本书是一部关于非线性演化方程稳定性与分歧理论及应用的专著。主要内容包括作者最近发展的关于定态分歧、动态分歧和跃迁理论，以及这些理论在物理、化学、流体动力学及地球物理流体动力学中的应用，特别是在化学中Belousov-Zhabotinsky反应，二元体分离问题的Cahn-Hilliad方程、超导体Ginzburg-Landau方程的相变与分歧理论、Rayleigh-Benard对流问题、Couette流的Taylor问题及赤道上大气层的Walker环流等重要问题中的应用。
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第一章 从自然观点看微分方程 1
1.1 自然定律与方程 1
1.2 运动类型与方程分类 3
1.2.1 古典的分类 3
1.2.2 耗散结构的方和 4
1.3 方程解的形态 8
1.3.1 定态解 9
1.3.2 全局解 10
1.3.3 爆破解 10
1.3.4 周期解 11
1.3.5 行波解 11
1.3.6 正解 12
1.3.7 弱解 13
1.4 稳定性问题 16
1.4.1 Lyapunov 稳定性 16
1.4.2 Kolmogorov 稳定性 18
1.4.3 结构稳定性 20
1.5 分歧现象 22
1.5.1 对称磁场中的摆 22
1.5.2 Kaldor 模型的经济周期 26
1.5.3 流体的出界层分离与内部分离 28
1.6 混沌现象 31
1.7 评注 39
第二章 稳定性与分歧的数学基础 40
2.1 反函数与隐函数定理 40
2.1.1 反函数定理 40
2.1.2 隐两数定理 41
2.2 拓扑度理论基础 45
2.2.1 Sard 定理 45
2.2.2 Brouwer度定义一一分析方法 48
2.2.3 流形上Brouwer映射度 49
2.2.4 Brouwer 度一一拓扑方法 52
2.2.5 Brouwer 度的基本性质 55
2.2.6 Brouwer 度的主要定理 57
2.2.7 Leray-Schauder 度 59
2.2.8 孤立奇点的指标 60
2.3 线性算子半群 62
2.3.1 动机 62
2.3.2 强连续半群 64
2.3.3 扇形算子和解相半群 67
2.3.4 分数次空间与算子 69
2.4 中心流形定理 71
2.4.1 双由不变流形 71
2.4.2 R的中心流形 75
2.4.3 无穷维系统的中心流形 77
2.4.4 中心流形函数的构造 79
2.5 偏微分方程中的解析半群 80
2.5.1 Sobolev 空间 80
2.5.2 椭圆算子的正则性估计 82
2.5.3 各类微分算子的生成半群 83
2.6 评注 88
第三章 稳定性理论 89
3.1 Lyapunov 稳定性 89
3.1.1 R系统的Lyapunov 稳定性定理 89
3.1.2 局部渐近稳定性 93
3.2 经典的全局吸引子存在性理论 95
3.2.1 基本概念 95
3.2.2 全局吸钊子有在性 98
3.2.3 吸引子的报动稳定性 100
3.2.4 变分结构演化方程全局吸引子 101
3.3 C条件全局吸引子存在性理论 106
3.3.1 非紧致性测度 107
3.3.2 全局吸钊手存在性的几要条件 108
3.3.3 非线性演化方程全局吸引于 111
3.4 临界状态的稳定性 115
3.4.1 正交贷子临界态的稳定性 116
3.4.2 有限维情况 l19
3.5 评注 124
第四章 定态分歧 125
4.1 线性全连续场谱理论 125
4.1.1 线性全连续场的特征值 125
4.1.2 谱定理 127
4.1.3 特征值的渐近性质 133
4.2 Lyapunov-Schmidt 约化 136
4.2.1 定态分歧问题介绍 136
4.2.2 Lyapunov-Schmidt过程 139
4.2.3 约化过轩的规范化 143
4.2.4 分歧解的正则性及Morse 指数 148
4.3 经典的分歧理论 152
4.3.1 从奇重特征值处的分歧定理 152
4.3.2 势算子的分歧定理 155
4.3.3 Rabinowitz 全局分歧定理 158
4.4 从高阶非退化奇点的分歧 161
4.4.1 偶数阶非退化奇点 164
4.4.2 从几何单特征值（r=1) 的分歧 170
4.4.3 关于r=k=2 的分歧 171
4.4.4 约化方程的-阶近似为势算子 176
4.4.5 在椭圆方和组中的应用 178
4.5 选择性方法 180
4.5.1 介绍 180
4.5.2 选择性分歧定理 182
4.5.3 般原理 186
4.5.4 含次线性项的椭圆方和分歧 187
4.5.5 二阶椭网方程正解的全局分歧 190
