全书共二十章，前六章是属于基础知识，内容包括：整数分解、同余式、二次剩余、多项式之性质、素数分布概况、数论函数等；后十四章是就解析数论、代数数论、超越数论、数的几何这几个数论主要分支的基础部分加以介绍，内容包括：三角和、数的分拆、素数定理、连分数、不定方程、二元二次型、模变换、整数矩阵、p-adic数、代数数论导引、超越数、Waring问题与Prouhet-Tarry问题、数的几何等。书里引述了许多我国古代数学家在数论上的成就，也包含了许多近代数论中的重要成果，例如著者关于完整三角和及最小原根的结果、关于Prouhet-Tarry问题的结果、关于最小二次非剩余的结果、Selberg关于素数定理的初等证明，RothSiegel定理、关于Hilbert第七问题的证明、Siegel 关于二元二次型类数的定理，关于Waring问题的证明、关于问题的结果、Selberg的筛法等等；书中也包括了著者许多未经发表的结果。
本书是以深入浅出、循序渐进的笔法写成的，读者可以通过它看出如何从一个简单的概念逐步走向深刻的研究，看出具体与抽象之间的联系。
样章试读
目录
- 目录
序
符号说明
第一章 整数之分解 1
§1 整除性 1
§2 素数及复合数 2
§3 素数 3
§4 整数之模 4
§5 唯一分解定理 5
§6 最大公因数及最小公倍数 7
§7 逐步淘汰原则 8
§8 一次不定方程之解 10
§9 完全数 12
§10 Mersenne数及Fermat数 13
§11 连乘积中素因数之方次数 14
§12 整值多项式 15
§13 多项式之分解 17
第二章 同余式 20
§1 定义 20
§2 同余式之基本性质 20
§3 缩剩余系 22
§4 p2可整除2p-1-1否？ 23
§5 φ(m)之讨论 26
§6 同余方程 27
§7 孙子定理 29
§8 高次同余式 31
§9 素数乘方为模之高次同余方程 32
§10 Wolstenholme定理 33
第三章 二次剩余 35
§1 定义及Euler判别条件 35
§2 计算法则 37
§3 互逆定律 39
§4 实际算法 43
§5 二次同余式之根数 45
§6 Jacobi符号 46
§7 二项同余式 48
§8 原根及指数 50
§9 缩系之构造 51
第四章 多项式之性质 61
§1 多项式之整除性 61
§2 唯一分解定理 62
§3 同余式 64
§4 整系数多项式 66
§5 以素数为模之多项式 67
§6 若干关于分解之定理 69
§7 重模同余式 71
§8 Fermat定理之推广 72
§9 对模 p之不可化多项式 74
§10 原根 75
§11 总结 76
第五章 素数分布之概况 77
§1 无穷大之阶 77
§2 对数函数 78
§3 引言 79
§4 素数之个数无限 81
§5 几乎全部整数皆非素数 84
§6 Чебышев定理 85
§7 Bertrand 假设 87
§8 以积分来估计和之数值 90
§9 Чебышев定理之推论 93
§10 n之素因子的个数 97
§11 表素数之函数 100
§12 等差级数中之素数问题 101
第六章 数论函数 104
§1 数论函数举例 104
§2 积性函数之性质 106
§3 Mobius反转公式 107
§4 Mobius变换 109
§5 除数函数 112
§6 关于概率之二定理 114
§7 表整数为二平方之和 116
§8 分部求和法及分部积分法 121
§9 圆内整点问题 122
§10 Farey贯及其应用 125
§11 Bиноградов关于函数的分数部分和的估值定理 129
§12 Bиноградов定理对整点问题之应用 134
§13 Ω-结果 137
§14 Dirichlet级数 141
§15 Lambert级数 144
第七章 三角和及特征 146
§1 剩余系之表示法 146
§2 特征函数 148
§3 特征之分类 153
§4 特征和 155
§5 Gauss和 158
§6 特征和与三角和 164
§7 由完整和到不完整和 165
§8 特征和之应用举例 169
§9 原根之分布问题 171
§10 含多项式之三角和 174
第八章 与椭圆模函数有关的几个数论问题 179
§1 引言 179
§2 整数分拆 180
§3 Jacobi等式 181
§4 分式表示法 185
§5 分拆之图解法 187
§6 p(n)之估值 190
§7 平方和问题 195
§8 密率 200
§9 关于平方和问题之总结 205
第九章 素数定理 207
§1 引言 207
§2 Riemann ζ函数 209
§3 若干引理 211
§4 Tauber型定理 214
§5 素数定理 218
§6 Selberg渐近公式 219
§7 素数定理的初等证明 221
§8 Dirichlet定理 228
第十章 渐近法与连分数 233
§1 简单连分数 233
§2 连分数展开之唯一性 237
