本书总结了力学研究者在轴对称有限元方面的工作，部分反映了作者的研究成果。书中不仅对现在广为应用的单场变量位移元进行了总结，关键在于系统归纳筛选了近些年发展起来的多场变量轴对称元，它们代表了此学科的发展方向，具有广阔的应用前景。本书依照作者见解，以变分原理为纲，将散见于浩繁文献中的轴对称元，分类梳理为六大类74种单元，详细阐述了各种单元建立所依据的基本原理、单元列式、单刚导出、敛散分析与数值算例，以利于读者进行深入的探索与发现。本书展示了轴对称元理论的完备性与创新性以及应用的灵活性与适用性。
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前言
第1章 小位移变形弹性理论基本方程 1
1.1 应力、应变、位移、体积力、表面力 1
1.2 应变能和余能 2
1.2.1 应变能密度 2
1.2.2 余能密度 3
1.3 小位移变形弹性理论基本方程 3
1.3.1 平衡方程（力学方程） 4
1.3.2 应变-位移方程（几何方程） 5
1.3.3 应力-应变关系（物理方程或本构方程） 6
1.3.4 边界条件 12
1.4 散度定理 13
1.5 小结 14
参考文献 15
第2章 小位移变形弹性理论经典变分原理及广义变分原理 16
2.1 小位移变形弹性理论最小势能（位能）原理 16
2.1.1 最小势能原理及泛函约束条件 16
2.1.2 证明 17
2.2 最小余能原理 22
2.2.1 最小余能原理及泛函约束条件 22
2.2.2 证明 23
2.3 小位移变形弹性理论广义变分原理 26
2.4 Hellinger-Reissner 广义变分原理 27
2.4.1 Hellinger-Reissner变分原理泛函ΠHR (σ ,u) 的建立 27
2.4.2 Hellinger-Reissner 变分原理注意事项 30
2.5 (ε,u)双变量广义变分原理 31
2.5.1 （ε,u）双变量广义变分原理泛函ΠP2 (ε,u)的建立 31
2.5.2 P2 Π (ε ,u)变分原理的注意事项 34
2.6 这两种广义变分原理泛函之间的关系 35
2.7 Hu-Washizu广义变分原理 37
2.7.1 Hu-Washizu变分原理泛函HW Π的建立 37
2.7.2 对Hu-Washizu广义变分原理的论战 39
2.8 小结 43
2.8.1 小位移变形弹性理论静力问题 43
2.8.2 弹性理论常规变分原理之间的关系 45
参考文献 48
第3章 根据最小势能原理建立的轴对称位移元（Ⅰ） 50
3.1 协调的假定位移有限元 50
3.1.1 变分原理 50
3.1.2 单元列式 51
3.2 有限元收敛准则 几何各向同性 54
3.2.1 有限元单调收敛准则 54
3.2.2 非协调元的收敛条件 55
3.2.3 几何各向同性 63
3.3 轴对称问题 63
3.3.1 轴对称问题的场变量 64
3.3.2 轴对称问题基本方程 64
3.4 3 结点三角形轴对称位移元（一）（元LDT） 66
3.4.1 位移场 u 66
3.4.2 元内一点的应力及应变以结点位移表示 68
3.4.3 建立单元刚度阵 69
3.4.4 等效结点载荷 76
3.4.5 数值算例 76
3.4.6 三角形元应用推广 82
3.5 3 结点三角形轴对称位移元（二）（元LDTC） 91
3.5.1 基本列式 91
3.5.2 基本列式讨论 95
3.5.3 算例 96
3.6 3 结点三角形轴对称位移元（三） 98
3.6.1 单元建立 98
3.6.2 数值算例 101
3.7 4结点三角形轴对称位移元 103
3.7.1 单元建立 103
3.7.2 数值算例 106
参考文献 107
第4章 根据最小势能原理建立的轴对称位移元（Ⅱ） 110
4.1 多结点三角形协调轴对称位移元的形函数 110
4.1.1 Lagrange定理 110
4.1.2 多种结点三角形轴对称元的形函数 112
4.1.3 各种一维元 115
4.2 多结点四边形协调轴对称位移元的形函数 116
4.2.1 线性元 116
4.2.2 二次元 117
4.2.3 三次元 119
4.3 轴对称等参位移元 120
4.3.1 轴对称等参位移元 120
4.3.2 等参元的收敛性 122
4.3.3 等参元单元列式 126
4.3.4 数值算例 128
4.4 几种轴对称元数值比较 134
4.5 4结点非协调轴对称位移元（一） 138
4.5.1 广义协调元四边形面积坐标 138
4.5.2 4结点四边形广义协调轴对称元 140
4.6 4结点非协调轴对称位移元（二） 144
4.6.1 建立单元初始位移 144
4.6.2 修正的非协调位移 146
4.6.3 数值算例 150
4.7 小结 154
