本书系统论述了数学物理方程及其近似方法，主要内容包括：数学物理方程的基本问题、本征值问题和分离变量法的基本原理、Green 函数方法、变分近似方法、积分方程及其近似方法、微扰方法和渐近展开、数学物理方程的逆问题，以及非线性数学物理方程.
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第1章 数学物理方程的基本问题1
1.1数学物理方程的分类及一般性问题1
1.1.1基本概念：古典解、广义解和叠加原理1
1.1.2两个自变量二阶线性方程的分类和化简9
1.1.3多个自变量线性方程的分类和标准型16
1.1.4数学物理方程的一般性问题19
1.2波动方程与定解问题的适定性21
1.2.1波动方程的Cauchy问题21
1.2.2非齐次波动方程和推迟势28
1.2.3能量不等式和Cauchy问题的适定性30
1.2.4混合问题解的唯一性和稳定性33
1.2.5般双曲型方程的能量积分40
1.3 Laplace方程与Helmholtz方程43
1.3.1二个自变量的Laplace方程和Hilbert变换44
1.3.2调和函数的基本性质50
1.3.3边值问题的适定性53
1.3.4 Helmholtz方程与辐射问题55
1.3.5般椭圆型方程的积分估计59
1.4热传导方程与Schrodinger方程62
1.4.1热传导方程的Cauchy问题62
1.4.2维热传导方程的混合问题68
1.4.3色散型Schrodinger方程70
1.4.4极值原理和混合问题的适定性74
1.4.5般抛物型方程的能量积分估计78
1.4.6三类典型方程定解问题提法比较80
习题一83
第2章 本征值问题和分离变量法86
2.1 Hilbert空间及完备的正交函数集86
2.1.1 Hilbert空间和平方可积函数空间86
2.1.2完备的正交归一函数集91
2.1.3有限区间上的完备系：Legendre和Chebvshev多项式98
2.1.4单位球面上的完备系：球谐函数104
2.2微分算子的本征值问题109
2.2.1Hermite对称算子及本征值问题109
2.2.2有限个离散谱或混合谱119
2.2.3非Hermite对称算子：常微分算子124
2.2.4非Hermite对称算子：偏微分算子127
2.3 SturmLiouville系统和多项式系统133
2.3.1 SturmLiouville系统133
2.3.2 Bessel算子和Bessel方程140
2.3.3 Legendre算子和Legendre方程143
2.3.4 SL多项式系统和Laguerre多项式149
2.3.5 Hermite多项式157
2.4有界区域定解问题的分离变量法161
2.4.1波动方程的齐次混合问题161
2.4.2热传导和色散型方程的齐次混合问题166
2.4.3椭圆型方程的边值问题171
2.4.4非齐次问题的本征函数展开174
2.4.5非Hermite对称算子180
2.5正交曲线坐标系中的分离变量183
2.5.1球坐标系中的Laplace算子183
2.5.2圆锥形区域190
2.5.3量子力学中的氢原子193
2.5.4圆柱坐标系中的Laplace算子197
2.5.5柱函数：Bessel函数的几种不同形式205
2.6无穷区域的分离变量法 212
2.6.1无限大区域：波动方程的Cauchy问题 212
2.6.2半无限大区域：Laplace方程的边值问题 215
2.6.3径向无限区域、Hankel变换和平面波导221
2.6.4轴向无限区域和等截面波导229
2.6.5波动方程的非衍射解235
习题二240
第3章 Green函数方法 243
3.1广义函数及Dirac Delta函数243
3.1.1广义函数概念和运算法则243
3.1.2广义函数的导数 250
3.1.3广义函数的Fourier变换 254
3.1.4弱收敛、弱解和Dirac Delta函数序列257
3.1.5曲线坐标中的Dirac Delta函数 265
3.2二阶常微分方程的Green函数268
3.2.1Cauchy问题的Green函数268
3.2.2SL型方程的边值问题 273
