本书以较简明的方式介绍人工智能算法在数值求解复杂系统中的基本方法及最新进展。首先从人工智能与机器学习的基础算法开始讲解，包括最基础的反向传播神经网络模型和一些经典的机器学习算法的基础及其原理。然后从一阶常微分方程初值问题引入，分别介绍常微分方程、偏微分方程以及积分微分方程数值求解的经典算法。随后分别研究反向传播神经网络、极限学习机算法、最小二乘支持向量机算法以及深度学习算法如何用于数值求解复杂系统中的微分方程。相较于经典的基于迭代算法的微分方程数值计算方法，这些基于人工智能与深度学习的计算方法可以更加高效且更加准确地得到复杂系统的数值解。
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“新一代人工智能理论、技术及应用丛书”序
序
前言
第1章 引言 1
1.1 人工智能发展趋势 1
1.2 复杂系统的数学模型 2
第2章 人工智能与机器学习算法基础 8
2.1 BP神经网络算法 8
2.2 极限学习机 12
2.3 支持向量机 15
2.4 深度学习算法 23
2.5 其他机器学习 27
2.5.1 决策树 27
2.5.2 贝叶斯分类 31
2.5.3 集成学习 33
第3章 复杂系统数值求解经典算法 36
3.1 一阶常微分方程初值求解方法 36
3.1.1 一阶常微分方程初值问题 36
3.1.2 欧拉法 37
3.1.3 线性多步法 42
3.1.4 Runge-Kutta法 52
3.2 偏微分方程经典数值解法 56
3.2.1 椭圆型方程 57
3.2.2 抛物型方程 65
3.2.3 双曲型方程 66
3.3 积分微分方程经典数值解法 70
第4章 BP算法在数值求解复杂系统中的应用 75
4.1 基于Sigmoid神经网络的常微分方程求解方法 75
4.1.1 神经网络结构 75
4.1.2 一阶常微分方程初值问题 75
4.1.3 二阶非线性常微分方程初值问题 77
4.2 基于Chebyshev神经网络的常微分方程求解方法 78
4.2.1 神经网络结构 78
4.2.2 微分方程求解模型 78
4.3 基于Legendre神经网络的常微分方程求解方法 80
4.3.1 神经网络结构 80
4.3.2 微分方程求解模型 80
4.4 基于正交多项式神经网络的常微分方程求解方法 82
4.4.1 神经网络结构 82
4.4.2 微分方程求解模型 83
第5章 ELM算法在数值求解复杂系统中的应用 85
5.1 基于Legendre神经网络和IELM算法的常微分方程数值解法 85
5.1.1 引言 85
5.1.2 问题描述 86
5.1.3 基于Legendre神经网络的逼近和ODE问题数值解法 88
5.1.4 IELM算法 90
5.1.5 收敛性分析 91
5.1.6 数值结果及比较分析 92
5.1.7 小结 104
5.2 基于分块三角基函数神经网络和IELM算法的偏微分方程数值解法 105
5.2.1 引言 105
5.2.2 问题表述 106
5.2.3 求解PDE的分块三角基函数神经网络方法 107
5.2.4 IELM算法 111
5.2.5 收敛性分析 112
5.2.6 数值实验与比较分析 113
5.2.7 小结 125
5.3 基于分块Legendre神经网络和IELM算法的Emden-Fowler方程数值解法 125
5.3.1 引言 125
5.3.2 分块Legendre基函数神经网络模型 126
5.3.3 IELM算法 129
5.3.4 收敛性分析 131
5.3.5 数值结果与比较研究 132
5.3.6 小结 141
5.4 基于三角基函数神经网络和IELM算法的无损双导体传输线方程数值解法 142
5.4.1 引言 142
5.4.2 无损双导体传输线方程 143
5.4.3 微分方程的神经网络方法 143
5.4.4 无损双导体传输线方程的神经网络方法 144
5.4.5 数值实验 149
5.4.6 小结 152
5.5 基于三角基函数和 ELM 的神经网络算法在线性积分方程中的应用 152
5.5.1 引言 152
5.5.2 基于三角基函数和ELM的神经网络算法在线性Volterra/Fredholm积分方程中的应用 153
5.5.3 基于三角基函数和 ELM 的神经网络算法在 Volterra-Fredholm 积分方程中的应用 156
5.5.4 基于三角基函数神经网络算法求解线性积分方程的步骤及其结构 157
5.5.5 数值模拟 158
5.5.6 小结 164
5.6 Legendre 神经网络ELM算法在线性Fredholm积分微分方程中的应用 165
5.6.1 引言 165
5.6.2 单隐含层 Legendre 神经网络模型的结构 165
5.6.3 基于 Legendre 神经网络算法的线性 Fredholm 积分微分方程的初值问题研究 167
5.6.4 基于 Legendre 神经网络算法的线性 Fredholm 积分微分方程的边值问题研究 168
5.6.5 数值模拟 169
5.6.6 小结 175
5.7 基于 Legendre 多项式和ELM的神经网络算法的破产概率数值解法研究 176
5.7.1 引言 176
5.7.2 经典风险模型中破产概率的数值解法 176
5.7.3 Erlang(2)风险模型中破产概率的数值解法 179
5.7.4 小结 186
5.8 基于Bernstein神经网络求解微分方程 186
5.8.1 Bernstein神经网络 187
5.8.2 神经网络模型求解微分方程 188
5.8.3 基于 Bernstein神经网络和ELM求解微分方程的算法 190
5.8.4 数值实验与对比验证 191
5.8.5 小结 201
第6章 LS-SVM算法在数值求解复杂系统中的应用 202
6.1 LS-SVM在一类高阶非线性微分方程的初边值问题中的应用 202
6.1.1 引言 202
6.1.2 最小二乘支持向量机在二阶非线性常微分方程的初边值问题中的应用 203
6.1.3 最小二乘支持向量机在M阶非线性常微分方程的初值问题中的应用 208
6.1.4 数值模拟 210
6.1.5 小结 219
6.2 LS-SVM在高阶常微分方程的两点和多点边值问题中的应用 219
6.2.1 引言 219
6.2.2 最小二乘支持向量机在高阶微分方程的两点边值问题中的应用 220
6.2.3 最小二乘支持向量机在高阶微分方程的多点边值问题中的应用 226
6.2.4 数值模拟 232
6.2.5 小结 239
6.3 基于LS-SVM求解积分方程 239
6.3.1 积分方程的分类 239
6.3.2 线性积分方程数值解的LS-SVM模型 240
6.3.3 数值实验与对比验证 246
6.3.4 小结 257
第7章 深度学习算法在数值求解复杂系统中的应用 258
7.1 基于深度学习算法的带有任意矩形边界条件的偏微分方程求解 258
7.1.1 引言 258
7.1.2 基于人工神经网络求解偏微分方程 260
7.1.3 基于深度学习方法求解偏微分方程 262
7.1.4 数值结果与讨论 266
7.1.5 结论与未来的工作 274
7.2 应用深度学习求解Lane-Emden方程 274
7.2.1 引言 274
7.2.2 使用人工神经网络求解Lane-Emden方程 275
7.2.3 深度学习算法 276
7.2.4 实验 277
7.2.5 总结 281
7.3 基于深度学习的高维偏微分方程的数值解 282
7.3.1 引言 282
7.3.2 材料和方法 283
7.3.3 模型的网络架构 285
7.3.4 数值实验 289
7.3.5 总结与未来工作 295
第8章 展望 296
参考文献 298
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