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内容简介
本书是当今国际上最具名望的概率论大师J.L.Doob的杰作，是一部内容极丰富、水平非常高的著作．
概率论与分析数学相互渗透是近代概率论发展的重要特征．本书叙述了位势理论和概率论之间的联系，详细地介绍了Laplace方程的位势与现代鞅论的关系，Dirichlet问题与布朗运动的关系，Martin边界理论、容度理论等．本书的翻译出版将会对我国概率论研究起着一定的推动作用．
目录
- 序
记号和约定
第1部分 经典位势理论和抛物型位势理论
第Ⅰ章 经典位势理论数学背景的介绍
1．Green公式
2．函数平均
3．调和函数
4．调和函数的最大最小值定理
5．RN中的基本核和它的位势
6．Gauss积分定理
7．位势的光滑性；Poisson方程
8．调和测度和Riesz分解
第Ⅱ章 调和、次调和与上调和函数的基本性质
1．球的Green函数；Poisson积分
2．Harnack不等式
3．调和函数有向集的收敛性
4．调和、次调和与上调和函数
5．上调和函数的最小值定理
6．运算τB的应用
7．用调和函数刻画上调和函数
8．可微分上调和函数
9．Jensen不等式的应用
10．圆环上的上调和函数
11．例
12．Kelvin变换（N≥2）
13．Green集
14．球B上的调和函数类L1（μB-）和D（μB-），Riesz-Herglotz定理
15．Fatou边界极限定理
16．最小调和函数
第Ⅲ章 上调和函数族的下确界
1．最小上调和强函数（LM）和最大次调和弱函数（GM）
2．定理1的一般化
3．基本收敛定理（初步）
4．约化运算
5．约化性质
6．紧集上约化的一个最小性质
7．正上调和函数的自然（逐点）序分解
第Ⅳ章 特殊开集上的位势
1．特殊开集及其上的位势
2．例
3．位势的一个基本最小性质
4．递增的位势列
5．位势的光滑
6．确定位势的测度的唯一性
7．与一个上调和函数相伴的Riesz测度
8．Riesz分解定理
9．R2上的上调和函数Riesz分解的补充
10．一个逼近定理
第Ⅴ章 极集及其应用
1．定义
2．和一个极集相伴的上调和函数
3．极集的可数并
4．极集的性质
5．上调和函数的扩张
6．R2中的Green集作为非极集的补集
7．上调和函数最小值定理（定理Ⅱ.5的推广）
8．Evans-Vasilesco定理
9．用连续位势逼近位势
10．控制原理
11．位势的无穷集和Riesz测度
第Ⅵ章 基本收敛定理及约化运算
1．基本收敛定理
2．内极集与极集
3．约化运算的性质
4．约化性质的证明
5．约化和容度
第Ⅶ章 Green函数
1．Green函数GD的定义
2．GD的极值性质
3．GD的有界性质
4．GD的进一步性质
5．测度μ的位势GDμ
6．递增开集列及其对应的Green函数列
7．GD的存在性与D的Green特性
8．从特殊集到Green集
9．逼近引理
10．作为最小调和函数的函数GD（·，ζ）|D-{ζ}
第Ⅷ章 关于相对调和函数的Dirichlet问题
1．相对调和、上调和与次调和函数
2．PWB方法
3．例
4．Euclid边界上的连续边界函数（h≡1）
5．h-调和测度零集
6．PWBh解的性质
7．第6节的证明
8．h-调和测度
9．h-可解边界
10．约化与Dirichlet解的关系
11．算子#的推广及应用于GMh
12．壁
13．h-壁与边界点 h-规则性
14．壁与Euclid边界点的规则性
15．规则性的几何意义（Euclid边界，h≡1）
16．第13节的继续
17．作为D的函数的h-调和测度#
18．GD的扩张#及当D#B时的调和平均μD（ξ，#（η，·））
19．D＝R2时第18节的变动
20．ФD作为具有极点∞的Green函数的解释（N＝2）
21．算子τB的变式
第Ⅸ章 格与相关的函数类
1．引言
2．h-次调和函数u的#
3．类D（#）
4．类Lp（#）（P≥1）
5．格（S±，≤）和（S＋，≤）
6．向量格（S，#）
7．向量格Sm
8．向量格Sp
9．向量格Sqb
10．向量格Ss
11．Riesz分解的一个细化
12．球上的h-调和函数格
第Ⅹ章 扫除运算
1．有关扫除的概念和术语
2．调和测度与扫除核的关系
3．扫除对称性定理
4．#的核性质
5．扫除测度与函数
6．#的一些性质
7．正调和函数的极点
8．极集上的相对调和测度
第ⅩⅠ章 细拓扑
1．定义与基本性质
2．薄性判别准则
3．ξ∈Af的条件
4．内极限定理
5．细拓扑到RNU{∞}上的扩张
6．RN的子集的细拓扑导集
7．应用于基本收敛定理和约化
8．细拓扑极限和Euclid拓扑极限
9．细拓扑极限和Euclid拓扑极限（续）
10．用特殊函数u#识别Af
11．拟Lindel#f性
12．用细拓扑表示的规则性
13．Green集在其Euclid边界集的薄性
14．扫除测度的支集
15．#A的刻画
16．一个特殊约化
17．上调和函数常值集的细内部
18．扫除测度的支集（第14节的续）
19．细开集上的上调和函数
20．一个广义约化
21．上调和函数在其定义域上非规则边界点处的极限
22．极限调和测度fμD
23．控制原理的推广
第ⅩⅡ章 Martin边界
1．动机的形成
2．Martin函数
3．Martin空间
4．正调和函数及其约化的初步表示
