积分论一直是分析学的核心领域，近年来产生的非可加积分、集值积分与模糊值积分理论发展迅速，且在信息论、控制论、数量经济、决策过程、人工智能和大数据等领域有着广泛的应用.本书系统介绍非可加积分、集值积分与模糊值积分领域的最新理论成果，因为其涵盖了经典的Lebesgue积分，所以定名为“广义积分论”.内容有：单值积分，包括抽象Lebesgue积分、Bochner积分、模糊积分、（N)模糊积分、半模模糊积分、广义模糊积分、Choquet积分、拟积分、广义Choquet积分、格值广义模糊积分；集值积分，包括Aumann积分、Debreu积分、集值模糊积分、集值Choquet积分；模糊值积分，包括模糊值Aumann积分、模糊值模糊积分、模糊值Choquet积分；关于模糊数测度的积分；关于模糊数模糊测度的模糊积分、广义模糊积分、广义Choquet积分；广义模糊数理论.
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《模糊数学与系统及其应用丛书》序
前言
第1章 积分论大意 1
1.1 测度与可测函数 1
1.1.1 测度 1
1.1.2 可测函数 3
1.2 积分 4
1.2.1 定义、性质与收敛定理 4
1.2.2 Fubini 定理 6
1.2.3 Radon-Nikodym 定理 6
参考文献 6
第2章 模糊集、模糊测度与可测函数 7
2.1 模糊集基础 7
2.2 模糊测度 9
2.2.1 定义与例子 9
2.2.2 模糊测度的结构特征 11
2.2.3 模糊测度序列 14
2.3 可测函数列 17
2.4 进展与注 19
参考文献 20
第3章 模糊积分 21
3.1 Sugeno 模糊积分 21
3.1.1 定义 21
3.1.2 性质 22
3.1.3 收敛定理 24
3.1.4 转化定理, 由积分定义的集函数 26
3.1.5 上、下 Sugeno 积分 26
3.2 (N) 模糊积分与半模模糊积分 27
3.2.1 (N) 模糊积分 27
3.2.2 半模模糊积分 29
3.3 广义半模模糊积分 31
3.3.1 定义与性质 32
3.3.2 收敛定理 35
3.3.3 模糊测度序列在广义半模模糊积分意义下的弱收敛 41
3.3.4 广义半模模糊积分的水平收敛定理 44
3.3.5 广义半模模糊积分的表示 46
3.3.6 由广义半模模糊积分定义的模糊测度 51
3.4 进展与注 52
参考文献 54
第4章 Choquet 积分 57
4.1 非负函数的 Choquet 积分 57
4.1.1 定义和性质 57
4.1.2 模糊测度的表示, 共单调可加性 59
4.1.3 广义收敛定理及 Choquet 积分表示 64
4.1.4 Choquet 积分不等式 67
4.1.5 上、下 Choquet 积分 68
4.2 非对称 Choquet 积分 70
4.2.1 定义与性质 70
4.2.2 收敛定理 72
4.2.3 由 Choquet 积分定义的集函数 73
4.3 Fubini 定理 75
4.3.1 基于代数的 Fubini 定理 75
4.3.2 基于 σ-代数的 Fubini 定理 76
4.3.3 一般情形的乘积容度与 Fubini 定理 78
4.4 Choquet 积分——其他 80
4.4.1 对称 Choquet 积分 80
4.4.2 关于拟 Lebesgue 测度的 Choquet 积分 82
4.4.3 新 Choquet-like 积分 84
4.4.4 Choquet-Stieltjes 积分 86
4.4.5 非单调模糊测度空间及收敛 86
4.5 进展与注 89
参考文献 89
第5章 拟积分与广义 Choquet 积分 93
5.1 Sugeno 与 Murofushi 的拟可加测度与积分 93
5.1.1 拟可加测度与积分的基本概念 93
5.1.2 拟可加积分的收敛定理 96
5.1.3 g-积分 101
5.1.4 Choquet-like 积分 106
5.2 σ-可加测度与拟积分 107
5.2.1 半环的基本概念 107
5.2.2 拟积分的定义 110
5.2.3 Fubini 定理 112
5.2.4 拟积分转化定理 116
5.2.5 拟积分的广义 Minkowski 不等式 117
5.2.6 拟积分的 Jensen 不等式 121
5.3 非负可测函数的拟积分的再定义 128
5.3.1 定义 128
5.3.2 性质 130
5.3.3 收敛定理 131
5.4 广义 Choquet 积分 134
5.4.1 半环值模糊测度 134
5.4.2 广义 Choquet 积分——一般情形 135
5.4.3 广义 Choquet 积分——情形 I—情形 III 136
5.4.4 广义 Choquet 积分的收敛定理 143
5.4.5 广义 Choquet 积分不等式 146
5.5 进展与注 148
参考文献 149
第6章 格值广义模糊积分 152
6.1 格 L 上的广义三角模与 TS-L 广义模糊积分 152
6.1.1 格 L 上的广义三角模 152
6.1.2 TS-L 广义模糊积分 153
6.2 _S-L 广义模糊积分 159
6.2.1 常值函数 TS-L 广义模糊积分的讨论 159
6.2.2 ∨S-L 广义模糊积分 161
6.3 Rm+-值广义模糊积分 165
