本书是结合作者多年的教学经验，根据理工科“数学物理方程”教学大纲的要求及数学类、大气科学类等专业的需要而编写的。本书以方法为主线，内容包括典型模型定解问题的建立、方程的分类与标准型、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。在此基础上，介绍了研究偏微分方程定性理论的极值原理和能量方法，探讨了贝塞尔函数与勒让德函数的应用。最后，简要介绍了典型方程的数值解法与可视化。
本书叙述注重启发性、系统性与应用性，把较难的概念与尽量浅显的例子适当结合，将方法运用于各种应用驱动的偏微分方程模型中，并补充和扩展了相关知识到交叉应用领域。全书纸质内容与数字课程一体化设计，紧密配合，并配有较多的典型例题和习题，可供读者阅读与练习。
样章试读
目录
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前言
第1章 绪论 1
1.1 引入与基本概念 1
1.1.1 引入 1
1.1.2 基本概念和定义 1
1.1.3 一些典型的偏微分方程 3
1.2 典型方程的导出 6
1.2.1 波动方程 6
1.2.2 热传导方程 9
1.2.3 位势方程 11
1.2.4 流体力学基本方程组 11
1.3 定解条件与定解问题 11
1.3.1 初始条件 12
1.3.2 边界条件 12
1.3.3 定解问题 13
1.3.4 例题 15
1.4 定解问题的适定性 16
1.4.1 定解问题的解 16
1.4.2 解的唯一性 16
1.4.3 解的稳定性 16
1.4.4 解的适定性 16
1.4.5 不适定性问题的例子 17
1.4.6 反问题和数值天气预报 18
1.5 线性叠加原理 19
1.5.1 引入 19
1.5.2 线性定解问题 19
1.5.3 叠加原理 20
1.5.4 应用：将一个复杂问题化为较简单问题求解 20
1.5.5 叠加原理不成立的一个例子 21
1.6 应用：阿米巴变形虫的动力学建模与稳定性分析 21
1.6.1 问题的提出 21
1.6.2 模型的假设 21
1.6.3 模型的建立 22
1.6.4 稳定性分析 23
1.6.5 结论与应用 24
习题1 26
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 31
2.1 两个自变量方程的分类与化简 31
2.1.1 方程的化简 32
2.1.2 方程的分类 36
2.1.3 例题 36
2.1.4 常系数方程的进一步简化 39
2.1.5 几类特定类型方程的通解 40
2.2 多个自变量方程的分类与化简 40
2.2.1 两个自变量情形的回顾 41
2.2.2 多个自变量方程的分类 41
2.2.3 常系数的多个自变量方程的化简 42
习题2 45
第3章 波动方程的初值问题与行波法 48
3.1 一维波动方程的初值问题 48
3.1.1 无界弦的自由振动 48
3.1.2 波的传播 53
3.1.3 无界弦的受迫振动和齐次化原理 58
3.1.4 半无界弦的振动和延拓法 64
3.1.5 端点固定的有界弦的振动 69
3.1.6 解的先验估计 71
3.2 三维波动方程的初值问题 72
3.2.1 三维齐次波动方程的球对称解 72
3.2.2 三维齐次波动方程初值问题的泊松公式和球平均法 73
3.2.3 泊松公式的物理意义 77
3.2.4 三维非齐次波动方程的初值问题和推迟势 79
3.3 二维波动方程的初值问题 81
3.3.1 二维齐次波动方程的初值问题 81
3.3.2 二维非齐次波动方程的初值问题 82
3.3.3 泊松公式的物理意义 83
3.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥 85
3.4.1 二维情形 85
3.4.2 三维情形 86
3.5 应用：系统的精确可控性——以弦振动方程为例 86
3.6 拓展：正压大气的地转适应过程——以高维波动方程为例 90
3.6.1 由正压方程组到三维波动方程 90
3.6.2 地转适应过程特例分析 92
习题3 93
第4章 分离变量法 100
4.1 正交函数系和广义傅里叶级数 100
4.1.1 正交函数系 100
4.1.2 广义傅里叶级数 101
4.2 施图姆-刘维尔特征值问题 102
4.2.1 二阶线性齐次常微分方程的求解 102
4.2.2 二阶线性齐次偏微分方程问题的变量分离解 103
4.2.3 施图姆-刘维尔问题 104
4.3 齐次方程和齐次边界条件的定解问题 110
4.3.1 波动方程的初边值问题 110
4.3.2 热传导方程的初边值问题 117
4.3.3 拉普拉斯方程的边值问题 120
4.4 非齐次方程和齐次边界条件的定解问题 130
4.4.1 波动方程的初边值问题 130
4.4.2 热传导方程的初边值问题 134
4.5 非齐次边界条件的处理 136
4.5.1 变换的选取 136
4.5.2 例题 137
4.6 应用：量子力学中的一些思想 139
4.7 拓展：局部观测资料下的变分同化问题——以热传导方程为例 140
4.7.1 局部观测条件下初值反演问题的不适定性 140
4.7.2 变分同化方法结合正则化思想的实施 141