5．最小调和函数及其极点
6．引理4的推广
7．非最小Martin边界点集
8．最小Martin边界点集上的约化
9．Martin表示
10．Martin边界的可解性
11．Martin边界点处的极小薄性
12．极小细拓扑
13．定理Ⅺ.4（c）与（d）的第一个Martin边界对应结果
14．定理Ⅺ.4（c）的第二个Martin边界对应结果
15．最小Martin边界点上的极小细拓扑极限与Martin拓扑极限
16．最小Martin边界点上的极小细拓扑极限与Martin拓扑极限（续）
17．极小细Martin边界极限函数
18．位势的细边界函数
19．Martin空间的Fatou边界极限定理
20．关于RN中-球上的相对上调和函数的经典边界极限定理与极小细拓扑边界极限定理
21．在半空间边界的非切线方向极限与极小细极限
22．半空间的法向边界极限
23．半空间上的位势的边界极限函数（极小细与法向的）
第ⅩⅢ章 经典能量和容度
1．物理背景
2．测度及其能量
3．负荷及其能量
4．位势不等式及对应的能量不等式
5．函数D#GDμ
6．能量的经典赋值；Hilbert空间方法
7．能量泛函（关于RN的任一Green子集D）
8．定理7（b﹢）的另一证明
9．引理4的加强
10．经典容度函数
11．内容度和外容度（第10节的记号）
12．平衡位势的极值性质特征表示（第10节的记号）
13．C（A）的表达式
14．Gauss极小问题及其与约化的关系
15．C*对D的依赖
16．与R2相关的能量
17．Wiener薄性判别准则
18．Robin常数及与R2相关的平衡测度（N＝2）
第ⅩⅣ章 一维位势理论
1．引言
2．调和、上调和与次调和函数
3．收敛定理
4．上调和函数和次调和函数的光滑性质
5．Dirichlet问题（Euclid边界）
6．Green函数
7．测度的位势
8．定义位势的测度的识别
9．Riesz分解
10．Martin边界
第ⅩⅤ章 抛物型位势理论：基本事实
1．约定
2．抛物型算子与共抛物型算子
3．共抛物型多项式
4．#N上的抛物型Green函数
5．抛物型函数的最大最小值定理
6．Green定理的应用
7．光滑区域的抛物型Green函数；Riesz分解与抛物型测度（形式的处理）
8．区间上的Green函数
9．区间的抛物型测度
10．抛物型平均
11．抛物型情形的Harnack定理
12．上抛物型函数
13．上抛物型函数最小值定理
14．运算#与上抛物型函数平均性质的解释
15．柱体上的上抛物型函数与抛物型函数
16．Appell变换
17．定义于柱体上的抛物型函数的扩张
第ⅩⅥ章 平板上的次抛物型、上抛物型与抛物型函数
1．平板上的抛物型Poisson积分
2．广义上抛物型函数不等式
3．次抛物型函数上确界准则
4．正抛物型函数恒等于零的一个边界极限准则
5．正抛物型函数可用Poisson积分表示的条件
6．平板上的抛物型函数类L1（#-）
7．抛物型边界极限定理
8．平板上的最小抛物型函数
第ⅩⅦ章 抛物型位势理论（续）
1．最大弱函数与最小强函数
2．抛物型基本收敛定理（初步的描述）与约化运算
3．抛物型情形的约化运算
4．抛物型Green函数
5．位势
6．位势的光滑性
7．Riesz分解定理
8．抛物型极集
9．抛物型细拓扑
10．半极集
11．约化性质的初步列举
12．抛物型薄性准则
13．抛物型基本收敛定理
14．基本收敛定理在约化和Green函数上的应用
15．基本收敛定理在抛物型细拓扑上的应用
16．抛物型约化性质
17．16节中约化性质的证明
18．经典Green函数用抛物型Green函数的表示（N≥1）
19．拟Lindel#f性
第ⅩⅧ章 抛物型Dirichlet问题、扫除及例外集
1．抛物型情形的相对化与PWB方法
2．#-抛物型测度
3．抛物型壁
4．经典Dirichlet问题和抛物型Dirichlet问题之间的关系
5．抛物型情形的经典约化
6．边界点的抛物型规则性
7．用细拓扑描述规则性
8．抛物型情形的扫除
9．#的扩张#与#时的抛物型平均#（#，#（·，#））
10．#∈#pf的条件
11．抛物型极集与共抛物型极集
12．抛物型半极集与共抛物型半极集
13．扫除测度的支集
14．一个内极限定理；上抛物型函数的共抛物型细拓扑光滑性
15．应用于平板上抛物型情形的Fatou边界极限定理的描述
16．抛物型情形的控制原理
17．上抛物型函数在其定义域的抛物型非规则边界点的极限
18．Martin平坦点集对
19．抛物型情形的格与相关函数类
第ⅩⅨ章 抛物型情形的Martin边界
1．引言
2．Martin点集和测度集对的Martin函数
3．Martin空间#M
4．抛物型情形Martin表示定理的预备
5．最小抛物型函数及其极点
6．非最小Martin边界点集
7．抛物型情形的Martin表示
8．平板#＝#N×]0，δ[，0＜δ≤±∞，的Martin边界
9．#N的下半空间与#N的Martin边界
10．#＝]0，＋∞[×]-∞，δ[的Martin边界
11．#M上的#WB#解
12．抛物型情形的极小细拓扑
13．定理ⅩⅧ．14（f）的边界对应物
14．#M#上位势消失为0
15．Martin空间上的抛物型Fatou边界极限定理
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