4.6 从非线性齐次项的分歧 196
4.6.1 分歧定理 196
4.6.2 一些应用 200
4.7 评注 203
第五章 有限维系统的动态分歧理论 204
5.1 吸引子分歧 204
5.1.1 吸引子分歧的基本原理 204
5.1.2 主要定理 206
5.1.3 吸引子的稳定性 208
5.1.4 主要定理的证明 212
5.1.5 分歧吸引子的结构 216
5.1.6 广义Hopf 分歧 218
5.2 不变闭流形 220
5.2.1 双由不变流形 220
5.2.2 sm 球面吸引子分歧 224
5.3 动态分歧的结构稳定性 230
5.3.1 主要定理 230
5.3.2 主要走理的证明 232
5.4 评注 241
第六章 非线性耗散系统的动态分歧与跃迁 242
6.1 中心流形函数近似解法 242
6.1.1 一阶近似公式 242
6.1.2 中心流形|的约化 245
6.2 sm 吸引子分歧定理 245
6.2.1 关于时间一阶导数方和 245
6.2.2 关于时间二阶导数的方程 247
6.3 跃迁理论的一般原理 252
6.3.1 基本概念和问题 252
6.3.2 跃迁类型的判别 254
6.4从单特征值的跃迁 255
6.4.1 实单特征俏情况 255
6.4.2 复单特证值情况 258
6.4.3 鞍结点分歧 264
6.5 从以重特征值的跃迁 267
6.5.1 一个指标公式 267
6.5.2 主要定理 270
6.5.3 主要定理的证明 274
6.5.4 k 阶非退化奇点 285
6.5.5 周期轨道的分歧 289
6.5.6 个例子 292
6.6 摄动系统的跃迁理论 294
6.6.1 般情况 294
6.6.2 单特征值情况 297
6.6.3 复单特征俏情况 301
6.7 评注 308
第七章 物理与化学中耗散系统相变的数学理论 309
7.1 非线性科学动力学原理 309
7.1.1 耗散系统的非平衡相变 309
7.1.2 跃迁理论的科学意义 312
7.2 Belousov-Zhabotinsky 型化学反应 315
7.2.1 Field-Noyes方和 315
7.2.2 数学框架 317
7.2.3 相交定理 321
7.2.4 化学意义评述 322
7.3 二元休的相分离 324
7.3.1 Cahn-Hilliard方程 324
7.3.2 方程的标准化 325
7.3.3 Neumann 边界条件 327
7.3.4 周期边界条件 337
7.3.5 物理意义评述 339
7.4 Kuramoto-Sivashinsky 方程 342
7.4.1 数学框架 342
7.4.2 S1吸引子 343
7.5 复Ginzburg-Landau 方程 346
7.5.1 数学问题 346
7.5.2 Dirichlet 边界条件 348
7.5.3 周期边界条件 350
7.6 评注 351
第八章 典型物理问题的动态分歧与跃迁 352
8.1 二维不可压缩流几何理论简介 352
8.1.1 介绍与预备 352
8.1.2 结构稳定性定理 353
8.1.3 指惊公式 354
8.2 超导休的相变 356
8.2.1 动态Ginzburg-Landau 方程 356
8.2.2 数学框架及特征值问题 360
8.2.3 G皿burg-Landau 方程的相变定理 363
8.2.4 物理意义评述 371
8.3 R.ayleigh-Benard 对流 376
8.3.1 Benard 实验 376
8.3.2 Boussinesq 方和 377
8.3.3 R.ayleigh-Benard 问题的吸引子分歧 379
8.3.4 Benard 对流卷结构 384
8.3.5 关于流体动力学的评论 390
8.4 Taylor问题 392
8.4.1 Taylor实验与Taylor漩涡 392
8.4.2 控制方程 393
8.4.3 小间隙情况 396
8.4.4 z 周期边界条件 399
8.4.5 其他边界条件 409
8.4.6 Taylor 璇祸结悔 413
8.4.7 关于流体动力学的解将 417
8.5 赤道上大气层的Wa1ker 环流 419
8.5.1 赤道上的Walker 环流 419
8.5.2 大气动力学基本方程 420
8.5.3 赤道上大气环流方和 423
8.5.4 Walker 环流及其稳定性 425
8.5.5 定理8.23 的证明 426
8.5.6 关于大气物理的评论 432
8.6 评注 433
参考文献 434
《现代数学基础丛书》出版书目 439
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