3.2.3广义Green函数282
3.2.4非Hermite对称算子的边值问题 288
3.3高维边值问题的Green函数 292
3.3.1非齐次问题的积分公式 292
3.3.2 Helmholtz方程的Green函数 297
3.3.3无界空间的Green函数和基本解 301
3.3.4镜像法求边值问题的Green函数 308
3.3.5曲线坐标中的基本解 313
3.3.6运动介质中的基本解 318
3.4混合问题的含时Green函数323
3.4.1热导方程的Green函数323
3.4.2波动方程的Green函数 329
3.4.3 Cauchy问题的基本解335
3.4.4运动电荷产生的场 338
3.4.5径向无限大区域的含时Green函数 342
3.5广义Green公式及非齐次问题的积分解 344
3.5.1广义Green公式344
3.5.2三维椭圆型方程的Green函数 346
3.5.3抛物型方程的Green函数 351
3.5.4双曲型方程的Green函数358
3.5.5抛物近似的波动方程 362
习题三365
第4章 变分近似方法 368
4.1变分问题和古典法368
4.1.1泛函和泛函极值的基本概念368
4.1.2多个变量的变分问题 374
4.1.3变端点问题自然边界条件和内部边界条件381
4.1.4泛函的条件极值问题 385
4.1.5Hamilton原理与最小位能原理390
4.2变分法在边值问题中的应用393
4.2.1边值问题与变分问题的等价：正算子 393
4.2.2变分解的存在性：正定算子399
4.2.3 Ritz近似方法403
4.2.4 Galerkin法和非齐次边界问题409
4.2.5基于Galerkin法的时域问题414
4.3变分法在本征值问题中的应用415
4.3.1本征值问题与变分问题的等价415
4.3.2完备性定理的证明 421
4.3.3极值定理、本征值与区域的关系 423
4.3.4 Ritz法和Galerkin法427
4.4有限元近似方法432
4.4.1维边值问题的有限元法432
4.4.2二维边值问题的有限元法437
4.4.3基于Galerkin法的时域有限元近似444
4.4.4本征值问题的有限元近似445
4.5变分的其他近似方法447
4.5.1 Kantorovich法一447
4.5.2最速下降法与有界正定算子451
4.5.3共轭梯度法～ 455
4.5.4矩量法和本征值问题 458
习题四463
第5章 积分方程及其近似方法465
5.1积分方程的形成及分类 465
5.1.1Volterra积分方程的形成465
5.1.2Fredholm积分方程的形成470
5.1.3积分—微分方程的形成479
5.1.4非线性积分方程的形成 483
5.1.5Abel方程及第一类积分方程的不适定性讨论486
5.2第二类Fredholm积分方程的近似方法489
5.2.1第二类Fredholm方程的迭代法490
5.2.2 Banach空间中第二类Fredholm方程的迭代技术493
5.2.3可分核方程和有限秩核近似501
5.2.4矩量法和Galerkin近似512
5.2.5 Nvstrom方法515
5.2.6非线性积分方程的迭代法518
5.3平方可积函数空间中的积分方程520
5.3.1 Hermite对称的平方可积核520
5.3.2第二类Fredholm积分方程及微扰论527
5.3.3平方可积Hermite对称核的极值性质 531
5.3.4本征值问题的有限秩近似533
5.3.5般平方可积核 535
5.4 Fourier变换及其他积分变换538
5.4.1 Fourier变换及逆变换538
5.4.2分数导数和分数Laplace算子543
5.4.3分数阶Fourier变换547
5.4.4 Laplace变换和Hankel变换552
5.4.5 Hilbert变换及逆变换557
5.5边界元近似方法559
5.5.1 Kirchhoff边界积分公式559
5.5.2位势问题的边界元近似 564
5.5.3 Helmholtz方程的外边值问题567
5.5.4 时域边界元近似 571
习题五578
第6章 微扰方洼和渐近展开581
