本书是作者继《矢算场论札记》（科学出版社，2007）之后的第二本工程数学札记。尽管两书所涉及领域完全不同，但却有着完全一致的目标，即希望在数学和工程之间架设一座可以自如跨越的桥梁。对于数学重点在于领会思想，理解概念；而对于工程则在于建好模型，善于应用。
复数理论从跟着实数亦步亦趋，到达独立自主这一步，其间最关键有三点：Euler公式、Cauchy-Riemann条件和幂函数的闭路积分。本书着重讨论解析函数、复积分和复级数。由此引出它们的应用：留数定理、保角映射、Γ函数、Beta函数、Jacobi椭圆函数以及鞍点法和驻相法。内容上的大跨度可以适合各类读者之需。书后完备的附录也给广大工程技术人员带来很大方便。
本书适合理工科的本科生和硕士、博士研究生学习使用，也可作为相关专业的广大科技和工程人员的入门读物和工具书。
样章试读
目录
- 前言
第一部分 复函数
第1章 复数
1.1 复数的概念
1.1.1 复数的引入
1.1.2 复数的对应
1.1.3 复数的自身运动
1.2 复数的运算体系
1.2.1 基本定义
1.2.2 基本运算
1.2.3 共轭复数运算
1.2.4 模运算
1.3 复数应用
1.3.1 复解析几何
1.3.2 三角方程的复证明
1.3.3 复数在电学上的应用
1.3.4 复Riemann球面
第2章 复函数
2.1 复函数定义
2.2 指数函数和对数函数
2.2.1 指数函数
2.2.2 对数函数
2.3 三角函数和双曲函数
2.3.1 三角函数
2.3.2 双曲函数
2.3.3 反三角函数和反双曲函数
2.4 幂函数和根式函数
2.4.1 幂函数
2.4.2 根式函数
2.5 映射
第3章 解析函数(Ⅰ)
3.1 单连域与复连域
3.1.1 邻域
3.1.2 区域
3.1.3 单连域和多连域
3.2 复函数的极限和连续性
3.2.1 复函数极限
3.2.2 复函数的连续性
3.3 复函数导数和微分
3.3.1 复函数的导数
3.3.2 复微分
3.4 解析函数
3.5 评论
第4章 解析函数(Ⅱ)
4.1 分析方面解析函数是调和函数
4.2 几何方面解析函数满足保角映射
4.3 物理方面解析函数表示无源、无旋向量场
4.3.1 流量N
4.3.2 旋量Γ
4.3.3 解析函数
4.4 复位函数及其应用
第5章 复算子*
5.1 复算子
5.2 复算子积分定理
5.3 复偏导数
第6章 多值函数
6.1 解析开拓
6.1.1 解析开拓概念
6.1.2 幂级数开拓
6.1.3 完全解析函数
6.2 Riemann曲面
6.2.1 根式函数*的Riemann曲面
6.2.2 函数Lnz的Riemann曲面
6.2.3 完全解析函数的Riemann曲面
第二部分 复积分
第7章 复积分
7.1 复积分概念
7.2 参数方程法
7.3 积分基本性质
7.4 Cauchy-Goursat定理
7.5 复函数的自身运动
第8章 复合闭路积分
8.1 复合闭路积分
8.2 Cauchy积分
8.3 解析函数的高阶导数
8.4 最大模定理
8.5 复积分小结
8.5.1 复积分的要素是路径C和路径函数f(z)
8.5.2 复积分小结
第三部分 复级数
第9章 复幂函数
9.1 复数项级数
9.1.1 序列收敛
9.1.2 比较判别法
9.1.3 绝对收敛定理
9.2 复幂级数
9.3 收敛图和收敛半径
9.4 幂级数的收敛性质
第10章 Taylor级数和Laurent级数
10.1 Taylor级数和Laurent级数
10.2 三套点
10.3 三种展开
第四部分 留数
第11章 留数定理(Ⅰ)
11.1 孤立奇点
11.2 复函数中零点与极点之间的关系
11.3 复函数在无穷远处的性态
11.4 留数定理
第12章 留数定理(Ⅱ)