6.3.1 基本概念与定义 165
6.3.2 m 维广义模糊积分定理及收敛定理 166
6.4 进展与注 170
参考文献 171
第7章 集值函数与模糊集值函数的积分 172
7.1 预备知识 172
7.1.1 Bochner 积分 172
7.1.2 集值函数 174
7.1.3 可积选择空间 177
7.2 集值函数的 Aumann 积分 180
7.2.1 定义 180
7.2.2 性质 181
7.3 P0(Rn) 值函数的 Aumann 积分 184
7.3.1 基本性质, 收敛定理 184
7.3.2 Fubini 定理 185
7.3.3 Debreu 积分 186
7.4 集值测度 187
7.4.1 集值测度的定义与性质 187
7.4.2 集值测度的选择 188
7.4.3 Radon-Nikodym 定理 189
7.5 模糊集值函数的积分 191
7.5.1 n 维模糊数 191
7.5.2 一维模糊数 193
7.5.3 模糊集值函数 194
7.5.4 模糊集值函数的积分 195
7.5.5 模糊值积分的 Fubini 定理 199
7.5.6 模糊集值测度 200
7.6 Pk(R)-值与 Pk(R)-值积分的 Jensen 不等式 201
7.6.1 凸函数与经典 Jensen 不等式 201
7.6.2 集值函数与模糊集值函数积分的几个性质 201
7.6.3 集值 Jensen 不等式 203
7.6.4 模糊集值 Jensen 不等式 207
7.7 模糊数测度与积分 214
7.7.1 模糊数测度 214
7.7.2 模糊值函数关于模糊数测度的积分 215
7.7.3 Fubini 定理 219
7.7.4 Radon-Nikodym 定理 220
7.8 进展与注 221
参考文献 222
第8章 集值函数与模糊集值函数的模糊积分 226
8.1 预备知识 226
8.2 集值函数的模糊积分 227
8.2.1 定义与性质 227
8.2.2 收敛定理 231
8.3 模糊集值函数的模糊积分 233
8.3.1 定义与性质 233
8.3.2 收敛定理 235
8.4 集值模糊测度与拟可加集值测度 237
8.4.1 定义与例子 237
8.4.2 集值模糊测度的一种构造方法 237
8.4.3 拟可加集值测度与 Radon-Nikodym 定理 238
8.5 集值函数的集值 Choquet 积分 239
8.5.1 定义与性质 239
8.5.2 收敛定理 242
8.6 模糊集值函数的 Choquet 积分 243
8.7 集值函数的实值 Choquet 积分 244
8.7.1 定义与性质 244
8.7.2 收敛定理 246
8.8 Choquet 积分的 Jensen 不等式 247
8.8.1 实值 Jensen 不等式 247
8.8.2 集值函数实值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 251
8.8.3 集值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 253
8.8.4 模糊集值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 255
8.9 进展与注 256
参考文献 257
第9章 模糊数模糊测度与模糊积分 259
9.1 预备知识 259
9.2 区间数模糊测度与模糊数模糊测度 262
9.3 模糊值函数关于模糊数模糊测度的模糊积分 264
9.3.1 区间值函数关于区间数模糊测度的模糊积分 264
9.3.2 模糊值函数关于模糊数模糊测度的模糊积分 267
9.4 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义模糊积分 272
9.4.1 区间值函数关于区间数模糊测度的广义模糊积分 272
9.4.2 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义模糊积分 273
9.5 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义 Choquet 积分 277
9.5.1 区间值函数关于区间值模糊测度的广义 Choquet 积分——一般情形 277
9.5.2 区间值函数关于区间值模糊测度的广义 Choquet 积分——半环情形 I—情形 III 278
9.5.3 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义 Choquet 积分——半环情形 I—情形 III 280
9.6 进展与注 282
参考文献 282
第10章 广义模糊数 284
10.1 定义与基本定理 284
10.1.1 CH 广义模糊数 284
10.1.2 广义模糊数的再定义 285
10.2 广义模糊数空间: 序、运算、距离 290
10.2.1 h-广义模糊数 290
10.2.2 广义模糊数 292
10.3 广义模糊数序列 299
10.4 进展与注 303
参考文献 304
《模糊数学与系统及其应用丛书》已出版书目 309
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