本书主要讲述索伯列夫空间一般理论和在非线性偏微分方程中的应用。内容涉及Lebesgue空间Lp（Ω）及其基本性质；整数阶索伯列夫空间Wm，p（Ω）及其性质；Wm，p（Ω）空间的嵌入定理、紧嵌入定理和插值定理以及连续函数空间的嵌入定理。论述研究非线性发展方程时，常用到的含有时间的空间和含有时间的索伯列夫空间。介绍类似于索伯列夫空间嵌入定理的离散函数的插值公式，并利用离散函数的插值公式证明广义Schrodinger型方程组初边值问题整体广义解的存在唯一性。讲述速降函数、缓增广义函数以及它们的Fourier变换和Lebesgue空间的Fourier变换，分数阶索伯列夫空间HS（N）和HS（Ω）及其性质。介绍近年来国内外关注的几个非线性发展方程的初边值问题和Cauchy问题解的存在唯一性以及解的爆破现象和解的渐近性质，使读者较快地利用索伯列夫空间这个有力理论工具，进入研究偏微分方程等学科的前沿。
样章试读
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《现代数学基础丛书》序
前言
第1章 基础知识 1
1.1 几个基本空间的定义 1
1.1.1 距离空间 1
1.1.2 线性空间 2
1.1.3 线性赋范空间 2
1.1.4 Hilbert空间 4
1.2 线性算子与线性泛函 4
1.2.1 线性算子 4
1.2.2 线性泛函 6
1.3 连续函数空间 8
1.3.1 Cm（Ω）空间的完备性 8
1.3.2 Cm，λ（Ω）空间的完备性 10
1.4 Hilbert空间的Riesz表示定理与Lax-Milgram定理 12
第2章 Lp（Ω）空间及其基本性质 14
2.1 Lp（Ω）空间 14
2.1.1 Lp（Ω）空间的定义 14
2.1.2 Holder不等式、Minkowski不等式和Lp（Ω）范数的内插不等式 15
2.1.3 Lp（Ω）空间的完备性 22
2.1.4 Lp（Ω）空间的一致凸性 24
2.1.5 Lp（Ω）空间的一个嵌入定理 32
2.1.6 Cc（Ω）空间在Lp（Ω）空间中的稠密性 34
2.1.7 卷积、函数的正则化和Cc∞（Ω）空间在Lp（Ω）空间中的稠密牲 36
2.1.8 Lp（Ω）空间的可分性 46
2.1.9 Lp（Ω）空间元素的整体连续性 47
2.2 Lp（Ω）空间上线性泛函的表示形式 49
2.2.1 预备知识 49
2.2.2 Lp（Ω）空间的Riesz表示定理 55
2.2.3 自反空间 59
2.3 Lp（Ω）空间的弱完备性 60
2.3.1 紧集的定义和关于强紧集定理 60
2.3.2 Lp（Ω）空间的弱完备性与弱紧集定理 60
2.4 弱Lp（Ω）空间、Marcinkiewicz插值定理 65
2.4.1 弱Lp（Ω）空间、次线性算子、强型算子和弱型算子 65
2.4.2 Marcinkiewicz插值定理 69
2.4.3 Minkowski积分不等式 69
2.5 混合范数Lp空间 74
2.6 Lp（Ω）空间中的准紧集 75
第3章 整数阶索伯列夫空间Wm，p（Ω）及其基本性质 79
3.1 广义函数 79
3.1.1 广义函数的性质 80
3.1.2 广义函数的支集 85
3.1.3 广义函数的直积 85
3.1.4 广义函数的卷积 89
3.1.5 广义函数的导数 95
3.2 Wm，p（Ω）空间及其性质 99
3.3 单位分解定理 110
3.4 区域的几何性质 113
3.5 Cc∞（RN，Ω）在Wm，p（Ω）中的稠密性 120
3.6 Hm，p（Ω）空间 124
3.7 对偶性与空间W-m，p（Ω） 125
3.7.1 Wm，p（Ω）的对偶与W0m，p（Ω）的赋范对偶 126
3.7.2 空间Lp′（Ω）的（-m，p′）-范数 128
3.8 差商与空间Wm，p（Ω） 129
第4章 索伯列夫空间的嵌入定理和插值定理 132
4.1 嵌入的含义、坐标变换 132
4.1.1 嵌入的含义 132
4.1.2 坐标变换 137
4.2 嵌入定理 14l
4.3 作为Banach代数的Wm，p（Ω）空间 158
4.4 插值定理 163
