本书图文并茂地叙述了微分方程的基本概念、著名实例、重要模型、发展历史, 讲授了常微分方程求解的初等积分法和待定系数法, 偏微分方程求解的特征线法、变量变换法、积分变换法、行波法、延拓法、分离变量法、Green 函数法和变分方法, 介绍了求解方程的数学软件Mathematica,全书内容共由十二章组成. 同时, 本书给出了作业详细完整的答案, 读者扫描每章后的二维码可查看答案, 降低了初学者的学习难度. 本书也提供了拓展习题和课外阅读材料, 方便学有余力的读者进一步提高. 在全书的最后, 还设有附录, 供读者查阅n 元微积分的基本知识.
样章试读
目录
- 目录
前言
第1章 微分方程的基本术语 1
1.1 微分方程的定义与实例 1
1.1.1 微分方程的定义 1
1.1.2 微分方程的实例 5
1.2 微分方程的记号和概念 15
1.2.1 微分方程的记号 15
1.2.2 微分方程的概念 17
1.3 拓展习题与课外阅读 28
1.3.1 拓展习题 28
1.3.2 课外阅读 30
第2章 微分方程的建模 32
2.1 SIR模型 32
2.2 等周问题(Dido问题) 35
2.3 位势方程 36
2.4 热传导方程 38
2.5 弦振动方程 39
2.6 极小曲面方程 42
2.7 Black–Scholes–Merton 方程 46
2.8 拓展习题与课外阅读 49
2.8.1 拓展习题 49
2.8.2 课外阅读 50
第3章 初等积分法——一阶常微分方程的求解 51
3.1 解的存在性 51
3.2 一阶显式方程 53
3.2.1 全微分方程 53
3.2.2 积分因子 59
3.3 一阶隐式方程 61
3.3.1 可解出y或x的方程(微分法) 61
3.3.2 不含x或y的方程 (参数法) 63
3.4 近似解法 64
3.4.1 图解法 64
3.4.2 Euler 折线法 65
3.4.3 Picard 迭代法 66
3.4.4 Taylor级数法 67
3.5 拓展习题与课外阅读 69
3.5.1 拓展习题 69
3.5.2 课外阅读 70
第4章 待定系数法——二阶线性常微分方程的求解 71
4.1 二阶线性方程 71
4.1.1 齐次方程 71
4.1.2 非齐次方程 74
4.2 二阶常系数线性方程 75
4.2.1 齐次方程 75
4.2.2 Euler方程 76
4.2.3 非齐次方程 77
4.3 二阶变系数线性方程 79
4.3.1 Legendre 方程 80
4.3.2 Bessel方程 82
4.4 拓展习题与课外阅读 86
4.4.1 拓展习题 86
4.4.2 课外阅读 86
第5章 特征线法——一阶偏微分方程的求解 87
5.1 一阶拟线性方程 88
5.2 一阶完全非线性方程 93
5.3 一阶方程的幂级数解 98
5.4 拓展习题与课外阅读 101
5.4.1 拓展习题 101
5.4.2 课外阅读 103
第6章 变量变换法 104
6.1 方程的化简 104
6.2 方程的分类 112
6.3 叠加原理和齐次化原理 114
6.4 拓展习题与课外阅读 118
6.4.1 拓展习题 118
6.4.2 课外阅读 119
第7章 积分变换法 120
7.1 Fourier变换及其应用 120
7.1.1 Fourier 变换 120
7.1.2 Fourier变换在求解微分方程上的应用 126
7.2 Laplace变换及其应用 134
7.2.1 Laplace变换 135
7.2.2 Laplace变换在求解微分方程上的应用 139
7.3 拓展习题与课外阅读 145
7.3.1 拓展习题 145
7.3.2 课外阅读 146
第8章 行波法与延拓法 147
8.1 全实轴上双曲型方程的行波法 147
8.2 半实轴上初边值问题的延拓法 154
8.3 拓展习题与课外阅读 157
8.3.1 拓展习题 157
8.3.2 课外阅读 159
第9章 分离变量法 160
9.1 热传导方程的初边值问题 160
9.2 弦振动方程的初边值问题 165
9.3 调和方程的边值问题 172
9.4 拓展习题与课外阅读 174
9.4.1 拓展习题 174
9.4.2 课外阅读 175
第10章 Green 函数法 176
10.1 基本解和Newton位势 177
10.2 特殊区域上Laplace方程的求解 186
10.2.1 Green函数186
10.2.2 上半空间的Poisson公式 189
10.2.3 球上的Poisson公式 191
10.3 一般区域上 Laplace 方程解的存在性 195
10.4 拓展习题与课外阅读 195
10.4.1 拓展习题 195
10.4.2 课外阅读 196
第11章 变分方法198
11.1 变分问题 199
11.1.1 最速降线问题 199
11.1.2 泛函和变分 202
11.2 条件变分问题 207
11.2.1 悬链线问题 207
11.2.2 泛函的条件极值 209
11.3 偏微分方程的变分原理 213
11.4 拓展习题与课外阅读 214
11.4.1 拓展习题 214
11.4.2 课外阅读 215
第12章 数学软件 Mathematica求解微分方程 216
12.1 微分方程求解命令DSolve和NDSolve 216
12.1.1 DSolve 命令 216
12.1.2 NDSolve 命令 218
12.2 微分方程近似解法的Mathematica编程实现 231
12.2.1 Euler折线法 231
12.2.2 Picard 迭代法 233
12.3 Mathematica其他数学命令汇总 235
12.4 拓展习题与课外阅读 240
12.4.1 拓展习题 240
12.4.2 课外阅读 241
附录 微积分学的若干知识 242
京公网安备 11010102004214号