6.1本征值问题的微扰和含时微扰581
6.1.1算子本身的微扰：非简并态581
6.1.2算子本身的微扰：简并态584
6.1.3边界条件的微扰 591
6.1.4区域微扰603
6.1.5 Schrodinger方程的含时微扰607
6.2正则微扰和多尺度展开 610
6.2.1致有效展开 610
6.2.2非一致有效展开和参数变形法615
6.2.3参数变形法应用于非线性振动和波动618
6.2.4多尺度展开法 622
6.2.5均质化近似方法 627
6.3奇异微扰及边界层理论 637
6.3.1边界层理论的基本思想 637
6.3.2二阶线性方程的边值问题642
6.3.3非线性微扰引起的边界层648
6.3.4初值问题的边界层 652
6.3.5高维边值问题的边界层 658
6.4 WKB近似方法667
6.4.1 WKB近似和Liouville Green变换667
6.4.2具有转折点的本征值问题和Airy函数675
6.4.3非均匀波导中的波 682
6.4.4层状介质中高频波的传播和激发687
6.5射线近似f几何光学）方法696
6.5.1程函方程和输运方程 697
6.5.2射线管的能量守恒703
6.5.3焦散线附近的波场705
6.5.4平面层状介质中的射线706
习题六710
第7章 数学物理方程的逆问题713
7.1正则化方法和迭代技术713
7.1.1逆问题的适定性和分类713
7.1.2正则化方法和Tikhonov正则化724
7.1.3第一类Fredholm积分方程的正则化方法731
7.1.4脉冲谱迭代技术733
7.1.5最佳摄动量迭代技术735
7.2掀物型方程的逆问题738
7.2.1维逆问题和Hausdorff矩逆问题一738
7.2.2抛物型方程逆问题的脉冲谱迭代技术746
7.2.3抛物型方程逆问题的最佳摄动量法754
7.2.4光热测量中热导系数的反演758
7.2.5环境污染控制的逆源问题一763
7.3椭圆型方程的逆问题765
7.3.1 Cauchy问题的积分方程法765
7.3.2 Cauchy问题的基本解法769
7.3.3 Cauchy问题的边界元法773
7.3.4椭圆型方程的系数逆问题776
7.3.5椭圆方程的逆源问题784
7.4波动方程的逆问题786
7.4.1系数逆问题的迭代法786
7.4.2散射体的散射和Kirchhoff近似793
7.4.3散射体形状的逆散射801
7.4.4非均匀介质的散射Born近似和Rvtov近似807
7.4.5介质参数的逆散射813
7.5本征值逆问题817
7.5.1本征值的渐近特征817
7.5.2本征值逆问题的唯一性822
7.5.3热导方程系数逆问题的唯一性826
7.5.4数值方法829
7.5.5高维本征值逆问题833
习题七835
第8章 非线性数学物理方程837
8.1典型非线性方程及其行波解837
8.1.1 Burgers方程及冲击波837
8.1.2 KdV方程及孤立波 842
8.1.3非线性KleinGordon方程846
8.1.4非线性Schrodinger方程一851
8.1.5 KdVBurgers方程一854
8.2 HopfCole变换和Hirota方法859
8.2.1 Burgers方程的HopfCole变换860
8.2.2 KdV穷程的广义Hopf Cole变换865
8.2.3 KdVBurgers方程的广义HopfCole变换869
8.2.4 Hirota方法870
8.3逆散射方法和Lax理论874
8.3.1维Schrodinger方程的逆散射问题874
8.3.2解KdV方程初值问题的基本思想 883
8.3.3KdV方程初值问题的孤立子解886
8.3.4 Lax理论892
8.4 Backlund变换和非线性迭加895
8.4.1 Backlund变换的基本思想895
8.4.2 SineGordon方程的自Backlund变换896
8.4.3 KdV方程的自Backlund变换900
8.4.4非线性迭加公式903
习题八906
参考文献908
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