域上的张量积型NURBS曲面 255
5.6 非张量积型的NURBS曲面 260
5.6.12 一型三角剖分上的二元样条空间 261
5.6.2 二元1次B样条基函数与二元1次NURBS曲面 262
5.6.3 二元2次B样条基函数与二元2次NURBS曲面 266
5.6.4 二元3次B样条基函数与二元3次NURBS曲面 277
5.6.5 二元4次B样条基函数与二元4次NURBS曲面 288
5.6.6 不规则参数域上的2次NURBS曲面 298
习题5 303
第6章 细分方法 305
6.1 细分方法的分类与特点 305
6.1.1 细分方法的分类 305
6.1.2 细分方法的特点 306
6.2 细分曲线方法 307
6.2.1 细分曲线的切割磨光法 307
6.2.2 细分曲线切割磨光法的性质 309
6.2.3 其他细分曲线方法 316
6.3 细分曲面方法 317
6.3.1 细分曲面的切割磨光法 317
6.3.2 细分曲面切割磨光法的性质 320
6.3.3 任意拓扑网格的切割磨光法 329
6.4 典型细分曲面方法 332
6.4.1 Doo-Sabin细分曲面 332
6.4.2 Catmull-Clark细分曲面 333
6.4.3 Loop细分曲面 337
6.4.4 改进的Butterfv细分曲面 339
6.4.5 细分曲面 340
习题6 340
第7章 径向基函数 343
7.1 径向基函数 343
7.2 Multi-Quadric方法 350
7.2.1 Multi-Quadric函数插值 350
7.2.2 Multi-Quadric函数拟插值 353
7.3 径向基函数插值的收敛性 362
7.3.1 网椿上径向基函数拟插值的收敛性 362
7.3.2 散乱数据径向基函数插值的收敛性 366
习题7 370
参考文献 372
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