KdV方程及其高阶方程是一类非常重要的浅水波方程, 这类方程具有广泛的物理与应用背景. 本书介绍了这类方程的物理背景, 并给出相应的孤立子解、怪波解. 本书着重研究几种重要类型的高阶KdV 方程组在能量空间中的一些经典结果, 其中包括适定性、长时间渐近性和稳定性结果. 利用调和分析的现代理论和方法, 本书详细介绍了这类方程初值及初边值问题的低正则性结果. 基于可积系统的Riemann-Hilbert方法, 本书同时研究了可积的Hirota方程及五阶mKdV方程解的长时间渐近行为, 给出了方程解渐近主项的精确数学表达式.
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前言
第1章KdV,mKdV及其高阶方程的物理背景和怪波解1
1.1KdV方程的物理背景及孤立子1
1.2mKdV方程的物理背景及怪波解1
1.2.1一阶周期解和有理分式解3
1.2.2二阶周期解4
1.2.3退化解5
1.2.4二阶有理分式解6
1.3五阶KdV方程的物理背景及孤立子7
1.4五阶mKdV方程的守恒律、周期解和有理解10
第2章KdV方程在H-1(R)中的适定性16
2.1引言16
2.1.1局部光滑性16
2.1.2概念和预备知识17
2.2对角格林函数18
2.3动力学28
2.4等度连续性32
2.5适定性35
2.6周期情形38
2.7局部光滑性45
第3章高阶广义KdV型方程组的周期边界问题与初值问题53
3.1引言53
3.2方程组(3.1.6)的周期边界问题(3.1.2)54
3.3方程组(3.1.1)的周期边界问题(3.1.2)63
3.4方程组(3.1.1)的初值问题(3.1.3)76
3.5p=1的情况80
第4章一类具导数uxp的广义KdV方程组的弱解84
4.1引言84
4.2问题(4.1.3),(4.1.5)近似解的存在性85
4.3一致先验估计89
4.4初值问题的广义解91
4.5t→1的渐近解92
4.5.1“blowup”问题92
第5章一类五阶KdV方程的光滑解94
5.1引言94
5.2周期边值问题(5.1.1),(5.1.2)95
5.3初值问题(5.1.1),(5.1.3)103
第6章高阶多变量KdV型方程组整体弱解的存在性106
6.1引言106
6.2线性抛物型方程的周期初值问题107
6.3非线性抛物组(6.1.2)的周期边界问题(6.1.3)108
6.4周期边界问题(6.1.1),(6.1.3)的整体弱解115
6.5初值问题(6.1.2),(6.1.4)的整体弱解117
6.6初值问题(6.1.1),(6.1.4)的整体弱解118
6.7无限时间区间上的广义解119
6.8广义解当t→1时的渐近性120
6.9广义解的“blow-up”性质120
第7章KdV-BBM方程的整体解122
7.1引言122
7.2主要结果及证明124
第8章KdV-BO方程的整体解129
8.1引言129
8.2预备知识131
8.3局部适定性: l=2135
8.4定理8.1.3的证明140
第9章一类KdV-NLS方程组整体解的存在性和唯一性143
9.1引言143
9.2积分先验估计144
9.3方程(9.1.4),(9.1.5)Cauchy问题和周期初值问题局部解的存在性154
9.4方程(9.1.1),(9.1.2)Cauchy问题和周期初值问题整体解的存在性、唯一性162
第10章Hirota型方程的整体光滑解167
10.1引言167
10.2主要结果167
10.3主要结果的证明168
10.3.1定理10.2.1的证明168
10.3.2定理10.2.2的证明173
10.3.3定理10.2.3的证明173
第11章Hirota方程初边值问题解的长时间渐近性176
11.1引言176
11.2RH问题177
11.3一类可解的RH问题182
11.4RH问题的形变183
11.5稳态点k1和k2邻域内的RH问题190
11.6长时间渐近公式196
第12章一维KdV方程的初边值问题202
12.1引言202
12.2边界算子工作的回顾206
12.2.1线性形式208
12.2.2非线性形式211
12.3Duhamel边界力算子类213
12.4一些函数空间的性质218
12.5某些估计218
12.5.1Riemann-Liouville分数阶积分估计218
12.5.2群的估计221
12.5.3Duhamel非齐次解算子221
12.5.4Duhamel边界力子类的估计222
12.5.5双线性估计226
12.6左半直线问题234
12.7右半直线问题238
12.8直线段问题239
第13章KdV-NLS方程的初边值问题243
13.1引言243
13.1.1半直线上的模型244
13.1.2初边值的函数空间245
13.1.3主要结果246
13.1.4证明技巧248
13.2Riemann-Liouville分数阶积分算子的相关估计249
13.2.1函数空间249
13.2.2Riemann-Liouville分数阶积分251
13.2.3一维积分基本估计252
13.3R+和R-上的线性问题252
13.3.1Schrodinger方程自由传播子的线性估计254
13.3.2线性Schrodinger方程的边界力算子254
13.3.3线性Schrodinger方程的Duhamel边界力算子类255
13.3.4KdV方程的线性群257
13.3.5线性KdV方程的边界力算子257
13.3.6线性KdV方程的Duhamel边界力算子类259
13.4Duhamel非齐次解算子262
13.5非线性估计263
13.5.1已知的非线性估计263
13.5.2耦合项的双非线性估计263
13.5.3命题13.5.1的证明264
13.5.4命题13.5.2的证明268
13.5.5命题13.5.3的证明268
13.5.6命题13.5.4的证明273
13.6主要结果的证明274
13.6.1定理13.1.1的证明274
13.6.2定理13.1.2的证明278
13.6.3定理13.1.3的证明279
13.6.4定理13.1.4的证明282
第14章五阶KdV方程的初边值问题285
14.1引言285
14.2线性估计和光滑性质287
14.3局部适定性298
14.3.1非线性估计298
14.3.2定理14.1.1的证明304
14.4全局适定性308
第15章五阶mKdV方程解的长时间渐近性309
15.1引言309
15.2预备知识312
15.2.1RH问题312
15.2.2PainlevéII RH问题315
15.2.3一类与PainlevéII方程解相关的RH问题316
15.3区域(ii)中解的长时间渐近分析319
15.4第一过渡区域(a)中解的渐近性345
15.5第二过渡区域(b)中解的渐近性353
第16章KdV方程组的轨道稳定性367
16.1引言367
16.2孤立波的存在性367
16.3主要结果368
16.4定理16.3.1的证明371
16.5定理16.3.2的证明375
第17章次临界广义KdV方程孤立子的渐近稳定性379
17.1引言379
17.2预备知识384
17.3当s→+1时, ε(s)和λ(s)的渐近行为385
17.3.1ε(s)的渐近行为385
17.3.2λ(s)的收敛性394
17.4从非线性Liouville性质到线性Liouville性质的过渡395
17.5线性Liouville性质400
参考文献410
索引417
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