§3 最佳渐近分数 239
§4 Hurwitz定理 241
§5 实数之相似 243
§6 循环连分数 247
§7 Legendre之判断条件 249
§8 二次不定方程 251
§9 Pell氏方程 253
§10 Чебышев定理及Xинчин定理 255
§11 一致分布及n矰(mod 1)之一致分布性 259
§12 一致分布之判断条件 261
第十一章 不定方程 266
§1 引言 266
§2 一次不定方程 266
§3 二次不定方程 268
§4 解ax2+bxy+cy2=k 269
§5 求解方法 274
§6 商高定理之推广 277
§7 Fermat猜测 281
§8 Марков方程 283
§9 解方程x3+y3+z3+w3=0 285
§10 三次曲面之有理点 288
第十二章 二元二次型 295
§1 二元二次型之分类 295
§2 类数有限 297
§3 Kronecker符号 299
§4 二次型表整数之表法数 301
§5 二次型的mod q相似 303
§6 二次型的特征系.族 307
§7 级数K(d)之收敛性 309
§8 双曲扇形及椭圆内的整点数 311
§9 平均极限 311
§10 类数的解析表示法 314
§11 基本判别式 315
§12 类数公式 316
§13 Pell氏方程的最小解 318
§14 若干引理 321
§15 Siegel定理 323
第十三章 模变换 329
§1 复虚数平面 329
§2 线性变换之性质 330
§3 线性变换下之几何性质 332
§4 实变换 334
§5 模变换 337
§6 基域 339
§7 基域网 342
§8 模群之构造 343
§9 二次定正型 344
§10 二次不定型 345
§11 二次不定型的极小值 348
第十四章 整数矩阵及其应用 352
§1 引言 352
§2 矩阵之积 357
§3 模方阵之演出元素 363
§4 左结合 368
§5 不变因子.初等因子 369
§6 应用 372
§7 因子分解.标准素方阵 374
§8 最大公约.最小公倍 378
§9 线性模 381
第十五章 p-adic数 387
§1 引言 387
§2 赋值之定义 390
§3 赋值之分类 392
§4 亚几米得赋值 393
§5 非亚几米得赋值 394
§6 有理数之φ-扩张 397
§7 扩张之完整性 400
§8 p-adic数之表示法 402
§9 应用 405
第十六章 代数数论介绍 407
§1 代数数 407
§2 代数数域 408
§3 基底 411
§4 整底 414
§5 整除性 418
§6 理想数 421
§7 理想数的唯一分解定理 423
§8 理想数的基底 426
§9 同余关系 428
§10 素理想数 430
§11 单位数 434
§12 理想数类 435
§13 二次域与二次型 436
§14 族 441
§15 欧几里得域与单域 443
§16 判断Mersenne数是否素数之Lucas条件 445
§17 不定方程 447
§18 表 452
第十七章 代数数与超越数 469
§1 超越数之存在定理 469
§2 Liouville定理及超越数例子 471
§3 代数数的有理逼近定理 473
§4 Roth定理之应用 485
§5 Thue定理之应用 487
§6 e之超越性 490
§7 π之超越性 492
§8 Hilbert第七问题 495
§9 Γельфонд之证明 496
第十八章 Waring问题及Prouhet-Tarry问题 499
§1 引言 499
§2 g(k)及G(k)之下限 499
§3 Cauchy定理 501
§4 初等方法示例 504
§5 有正负号之较易问题 507
§6 等幂和问题 509
§7 Prouhet-Tarry问题 510
§8 续 514
第十九章 Шнирельман密率 516
§1 密率之定义及其历史 516
§2 和集及其密率 517
§3 Goldbach-Шнирелъман定理 519
§4 Selberg 不等式 520
§5 Goldbach-Шнирельман定理之证明 525
§6 Waring-Hilbert定理 528
§7 Waring-Hilbert定理的证明 530
第二十章 数的几何 534
§1 二维空间之情况 534
§2 Minkowski之基本定理 536
§3 一次线性式 538
§4 二次定正型 539
§5 线性型之乘积 541
§6 联立渐近法 543
§7 Minkowski不等式 544
§8 线性型之乘方平均值 549
§9 Чеботарев定理 551
§10 在代数数论上的应用 553
§11 |△|的极小值 555
参考文献 559
名词索引 561
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