习题4 143
第5章 傅里叶变换 150
5.1 傅里叶变换的引入与定义 150
5.1.1 傅里叶积分 150
5.1.2 傅里叶变换的定义 151
5.1.3 傅里叶正弦变换与余弦变换 153
5.2 傅里叶变换的性质 154
5.2.1 傅里叶变换的基本性质 154
5.2.2 例子 156
5.3 傅里叶变换的应用 157
5.3.1 求解常微分方程 157
5.3.2 求解热传导方程的初值问题 158
5.3.3 求解波动方程的初值问题 161
5.3.4 求解拉普拉斯方程的边值问题 163
5.3.5 半无界问题——傅里叶正（余）弦变换法 164
5.3.6 半无界问题——延拓法 165
5.4 拓展：傅里叶变换在海洋学中的应用一例 166
习题5 170
第6章 拉普拉斯变换 173
6.1 拉普拉斯变换的定义与性质 173
6.1.1 拉普拉斯变换的定义 173
6.1.2 拉普拉斯变换的性质 174
6.1.3 拉普拉斯逆变换求解的例子 177
6.2 拉普拉斯变换的应用 178
6.2.1 求解常微分方程（组）的初值问题 178
6.2.2 求解积分方程问题或微分积分方程问题 179
6.2.3 求解波动方程的初边值问题 180
6.2.4 求解热传导方程的初边值问题 181
6.3 应用：拉普拉斯变换方法求解大气对流扩散方程 183
习题6 185
第7章 格林函数方法 188
7.1 格林公式及其应用 188
7.1.1 格林公式 188
7.1.2 格林公式的应用——调和函数的基本性质 190
7.2 格林函数及其性质 192
7.2.1 格林函数的引入 192
7.2.2 格林函数的性质 193
7.2.3 格林函数的物理意义 193
7.3 一些特殊区域上格林函数和拉普拉斯方程的Dirichlet问题的解 194
7.3.1 格林函数的求解：镜像法 194
7.3.2 三维特殊区域上的求解 194
7.3.3 二维特殊区域上的求解 198
7.4 拉普拉斯方程的基本解 201
7.4.1 狄拉克函数与基本解 201
7.4.2 基本解的求法 202
7.5 发展方程的基本解和格林函数方法 205
7.5.1 热传导方程的基本解和格林函数方法 205
7.5.2 波动方程的基本解和格林函数方法 208
7.6 应用：地温问题的求解 209
7.6.1 地温问题的建模 209
7.6.2 应用格林函数求解地温问题 210
习题7 212
第8章 极值原理与能量方法 216
8.1 极值原理及其应用 216
8.1.1 泊松方程的极值原理 216
8.1.2 热传导方程的极值原理 218
8.1.3 极值原理的应用 221
8.2 能量方法及其应用 224
8.2.1 波动方程的能量模估计 225
8.2.2 泊松方程的能量模估计 228
8.2.3 热传导方程的能量模估计 229
8.2.4 能量方法的应用 230
习题8 236
第9章 特殊函数及其应用 240
9.1 特殊函数的常微分方程 240
9.1.1 柱坐标系下的分离变量 240
9.1.2 球坐标系下的分离变量 241
9.1.3 正交多项式 242
9.2 贝塞尔函数及其应用 245
9.2.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 245
9.2.2 贝塞尔函数的性质 248
9.2.3 贝塞尔函数的应用 253
9.3 勒让德函数及其应用 255
9.3.1 勒让德方程与勒让德函数 255
9.3.2 勒让德函数的性质 257
9.3.3 连带勒让德多项式 260
9.3.4 勒让德函数的应用 261
9.4 拓展：二维正压无散线性涡度方程的初值问题 262
习题9 265
第10章 数值解法与可视化 268
10.1 解析解的MATLAB可视化 268
10.2 热传导方程的差分解法 270
10.2.1 有限差分方法简介 271
10.2.2 热传导方程的有限差分格式 271
10.2.3 差分格式的相容性和收敛性 273
10.2.4 差分格式的稳定性分析 274
10.2.5 热传导方程的数值求解结果 275
10.3 波动方程的差分解法 276
10.3.1 波动方程的有限差分格式与稳定性条件 276
10.3.2 波动方程的数值求解结果 278
10.3.3 关于收敛阶估计问题 280
10.4 泊松方程的差分解法 281
10.4.1 迭代法基本思想 282
10.4.2 三种方法的具体计算过程 282
10.4.3 泊松方程的差分方法 285
10.5 有限元法——PDE工具箱简介 287
10.5.1 有限元方法的基本思想与主要步骤 288
10.5.2 MATLAB的PDE工具箱的具体使用步骤 288
10.6 拓展：利用深度学习求解偏微分方程 293
10.6.1 深度神经网络简介 293
10.6.2 求解偏微分方程的深度学习方法 294
习题10 296
参考文献 299
典型习题参考答案 300
附录 311
附1 预备知识 311
附2 傅里叶变换表 318
附3 拉普拉斯变换表 320
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