本书介绍与大学数学基础课程 (高等数学、数学分析和常微分方程, 也包括一小部分线性代数) 相关的应用问题, 主要是这些课程在数学和物理中的应用, 希望能通过这些应用问题提高学生学习大学数学课程的积极性。本书中的应用问题有一部分很简短, 可作为简单的阅读材料, 也有一些有相当难度, 可作为探索内容。
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“大学数学科学丛书”序
前言
第1章 一元函数的导数 1
1.1 直接求导 1
1.1.1 极坐标和球坐标中质点的动能 1
1.1.2 平面旋转坐标系中的惯性力 2
1.2 Taylor公式与近似计算 5
1.2.1 位于地球表面的物体的重力势能 5
1.2.2 黑体辐射公式的低频和高频近似 6
1.2.3 狭义相对论的质能关系式 6
1.2.4 氢原子能级的精细结构 7
1.2.5 潮汐 9
1.3 单调性与最大最小值 13
1.3.1 抛体的最远距离 13
1.3.2 Wien位移定律 15
1.3.3 光的折射与Fermat原理 15
1.3.4 蜂巢的边界 17
1.3.5 实系数一元三次方程的实根个数 18
1.3.6 Young不等式、H.lder不等式和Minkowski不等式 19
1.3.7 Lagrange点 22
1.4 凸性 27
1.4.1 Jensen 不等式 27
1.4.2 平均值不等式 28
第2章 一元函数的积分 32
2.1 直接积分 32
2.1.1 旋转杯子中的水面 32
2.1.2 Buffon投针问题 33
2.2 微元法 34
2.2.1 绕在杆上的绳子 34
2.2.2 Poiseuille公式 35
2.2.3 火箭 36
2.3 平均 37
2.3.1 杆秤 37
2.3.2 水闸上压力的力矩 38
2.3.3 引力 39
2.3.4 交流电的平均 39
第3章 常微分方程 42
3.1 一阶常微分方程 42
3.1.1 有阻力时的抛体 42
3.1.2 单摆 43
3.1.3 悬链线 45
3.1.4 最速曲线 46
3.2 二阶线性常微分方程 49
3.2.1 带阻尼的受迫振动 49
3.2.2 电路中的初始条件 52
3.3 二阶非线性常微分方程及方程组 53
3.3.1 以恒力拉起链条 53
3.3.2 二体问题 54
3.3.3 过山车的轨道 58
第4章 多元函数的微积分 63
4.1 多元函数的微分 63
4.1.1 三角形的Fermat点 63
4.1.2 最小二乘法 66
4.1.3 定压热容量与定容热容量之差.68
4.1.4 平衡态熵极大的推论 70
4.2 重积分 73
4.2.1 均匀球体产生的引力 73
4.2.2 均匀圆盘产生的引力 74
4.3 曲线积分、曲面积分与向量分析 75
4.3.1 极坐标下的梯度和散度 77
4.3.2 Archimedes定律 79
4.3.3 Maxwell方程组 81
4.3.4 Maxwell方程组的微分形式表示 84
第5章 级数与Fourier变换 89
5.1 函数项级数 89
5.1.1 Kepler第三定律推导中的一个积分 89
5.1.2 Stefan-Boltzmann定律 90
5.2 幂级数 92
5.2.1 Fibonacci数列 92
5.2.2 Catalan数 94
5.2.3 Legendre方程的解的收敛域 97
5.2.4 指数函数和三角函数的定义 100
5.3 Fourier级数 103
5.3.1 Gibbs现象 103
5.3.2 正弦级数和余弦级数 105
5.3.3 调幅波的Fourier级数 107
5.3.4 调频波的Fourier级数 109
5.4 Fourier变换 111
5.4.1 一个近似周期函数的Fourier变换 112
5.4.2 光栅的Fraunhofer衍射 113
5.4.3 一维热传导方程的求解 116
5.4.4 Heisenberg不确定性原理 117
5.4.5 圆孔的Fraunhofer衍射 119
5.5 离散Fourier变换 121
5.5.1 超长整数的乘法 122
5.5.2 一个近似周期函数的离散Fourier变换 123
第6章 线性代数 126
6.1 线性代数方程组 126
6.1.1 Thevenin定理 126
6.1.2 纯电阻电路中增加电阻 128
6.2 矩阵及其特征值 133
6.2.1 振动系统 133
6.2.2 三阶旋转矩阵的特征值和特征向量 134
6.2.3 角速度和旋转坐标系中的惯性力 135
第7章 变分法及其相关问题 138
7.1 变分法 138
7.1.1 球面上的测地线 140
7.1.2 最速曲线 141
7.1.3 地球表面两点间的最速曲线 143
7.2 与摆线相关的一个积分方程 147
7.2.1 等时摆I 147
7.2.2 等时摆II 149
参考文献 152
附录 A复数的指数形式 153
附录B 电容和电感 155
B.1 电容 155
B.2 电感 155
B.3 容抗和感抗 156
附录C 二极管 160
索引 162
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