4.5 紧嵌入定理 180
4.6 延拓定理 188
4.7 边界迹 194
4.8 Poincare不等式和W0m，p（Ω）的一个等价范数 197
第5章 含有时间的空间 199
5.1 抽象函数 199
5.2 抽象函数的Bochner积分 202
5.3 含有时间的空间 207
5.3.1 Lp（（0，T）；X）空间的完备性 207
5.3.2 L∞（（0，T）；X）空间的完备性 209
5.4 含有时间的索伯列夫空间 211
5.5 Aubin引理 215
第6章 索伯列夫空间在偏微分方程中的应用（I） 219
6.1 预备知识 219
6.1.1 Gronwall不等式（微分形式） 219
6.1.2 Gronwall不等式（积分形式） 220
6.1.3 Jensen不等式 22l
6.1.4 Leray-Schauder不动点定理 221
6.2 广义Ginzburg-Landau模型方程的初边值问题 222
6.2.1 初边值问题（6.2.2）-（6.2.4）整体解的存在性与唯一性 223
6.2.2 解的渐近性质 241
6.3 一般线性椭圆型方程的Dirichlet问题 242
6.4 具阻尼非线性双曲型方程的初边值问题 244
6.5 广义立方双色散方程的初边值问题 251
6.6 一类四阶非线性发展方程初边值问题解的渐近性质 257
6 7 广义IMBq型方程组的初边值问题 260
6.7.1 问题的提出和广义解的定义 261
6.7.2 初边值问题（6.7.17），（6.7.19），（6.7.21）的整体解 264
6.7.3 问题（6.7.16）-（6.7.21）的整体解 275
第7章 离散函数空间的插值公式和应用 277
7.1 一个指标的离散函数 277
7.1.1 离散函数的插值公式 277
7.1.2 关于离散函数指数为α的Holder系数的不等式 285
7.1.3 一个离散函数的不等式 286
7.1.4 有限维空间连续映射的不动点定理 288
7.2 广义Schrodinger型方程组初边值问题的有限差分法 288
7.2.1 有限差分方程组（7.2.3）h和有限差分边值条件（*）h解的存在性和唯一性 290
7.2.2 有限差分方程组（7.2.3）、在适当的有限差分边值条件（*）、和离散的初值条件（7.2.8）h下解的先验估计 292
7.2.3 当h2+△t2→0时，有限差分方程组（7.2.3）h，（*）h，（7.2.8）h的离散向量解v△={vnj|j=0，1，…，J；n=0，1，…，N}的收敛性 299
第8章 分数阶索伯列夫空间 307
8.1 速降函数、缓增广义函数 307
8.1.1 速降函数 307
8.1.2 缓增广义函数 310
8.2 Fourier变换 314
8.2.1 φ空间中函数的Fourier变换 314
8.2.2 φ空间中函数的Fourier变换 320
8.2.3 Lebesgue空间中函数的Fourier变换 324
8.3 分数阶索伯列夫空间HS（RN） 333
8.4 HS（RN）空间范数的内插 342
8.5 分数阶索伯列夫空间HS（Ω） 343
第9章 索伯列夫空间在偏微分方程中的应用（II） 349
9.1 具阻尼项的N维广义IMBq方程的Cauchy问题 349
9.1.1 问题的来历 349
9.1.2 Cauchy问题（9.1.2），（9.1.3）在C2（[0，∞）；HS）中整体解的存在唯一性和解的爆破 350
9.2 Cauchy问题（9.1.2），（9.1.3）在C3（[0，∞）；Wm，p∩L∞∩L2）中的整体解的存在唯一性和解的爆破 367
9.3 具Stokes阻尼项的IMBq方程的Cauchy问题 376
9.3.1 辅助问题（9.3.3），（9.3.4）整体解的存在性和唯一性 376
9.3.2 Cauchy问题（9.3.1），（9.3.2） 385
参考文献 390
附录 396
索引 401
《现代数学基础丛书》已出版书目 406
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