本书介绍线性算子及其谱的基本概念，无界对称算子、J-对称算子和C-对称算子的扩张理论；主要讨论几类特殊算子（有界对称算子、有界正常算子、有界C-对称算子、Hilbert-Schmidt型算子、无界自伴算子、无界正常算子、无界C-自伴算子）的谱理论及其在相关摄动下的谱分析；重点将上述相关的理论具体应用到微分方程边值问题形成的微分算子理论，特别地，关于自伴、非自伴微分算子的谱理论和谱分析，有效地解决了相应的微分方程边值问题。 本书适合于基础数学、应用数学以及相关专业的理工科研究生阅读，可供专门从事泛函分析、线性算子谱理论、微分算子理论研究的数学研究人员使用，也可供微分方程、非线性科学和量子力学等领域的科研及教学人员参考。
样章试读
目录
- 第1章 线性算子及其谱
1.1 线性算子的定义
1.2 预解算子
1.3 线性算子的谱
1.4 谱的其他分类
第2章 正常算子与自伴算子的谱分解
2.1 投影算子
2.2 谱族(谱测度)和谱积分(算子积分)
2.2.1 定义在实轴上的谱族
2.2.2 定义在Borel集上的谱族
2.2.3 *(x)是Borel可测函数时的算子表示
2.3 正常算子的谱分解
2.3.1 有界正常算子的谱分解
2.3.2 无界正常算子的谱分解
2.4 正常算子的谱
2.5 自伴算子的谱分解
2.5.1 对称算子
2.5.2 自伴算子的谱分解
2.5.3 自伴算子的谱
2.5.4 紧自伴算子
第3章 对称算子的自伴扩张及其谱
3.1 对称算子的扩张
3.1.1 问题的提出
3.1.2 对称算子的亏子空间和亏指数
3.1.3 Cayley变换
3.1.4 共轭算子的定义域
3.1.5 Neumann公式
3.1.6 对称算子的对称扩张的描述
3.1.7 举例
3.2 对称算子的扩张算子的谱
3.2.1 谱核
3.2.2 两个子空间的张度
3.2.3 半有界算子的扩张
3.3 线性算子的扰动
3.3.1 稠定算子的扰动
3.3.2 自伴算子的扰动
3.4 自伴算子的谱集在扰动下的变化
3.5 自伴算子的直和分解及双线性型
3.5.1 自伴算子的直和分解
3.5.2 共轭双线性型
第4章 C-对称算子和C-自伴算子
4.1 引言
4.2 有界C-对称算子
4.2.1 C-算子
4.2.2 有界C-对称算子性质
4.2.3 C-对称算子的结构
4.2.4 C-对称算子的变差原理
4.3 C-对称算子的特征结构
4.3.1 特征值与特征子空间
4.3.2 迷向特征向量及其重数
4.3.3 拟幂零向量
4.3.4 C-对称算子的对角化
4.3.5 特征向量的Riesz基
4.4 无界C-对称算子
4.4.1 C-自伴算子谱的结构
4.4.2 半线性特征展开
4.4.3 C-自伴算子的本质谱
第5章 J-对称算子和J-自伴算子
5.1 J-对称算子的亏指数
5.1.1 算子的亏指数
5.1.2 J-对称算子与J-自伴算子的基本概念和性质
5.2 J-对称算子的扩张
5.3 J-对称微分算子的J-自伴扩张
5.4 J-对称算子J-自伴扩张的谱
5.5 J-自伴微分算子的谱
5.5.1 历史背景
5.5.2 基本引理和相关不等式
5.5.3 常系数J-对称微分算子及其相关摄动的本质谱
5.5.4 常系数Euler微分算子及其相关摄动的本质谱
5.5.5 具有可积系数的二阶J-对称微分算子的本质谱
5.5.6 高阶J-自伴微分算子谱离散的充分条件
5.5.7 二阶情形
第6章 非自伴算子的谱分解
6.1 非自伴紧算子
6.2 Hilbert-Schmidt型算子
6.3 Hilbert-Schmidt型算子根空间的完备性
6.3.1 Hilbert-Schmidt型算子乘幂的迹
6.3.2 Hilbert-Schmidt型算子根子空间系的完备性
6.4 耗散算子及其根子空间系的完备性
6.5 增生算子
6.6 无界算子
6.6.1 具有紧逆的无界算子
6.6.2 半有界对称算子
6.6.3 微分算子中的应用
6.7 耗散的Sturm-Liouville算子及其根空间的完备性
6.7.1 耗散的Sturm-Liouville算子
6.7.2 耗散的Sturm-Liouville算子根空间的完备性
第7章 二阶非自伴微分算子
7.1 基本概念
7.2 方程l(y)=λ_y解的近似公式
7.2.1 关于积分方程的一些引理
7.2.2 方程l(y)=λ_y的解系
7.2.3 y_1(x;s);y_2(x;s);y_3(x;s)的渐近估计(当x→∞时)
7.2.4 y_1(x;s);y_2(x;s);y_3(x;s)的渐近估计(当s→∞时)
7.3 算子L_θ的预解算子及其谱
7.3.1 算子L_θ在上半平面(=s>0)的特征值
7.3.2 L_θ的预解算子及L_θ的谱
7.3.3 特殊情形
7.4 正则边值问题
7.4.1 正则边值问题的特征值
7.4.2 边值问题特征值的渐近表示
7.4.3 正则边值问题的特征函数的渐近表示
7.5 正则边值问题的预解算子
7.5.1 偶数阶微分算子的预解算子
7.5.2 二阶正则边值问题的预解算子
7.6 L_θ的特征展开
7.6.1 曲线C_m;q
7.6.2 在C_m;q上边值问题的预解算子
7.6.3 L_θ的预解算子核的积分表示
7.6.4 L_θ的特征函数展开
7.7 具有谱奇异点的微分算子
参考文献
索引
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