参考文献 156
第5章 根据修正的余能原理Π mc、Π(1)mc 及Hellinger-Reissner原理mR Π
建立的轴对称有限元 158
5.1 修正的余能原理mc Π 及早期杂交应力元Ⅰ 158
5.1.1 最小余能原理 158
5.1.2 修正的余能原理 159
5.1.3 早期杂交应力元Ⅰ 161
5.2 Hellinger-Reissner原理及早期杂交应力元Ⅱ 163
5.2.1 变分泛函 163
5.2.2 有限元列式 164
5.2.3 几点注意事项 166
5.3 早期杂交应力元小结 169
5.3.1 两种早期杂交应力元 169
5.3.2 假定应力杂交模式小结 170
5.4 扫除附加的运动变形模式（扫除多余的零能模式） 170
5.4.1 附加运动变形模式 170
5.4.2 扫除附加运动变形模式 171
5.4.3 选择单元应力场扫除零能模式的方法及实例 174
5.4.4 对单元稳定所需最小应力参数（式（5.4.1））的意见 176
5.5 杂交应力轴对称元 176
5.5.1 杂交应力轴对称元列式 176
5.5.2 单元位于对称轴上问题 179
5.6 一般四边形4结点轴对称杂交应力元 180
5.6.1 位移场u 181
5.6.2 假定应力场 182
5.6.3 数值算例 187
5.6.4 小结 196
5.6.5 钢容器内圆柱形固体火箭推进剂受力分析 197
5.7 一般四边形8结点轴对称杂交应力元 205
5.7.1 位移场u 206
5.7.2 假定应力场σ 206
5.7.3 数值算例 212
5.7.4 小结 222
5.8 应用杂交应力模式进行任意载荷下轴对称构件受力分析 223
5.8.1 有限元列式 223
5.8.2 建立杂交应力元 228
5.8.3 数值算例 230
5.8.4 小结 236
5.9 杂交-Trefftz有限元 236
5.9.1 变分泛函 237
5.9.2 有限元列式 242
5.9.3 修正的余能原理Πm(1c) (u,u)与Π的关系 244
5.10 4结点轴对称杂交-Trefftz元 245
5.10.1 柱坐标表示的基本方程及边界条件 245
5.10.2 4结点轴对称杂交-Trefftz元 246
5.10.3 数值算例 248
5.11 小结 251
参考文献 254
第6章 根据修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR及杂交应力元理性列式所建立的轴对称元（Ⅰ） 258
6.1 修正的Hellinger-Reissner原理（一） 258
6.1.1 Hellinger-Reissner原理的离散形式 258
6.1.2 修正的Hellinger-Reissner原理（一）ΠmR1 259
6.2 修正的Hellinger-Reissner原理（二）及修正的Hellinger-Reissner原理（三） 262
6.2.1 修正的Hellinger-Reissner原理（二） 262
6.2.2 修正的Hellinger-Reissner原理（三） 263
6.3 修正的Hellinger-Reissner原理及所建立的杂交应力元 264
6.3.1 变分原理 264
6.3.2 有限元列式 265
6.3.3 这种有限元列式的讨论 266
6.4 非协调杂交应力元理性列式Ⅰ—平衡法 266
6.4.1 非协调杂交应力元理性列式Ⅰ—平衡法 267
6.4.2 用理性列式Ⅰ—平衡法建立杂交应力元的特点 269
6.5 用理性列式Ⅰ—平衡法建立4结点轴对称元 270
6.5.1 利用理性平衡方法Ⅰ，建立一般形状4结点轴对称元 270
6.5.2 数值算例 274
6.6 非协调杂交应力元的理性列式—修正的平衡法Ⅰm 279
6.7 非协调杂交应力元的理性列式Ⅱ—正交法 280
6.8 非协调杂交应力元的理性列式Ⅲ—表面虚功法 282
6.8.1 变分泛函及收敛条件 282
6.8.2 理性方法Ⅲ—表面虚功法 283
6.8.3 非协调杂交应力元三种理性列式说明 286
6.9 利用三种理性方法建立4结点轴对称元 287
6.9.1 建立单元 287
6.9.2 数值算例 289
6.10 小结 297
参考文献 299
第7章 根据修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR2及修正的两变量变分原理Πp2建立的轴对称元（Ⅱ） 302
7.1 利用另一种表面虚功法建立轴对称元 302
7.1.1 变分泛函 302
7.1.2 单元建立 304
7.1.3 Dong及Teixeira de Freitas建立的4结点轴对称非协调杂交应力元 305
7.1.4 4结点非协调轴对称元LA1、HA1及FA1 308
