本书根据作者20多年来在德国和中国开设数学物理方法讲座内容及相关的研究成果提炼而成。其主要内容包括傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、数学物理方程的建立、分离变量法、本征函数法、施图姆-刘维尔理论、行波法、积分变换法、格林函数法、贝塞尔函数、勒让德多项式、量子力学薛定谔方程等。本书注重自身理论体系的科学性、严谨性、完整性与实用性,将中国传统教材讲授内容与国外先进教材相结合、教学实践与其他相关课程的需要相结合、抽象的数理概念与直观的物理实例相结合、经典的数理方法与新兴交叉学科的生长点相结合、基础的数理知识与科学前沿中的热点问题相结合。本书既可为教学所用,又可适应科研需要,同时,附有大量不同类型的综合性例题,便于不同层次读者学习掌握分析问题与解决问题的思路和方法。
本书可作为物理学、应用数学及相关理工科专业本科生与研究生的教材,也可供高等院校教师和科研院所技术人员在理论研究与实际工程中使用,或供有高等数学及普通物理学基础的自学者自修,还可供在国外研读相关专业的研究生及访问学者参考。
样章试读
目录
- 前言
第1章 基础理论知识
1.1 常微分方程模型与求解
1.2 矢量微分算子与拉普拉斯算子
1.2.1 矢量微分算子▽
1.2.2 拉普拉斯算子▽^2
第2章 傅里叶级数
2.1 周期函数的傅里叶级数
2.2 半幅傅里叶级数
2.3 傅里叶积分
第3章 傅里叶变换
3.1 傅里叶变换简介
3.1.1 傅里叶变换的定义
3.1.2 傅里叶变换的性质
3.2 δ函数
3.2.1 δ函数的定义和含义
3.2.2 δ函数的性质
3.2.3 δ函数的辅助函数
3.2.4 狄利克雷定理的证明
3.3 典型函数的傅里叶变换
3.4 傅里叶变换应用举例
第4章 拉普拉斯变换
4.1 拉普拉斯变换简介
4.1.1 拉普拉斯变换的定义
4.1.2 拉普拉斯变换的性质
4.2 典型函数的拉普拉斯变换
4.3 拉普拉斯变换应用举例
第5章 基本数学物理方程的建立
5.1 波动方程
5.1.1 弦振动问题
5.1.2 强迫振动与阻尼振动
5.1.3 高频传输线问题
5.2 热传导方程
5.3 拉普拉斯方程
5.4 二阶偏微分方程
5.4.1 分类与标准形式
5.4.2 常系数方程
5.5 定解问题
5.5.1 一个例子
5.5.2 泛定方程与叠加原理
5.5.3 初始条件与边界条件
5.5.4 几个典型的定解问题
第6章 分离变量法
6.1 弦振动问题
6.1.1 弦振动问题的求解
6.1.2 解的物理意义及驻波条件
6.2 基本定解问题
6.3 二维泛定方程的定解问题
6.3.1 二维波动方程
6.3.2 二维热传导方程
6.4 第三类边界条件下的定解问题
6.4.1 本征函数的正交性
6.4.2 热辐射定解问题
第7章 分离变量法的应用
7.1 热吸收定解问题
7.1.1 吸收-耗散系统
7.1.2 吸收-绝热系统
7.2 综合热传导定解问题
7.2.1 对称边界条件
7.2.2 反对称边界条件
7.3 拉普拉斯方程的求解
7.3.1 直角坐标系的拉普拉斯方程
7.3.2 极坐标系的拉普拉斯方程
第8章 本征函数法
8.1 本征函数法的引入
8.2 非齐次方程的解法
8.2.1 一分为二法
8.2.2 合二为一法
8.3 有源热传导定解问题
8.3.1 绝热系统
8.3.2 绝热-耗散系统
8.3.3 绝热-辐射系统
8.3.4 吸收-耗散系统
8.4 泊松方程的定解问题
8.5 非齐次边界条件的处理
8.6 综合定解问题的求解
第9章 施图姆-刘维尔理论及应用
9.1 施图姆-刘维尔本征值问题
