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内容简介
本书是为物理学家写的一本微分几何．前三章分别介绍了流形上三种最重要的微分算子：外微分、Lie导数与协变微分；第四章为流形引入度规：从第五章开始着重分析流形的大范围整体拓扑性质，并介绍同伦、同调、流形的复结构；第八、九、十章介绍纤维丛、丛上联络、示性类，并在第十一章以杨-Mills理论为例进行了深入分析；最后三章介绍A-8指数定理、族指标定理，并以量子场论反常的拓扑分析为例，深入分析了量子场论的大范围拓扑性质、各级拓扑障碍、背景场的拓扑性质、谱流与分数荷等现代理论物理前沿问题．
本书适合大学物理系研究生以及从事理论物理的科技工作者阅读．
目录
- 第一章 流形，微分流形与微分形式
§1.1 流形，流形的拓扑结构
§1.2 微分流形，流形的微分结构
§1.3 切空间与切向量场
§1.4 余切空间与余切向量场
§1.5 多线性代数与高阶张量场
§1.6 微分形式与Cartan外代数
§1.7 外微分
§1.8 流形的定向，流形上积分与Stokes公式
习题一
第二章 积分子流形与Lie导数
§2.1 流形映射与其诱导的流形上张量场映射
§2.2 子流形，积分流形与Frobenius定理
§2.3 微分方程的可积条件与Frobenius定理的第二种形式
§2.4 局域单参数Lie变换群与Lie导数Lx
§2.5 辛流形与分析力学
§2.6 切触流形与切触变换（正则变换）
习题二
第三章 仿射联络与曲率张量，协变微分
§3.1 仿射联络与协变微分
§3.2 曲率2形式Ω与曲率张量R
§3.3 测地线方程，切丛联络的挠率张量
§3.4协变外微分算子D
§3.5 联络的和乐群、G流形与可平行化流形
习题三
第四章 Riemann流形
§4.1 度规张量场，Hodge*运算与余微分算子
§4.2 Riemann联络与Riemann曲率张量
§4.3 Killing矢量、最大对称空间与Riemann曲率
§4.4 标架场与自旋联络
§4.5 Riemann曲率张量的计算与Cartan活动标架法
§4.6 活动标架法，三维欧氏空间中曲线与曲面
§4.7 伪球面与B#cklund变换
习题四
第五章 流形的同伦群与同调群
§5.1 同伦映射与具有相同伦型的流形
§5.2 流形的同伦群
§5.3 相对同伦群与恰当同伦序列
§5.4 整同调群Hk（M,Z）
§5.5 一般同调群Hk（M,G）与普适系数定理
§5.6 对偶同态与对偶链群，上同调论
§5.7 de Rham上同调论
§5.8 谐和形式Harmk（M,R）
§5.9 同伦群与同调群间关系．n维球Sn与Eilenberg-Maclane空间
习题五
第六章 Lie群流形与流形对称性分析，对称空间
§6.1 Lie群流形及其上不变向量场，Lie代数
§6.2 Lie变换群与齐性空间
§6.3 齐性空间的同伦群分析
§6.4 对称空间
习题六
第七章 复流形
§7.1 复流形的复结构与近复流形
§7.2 保近复结构的协变导数与Lie导数，近复结构可积条件的若干等价形式
§7.3 近Hermite流形与Hermite流形
§7.4 K#hler流形
§7.5 Hermite联络与K#hler联络
§7.6 Calabi-Yau流形
§7.7 非线性σ-model，弧子解及其几何意义
习题七
第八章 纤维丛的拓扑结构
§8.1 一般向量丛E（M,F,π,G）
§8.2 向量丛的伴主丛，标架丛L（E）
§8.3 主丛P（M,G,π）与伴矢丛E（M,F,π,G,P）
§8.4 等价丛与丛的约化．切标架丛的约化与具G结构的流形
§8.5 纤维丛整体是否平庸的判断
§8.6 流形M上向量丛集合与K理论
§8.7 纤维丛的分类与普适丛#（G）
习题八
第九章 纤维丛上联络与曲率
§9.1 主丛上联络与曲率
§9.2 伴丛上联络．物质场与规范场的相互作用
§9.3 一般向量丛上的联络（线性联络）
§9.4 向量丛与切丛的直积丛的联络与曲率．切丛联络的挠率问题
§9.5 对偶矢丛，Riemann联络与曲率
习题九
第十章 纤维丛的示性类
§10.1 纤维丛示性类的一般性质，Weil同态
§10.2 复矢丛与陈示性类
§10.3 实矢丛与Pontrjagin类
§10.4 实定向偶维矢丛与Euler类
§10.5 Stiefel-Whitney类，四种示性类特性比较
§10.6 次级示性类（陈-Simons形式）
习题十
第十一章 杨-Mills理论的拓扑分析
§11.1 杨-Mills场的作用量与运动方程
§11.2 规范对称性与守恒的Noether流
§11.3 边界条件与场的拓扑性质，瞬子解
§11.4 量子规范理论的拓扑效应与θ参数
§11.5 三维时空规范理论与拓扑质量项
习题十一
第十二章 Atiyah-Singer指数定理
§12.1 引言．Euler数及其有关定理
§12.2 椭圆微分算子的解析指数与A-S指数定理
§12.3 椭圆复形与A-S指数定理．例：de Rham复形与Gauss-Bonnet定理
§12.4 其它经典椭圆复形与相应指数定理
§12.5 扭曲椭圆复形与相应指数定理
§12.6 A-S指数定理在物理中应用举例
§12.7 A-S指数定理证明的简单介绍
§12.8 利用超对称场论模型证明A-S指数定理
习题十二
第十三章 族指标定理、联络空间与轨道空间上同调论
§13.1 引言．量子场论中反常的拓扑分析
§13.2 单态反常与A-S指数定理
§13.3 联络空间同调论与上同调论，推广的陈-Simons形式系列
§13.4 规范群的各级拓扑障碍与#ech-de Rham双复形
§13.5 族指标定理
§13.6 轨道空间上同调及其提升，规范群上同调论
§13.7 自洽反常的拓扑分析与WZW有效作用量
§13.8 规范群各级拓扑障碍相应的量子反常效应
§13.9 联络丛上的联络（Berry相）
习题十三
第十四章 带边流形与开无限流形的指数定理．APS-η不变量与分数荷问题
§14.1 引言
§14.2 带边流形上do Rham复形的指数定理
§14.3 带边流形APS指数定理的一般形式
§14.4 自旋复形的APS指数定理，非局域边界条件
§14.5 开无限流形上的指数定理
§14.6 APS-η不变量在物理中应用与分数Fermi荷问题，
§14.7 非局域与局域边界条件的再讨论，分数Fermi荷与重正化问题
§14.8 单参数族Dirac算子与谱流，APS-η不变量与诱导Fermi荷的计算
习题十四
附录
A． 集合论中若干概念简单介绍
B． 拓扑学中若干概念简单介绍
C． 若干常用代数体系简单介绍
D． Abel群的若干基本性质
E． 代数体系的同态与同构，张量代数
F． 群的同态恰当系列
G． 推广的Kronecker delta符号
H． n维球Sn的坐标，测度，联络与曲率
I． SU（2）群流形（S3）Riemann几何分析
J． S2（CP（1））流形与Hopf映射
K． 对称迹的定义与性质
L． 推广的陈Simons形式（Q系列）
M． 规范群上闭链密度（Ω系列）与规范代数上闭链密度（ω系列）
N． 轴矢反常方程与迹等式
O． APS-η函数与推广的Riemann-ζ函数
一般参考书目
参考文献
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