7.2 轴对称元中伪剪应力的几点说明 318
7.2.1 矩形网格下伪剪切现象产生的原因及消除 318
7.2.2 歪斜网格下伪剪应力的抑制 320
7.3 杂交应力扭转元 320
7.3.1 应力约束方程和单元刚矩阵 320
7.3.2 4结点一般形状杂交应力扭转元 322
7.3.3 数值算例 324
7.4 修正的(ε,u)双变量变分原理Πmp2及根据Πmp2建立的轴对称元 328
7.4.1 修正的(ε,u)双变量变分原理 328
7.4.2 根据2mp2 Π 进行有限元列式 330
7.4.3 利用修正的两变 量变分原理Π2mp2进行单元列式 331
7.4.4 建立4结点轴对称元 331
7.5 用罚平衡法建立轴对称元 336
7.5.1 罚函数法 336
7.5.2 罚平衡法 337
7.5.3 用罚平衡法建立4结点轴对称元 338
7.6 具有转动自由度的4结点轴对称元 340
7.6.1 具有转动自由度的4结点轴对称元 340
7.6.2 数值算例 348
7.7 小结 355
参考文献 357
第8章 根据Hu-Washizu原理Π HW建立的轴对称有限元模式 361
8.1 根据Hu-Washizu原理Π HW建立的4结点精化杂交应力轴对称元（refined hybrid stress axisymmetric element） 361
8.1.1 Hu-Washizu原理HW Π 361
8.1.2 精化杂交应力轴对称元 361
8.2 根据最小势能原理建立轴对称四边形非协调位移元 375
8.2.1 有限元列式 375
8.2.2 建立四边形4结点非协调轴对称位移元NAQ6 379
8.3 根据Hu-Washizu原理及γ-投影和正交内插所建立的4结点轴对称元 380
8.3.1 有限元列式 380
8.3.2 4结点四边形轴对称元 381
8.4 根据Hellinger-Reissner原理及γ-投影算子建立的4结点轴对称元 391
8.4.1 有限元列式 392
8.4.2 4结点四边形轴对称元 392
8.4.3 数值算例 396
8.5 根据Hu-Washizu原理及混合增强列式建立4结点轴对称元 399
8.5.1 单元刚度矩阵 399
8.5.2 通过张量转换建立几何形状歪斜单元的应力场与应变场 401
8.5.3 建立4结点混合增强应变的轴对称元 403
8.5.4 数值算例 408
8.6 根据Hu-Washizu原理及增强应变（EAS）方法所建立的轴对称有限元 419
8.6.1 单元能量表达式及单刚建立 419
8.6.2 有限元列式 421
8.6.3 用EAS法建立的三种4结点轴对称元 422
8.6.4 数值算例 424
8.7 小结 426
参考文献 429
第9章 根据更一般形式的广义变分原理λG Π所建立的轴对称有限元 431
9.1 更一般形式的广义变分原理（Ⅰ）λG Π 431
9.1.1 用拉氏乘子法在Hu-Washizu原理中解除应力-应变关系约束的失败 431
9.1.2 高阶拉氏乘子法，更一般形式的广义变分原理（Ⅰ）ΠλG 433
9.2 更一般形式广义变分原理（Ⅱ） 1MGλ Π 435
9.3 根据更一般形式的广义变分原理（Ⅲ）Π 2MGλ建立的轴对称广义杂交应力元 438
9.3.1 变分原理Π2MGλ 438
9.3.2 有限元列式 441
9.3.3 建立4结点四边形轴对称广义杂交应力元 442
9.3.4 数值算例 446
9.4 小结 450
参考文献 451
第10章 轴对称转移元 453
10.1 转移元 454
10.2 轴对称协调位移转移元 458
10.2.1 最小势能原理及单元刚度矩阵 458
10.2.2 协调位移转移元 459
10.3 轴对称协调杂交应力转移元 461
10.3.1 Hellinger-Reissner原理及单刚建立 461
10.3.2 轴对称协调杂交应力转移元 462
10.4 轴对称非协调位移转移元 463
10.4.1 最小势能原理及单元刚度矩阵 463
10.4.2 两类轴对称非协调转移元 465
10.5 用增强应变构造轴对称转移元 466
10.5.1 增强应变方法及单刚列式 466
10.5.2 建立增强应变 468
10.5.3 轴对称增强应变转移元 470
10.6 运用转移元进行自适应精化分析 471
10.7 误差估计 472
10.7.1 已知准确解时进行误差计算 472
10.7.2 未知准确解时的误差估计—误差估计量 473
10.7.3 恢复应力—超级收敛小片恢复 474
10.8 数值算例 475
10.8.1 算例中注意事项 476
10.8.2 算例 476
10.9 小结 486
参考文献 486
京公网安备 11010102004214号