第13章 留数应用(Ⅰ)
13.1 第一类实积分∫^2π_0R(cosθ,sinθ)dθ
13.2 第二类实积分∫^∞_-∞R(x)dx
第14章 留数应用(Ⅱ)
14.1 第三类积分∫^∞_-∞R(x)e^iaxdx(a>0)
14.2 第四类实积分∫^∞_-∞R(x)dx
第15章 留数应用(Ⅲ)
15.1 指数型积分
15.2 多值函数积分
15.3 广义δ函数的复路径表示
15.3.1 亥维塞函数
15.3.2 广义δ(x)函数
第16章 对数留数
16.1 对数留数
16.2 辐角原理
16.3 Rouché(儒歇)定理
第17章 二维静场和留数定理
17.1 二维静电场的矢量理论
17.2 二维静电场的留数定理
17.3 二维稳流场的留数定理
第五部分 保角映射
第18章 保角映射
18.1 解析函数的保角特性
18.2 保角映射中电容C的不变性
第19章 初等函数映射
19.1 幂函数映射
19.2 指数函数和对数函数映射
19.3 反余弦函数映射
第20章 分式线性映射
20.1 基本映射
20.2 分式线性映射的保圆性
20.3 分式线性映射的保对称性
20.3.1 r圆周的对称点
20.3.2 对称点定理
20.4 分式线性映射的唯一性
第21章 分式映射圆变圆
21.1 圆变换定理和它的应用
21.2 圆几何理论
第22章 有源保角映射与平面镜像法
22.1 平面介质镜像统一模型
22.2 导体圆柱的有源保角映射
22.3 复杂导体柱的有源映射
第23章 保角映射和电轴法
23.1 电轴法
23.2 保角映射
第24章 Schwarz映射
24.1 Schwarz映射
24.2 两个实例
24.3 Schwarz映射的电磁应用
第25章 逆儒可夫斯基映射
25.1 逆儒可夫斯基映射
25.2 有源逆儒可夫斯基映射
25.3 无源对数逆儒可夫斯基映射
第六部分 Γ函数和Jacobi椭圆函数
第26章 Γ函数
26.1 实域中的Γ函数和B函数
26.1.1 Γ函数
26.1.2 B函数
26.1.3 Γ函数和B函数
26.2 复域中的Γ函数和B函数
26.2.1 复Γ函数
26.2.2 复B函数
第27章 Jacobi椭圆函数
27.1 椭圆积分
27.1.1 第一类和第二类完全椭圆积分
27.1.2 第一类和第二类一般椭圆积分
27.2 Jacobi椭圆函数
27.3 椭圆函数的加法公式
27.4 Jacobi复开拓
27.4.1 Jacobi虚宗量函数
27.4.2 Jacobi椭圆函数的周期性质
27.4.3 Jacobi椭圆函数复开拓
第28章 Jacobi保角映射
28.1 再谈圆函数和椭圆函数
28.2 Jacobi椭圆函数的保角映射
第29章 Jacobi滤波器
29.1 Jacobi椭圆函数的双周期
29.2 Jacobi椭圆函数逼近
29.3 Cour的分析
29.4 Jacobi逼近函数
29.5 Jacobi综合
29.6 n=3的椭圆函数滤波器设计实例
第七部分 鞍点法和驻相法
第30章 鞍点法和驻相法
30.1 鞍点法
30.1.1 鞍点法的基本概念
30.1.2 鞍点法
30.1.3 修正鞍点法
30.2 驻相法
参考文献
附录1 Euler公式
附录2 复数计算π
附录3 复梯度*S
附录4 唯一性定理
附录5 Clausen悖论
附录6 平面Green定理
附录7 关于∞远处留数的几个问题
附录8 概率积分∫^∞_oe^-x^2dx=*/2
附录9 边界角点为极点的留数作用
附录10 机翼映射
附录11 证明k=th(πw/2b)
附录12 积分∫^∞_ox^p-1/(1+x)=π/sinpπ(0
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