本书是大学几何学的基础课程教材，是作者在北京理工大学数学系讲授解析几何课程的讲稿基础上编写而成的。它的内容既包含传统解析几何的基本内容和方法，也包含经典几何学的初步内容。传统解析几何的主要内容包含：仿射空间与向量代数，仿射坐标系，空间中平面和直线，空间中的旋转面、柱面和锥面，二次曲线和二次曲面的方程化简，二次曲面的圆纹性和直纹性等。经典几何学的初步内容主要包含：欧氏几何、仿射几何和射影几何。欧氏几何主要介绍二维和三维空间中的欧氏几何，相应的仿射几何主要介绍二维和三维空间中的仿射几何。而射影几何主要介绍二维射影平面上的射影几何。为了内容完备性和概念上的统一，本书将所需要的代数内容作为补充放在相应的章节后，便于没有学习过相应代数知识的读者查阅。本书突出几何学的直观性，强调形与数的结合，既有代数推导又有几何直观，且配有大量的例子和习题。
样章试读
目录
- 目录
前言
第1章 仿射空间与向量代数 1
1.1 仿射空间与欧氏空间 1
1.1.1 现实空间几何结构的代数化 1
1.1.2 空间中直线和平面的几何结构的代数化 5
1.1.3 n维仿射空间与欧氏空间 9
1.1.4 三维欧氏空间 12
1.1.5 空间中仿射坐标系及其几何应用 16
习题1.1 24
1.2 空间中向量的外积、混合积和二重外积 27
1.2.1 向量的外积 27
1.2.2 向量的混合积和二重外积 31
习题1.2 37
1.3 映射与关系 38
1.3.1 集合间的映射 38
1.3.2 等价关系与集合分类 42
习题1.3 43
1.4代数补充：矩阵、行列式与向量空间 44
1.4.1 矩阵及其运算 44
1.4.2 行列式 48
1.4.3 向量空间 50
1.4.4 欧氏向量空间 54
第2章 图形的方程 58
2.1 图形的一般方程与参数方程 58
2.1.1 图形的一般方程 58
2.1.2 图形的参数方程 60
习题2.1 63
2.2 空间中平面的方程 64
2.2.1 平面的方程 64
2.2.2 平面间的位置关系 68
习题2.2 71
2.3 空间中直线的方程及其位置关系 72
2.3.1 直线的方程 72
2.3.2 直线、平面间的位置关系 77
2.3.3 平面、直线间的距离与夹角 81
2.3.4 空间中关于直线或平面的反射变换 88
习题2.3 92
2.4 空间中球面与圆的方程及其反演 95
2.4.1 球面的方程与空间中的反演变换 95
2.4.2 圆的方程与平面上的反演变换 102
习题2.4 105
2.5 空间中旋转面、柱面和锥面的方程 107
2.5.1 旋转面的方程 107
2.5.2 直线为母线的旋转面 113
2.5.3 柱面的方程 116
2.5.4 锥面的方程 119
2.5.5 圆纹面和直纹面 123
习题2.5 124
2.6代数补充：线性方程组 128
第3章 坐标变换与图形方程的化简 132
3.1 仿射坐标系的变换与代数曲面.132
3.1.1 空间和平面中仿射坐标系的变换 132
3.1.2 在坐标系的变换下图形方程的变换 137
3.1.3 代数曲面与代数曲线 143
习题3.1 145
3.2 平面上二次曲线方程的化简 147
3.2.1 平面上直角坐标系的平移和旋转变换 147
3.2.2 平面直角坐标系变换化简二次曲线方程 150
3.2.3 平面上仿射坐标系变换化简二次曲线方程 153
3.2.4 二次曲线的不变量及其方程的化简 156
习题3.2 163
3.3 二次曲面方程的化简165
3.3.1 空间中直角坐标系的变换.165
3.3.2 直角坐标变换化简二次曲面方程 173
3.3.3 空间仿射坐标变换化简二次曲面方程 177
3.3.4 二次曲面的不变量及其方程的简化 179
习题3.3 182
3.4代数补充：向量空间中基变换和二次型 185
3.4.1 向量空间中基的变换与向量坐标变换公式 185
3.4.2 实二次型 188
第4章 二次曲线和二次曲面的几何性质 194
4.1 二次曲线的几何性质194
4.1.1 平面上二次曲线与直线的位置关系 194
4.1.2 二次曲线的仿射特征 196
4.1.3 二次曲线的度量特征 206
习题4.1 213
4.2 二次曲面的图形 217
4.2.1 二次曲面的大致图形 217
4.2.2 二次曲面的圆纹性 230
4.2.3 二次曲面的直纹性 240
习题4.2 248
4.3 二次曲面的几何性质252
4.3.1 二次曲面的仿射特征 252
4.3.2 二次曲面的度量特征 262
习题4.3 265
第5章 欧氏几何和仿射几何初步 270
5.1 空间中的仿射变换群和等距变换群 270
5.1.1 空间和平面上的变换群 270
5.1.2 等距变换群 274
5.1.3 仿射变换群 276
习题5.1 280
5.2 仿射（等距）变换的基本定理 283
5.2.1 仿射变换和等距变换的决定的向量变换 283
5.2.2 仿射变换和等距变换的基本定理 288
5.2.3 仿射变换和等距变换的分解.291
5.2.4 仿射变换的变积系数 294
习题5.2 295
5.3 欧氏几何和仿射几何298
5.3.1 欧氏几何简介 298
5.3.2 仿射几何简介 301
5.3.3 仿射映射与等距映射 303
习题5.3 305
5.4 变换的坐标解析式 306
5.4.1 仿射变换和等距变换的坐标解析式 306
5.4.2 图形在仿射变换下像的方程 313
5.4.3 仿射变换的变换矩阵的性质.317
习题5.4 322
5.5对称、线性变换和群的基本概念 326
5.5.1 图形的对称与变换群的轨道 326
5.5.2 向量空间中的线性变换 329
5.5.3 群与子群的简介 335
第6章 射影几何初步 337
6.1 射影平面与射影变换群 337
6.1.1 射影平面 337
6.1.2 射影变换群 341
习题6.1 346
6.2 射影坐标 348
6.2.1 射影坐标系 348
6.2.2 射影坐标变换 354
习题6.2 357
6.3 射影映射和射影变换的基本定理 359
6.3.1 射影映射的基本定理 359
6.3.2 射影变换基本定理和变换公式 364
6.3.3 交比 368
6.3.4 调和点列和调和线束 374
6.3.5 对偶原理 376
习题6.3 377
6.4 二维射影几何与二次曲线 381
6.4.1 二维射影几何学简介 381
6.4.2 二次曲线的切线 386
6.4.3 共轭与配极映射 388
6.4.4 几个重要定理 392
习题6.4 395
6.5 高维射影几何学简介 397
参考文献 404
京公网安备 11010102004214号