9.2 施图姆-刘维尔理论的应用:吊摆问题
9.3 厄米算符本征函数的正交性
第10章 行波法
10.1 一维波动方程的通解
10.2 一维波动方程的达朗贝尔公式
10.2.1 达朗贝尔公式的推导
10.2.2 达朗贝尔公式的讨论
10.3 双曲型方程的定解问题
10.4 一阶线性偏微分方程的特征线法
10.5 非齐次波动方程:齐次化原理
10.6 三维波动方程
10.6.1 三维波动方程的球对称解
10.6.2 三维波动方程的泊松公式
10.6.3 泊松公式的物理意义
10.7 旁轴波动方程:格林算子法
10.7.1 旁轴波动方程的解
10.7.2 光学元件与光学系统的格林算子
10.7.3 格林算子法的应用
10.8 非线性波动方程:光学孤立子
第11章 积分变换法
11.1 傅里叶变换法
11.1.1 热传导问题与高斯核
11.1.2 傅里叶变换法的应用
11.2 拉普拉斯变换法
11.3 联合变换法
11.3.1 对流热传导问题
11.3.2 线性衰变的影响
11.3.3 有源热传导问题
11.3.4 非齐次波动方程问题
11.3.5 无边界电报方程问题
11.4 半导体载流子的输运方程
第12章 格林函数法
12.1 无界域的格林函数
12.2 三维波动方程问题
12.3 一维有界热传导问题
12.4 格林公式
12.4.1 格林定理
12.4.2 散度定理
12.4.3 格林公式
12.5 拉普拉斯方程和泊松方程
12.5.1 拉普拉斯方程的基本解
12.5.2 泊松方程的基本积分公式
12.5.3 泊松方程的边值问题
12.6 格林函数法的应用:电像法
12.7 第二、第三类边值问题的格林函数
12.7.1 第二类边值问题的格林函数
12.7.2 第三类边值问题的格林函数
12.8 非线性问题的格林函数解法
第13章 贝塞尔函数
13.1 几个微分方程的引入
13.2 伽马函数的基本知识
13.3 贝塞尔方程的求解
13.3.1 贝塞尔方程的广义幂级数解
13.3.2 第一类贝塞尔函数
13.3.3 贝塞尔方程的通解
13.4 贝塞尔函数的基本性质
13.4.1 生成函数
13.4.2 递推公式
13.4.3 积分表示
13.4.4 渐近公式
13.5 贝塞尔函数的正交完备性
13.5.1 正交函数集的构造
13.5.2 参数形式的贝塞尔函数
13.5.3 贝塞尔函数的正交性
13.5.4 贝塞尔函数的完备性
13.6 贝塞尔函数应用举例
13.7 球贝塞尔函数
第14章 勒让德多项式
14.1 勒让德方程的引入
14.2 勒让德多项式
14.3 勒让德多项式的基本性质
14.3.1 微分表示
14.3.2 积分表示
14.3.3 生成函数
14.3.4 递推公式
14.3.5 例题
14.4 勒让德多项式的正交完备性
14.4.1 正交性
14.4.2 模值
14.4.3 完备性
14.4.4 例题
14.5 勒让德多项式应用举例
第15章 量子力学薛定谔方程
15.1 薛定谔方程的一般解
15.2 角向解:球谐函数
15.2.1 中心力场
15.2.2 连带勒让德函数
15.2.3 连带勒让德函数的性质
15.2.4 球谐函数
15.2.5 球谐函数的性质
15.3 径向解:广义拉盖尔多项式
15.3.1 库仑场中的束缚态
15.3.2 广义拉盖尔多项式
15.3.3 径向概率密度
15.4 量子谐振子与厄米多项式
15.4.1 量子谐振子
15.4.2 厄米多项式
15.4.3 系统的含时解
15.4.4 概率密度
索引
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