自1998年PT对称量子力学(非经典量子力学)被提出以来,逐步激发了人们对有关PT对称理论和实验方面的广泛关注.作者自2007年开始研究PT对称相关的问题,本书的主要内容源于作者的部分研究成果.本书主要阐述PT对称理论、方法及其在线性和非线性波方程中的应用,主要针对具有物理意义的不同复值PT对称势,研究非厄米Hamilton算子具有全实特征值谱的参数分布、非线性光学系统及相关领域中的非线性Schr？dinger方程(其在Bose-Einstein凝聚态中被称为Gross-Pitaevskii方程)、高阶非线性Schr？dinger方程、高阶非线性Schr？dinger方程、导数非线性Schr？dinger方程、Ginzburg-Landau方程、非局域非线性Schr？dinger方程与三波相互作用耦合系统等非线性波方程的不同类型孤子解和peakon解、相互作用、稳定激发以及动力学性质.这些性质和结果可能激发量子力学、非线性光学与Bose-Einstein凝聚态等相关领域的交叉应用,也为相关物理实验的设计提供理论基础和数据支撑.
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《现代数学基础丛书》序
前言
第1章基础知识1
1.1经典量子力学简介2
1.2量子力学中的波动方程7
1.2.1含时线性Schr？dinger方程8
1.2.2概率守恒形式12
1.2.3算符的对易关系13
1.2.4伴随/厄米算子14
1.2.5不确定性原理和关系20
1.3特殊函数22
1.3.1符号函数：sgn(x),csgn(z)23
1.3.2Diracδ(x)广义函数24
1.3.3Kroneckerδij函数27
1.3.4Levi-Civita符号函数.28
1.4定态线性Schr？dinger方程29
1.4.1零外势：自由粒子31
1.4.2调和外势31
1.4.3Diracδ(x)函数势32
1.4.4无反射P.schl-Teller势34
1.4.5无限深方势阱34
1.5高维定态线性Schr？dinger方程35
1.5.1二维极坐标系情况——Bessel函数.35
1.5.2三维柱坐标系情况——Bessel函数.38
1.5.3三维球坐标系情况——Bessel和Legendre函数38
1.6非厄米PT对称与PT量子力学40
1.7PT对称Hamilton算子和性质43
1.8含PT对称势的线性Schr？dinger方程45
1.9非厄米PT对称复势47
1.9.1PT对称Bessis-Bender-Boettcher势.47
1.9.2PT对称Scarf-II势48
1.9.3PT对称势与Miura变换49
1.9.4PT对称Rosen-Morse势.50
1.9.5PT对称周期势50
1.9.6PT对称矩阵型势51
1.9.7PT对称其他类型势51
1.10超对称伙伴势51
1.10.1量子力学中的超对称势51
1.10.2PT量子力学中的超对称势.54
1.10.3超对称的其他分解55
1.11PT对称广义非线性Schr？dinger方程56
1.12可积与近可积PT对称非线性系统58
1.12.1经典孤子与可积非线性系统58
1.12.2近可积PT对称非线性波系统62
1.12.3孤子方程的PT对称拓展65
1.12.4PT对称非局域可积和非可积系统65
1.13分数阶量子力学67
1.13.1分数阶线性Schr？dinger方程.67
1.13.2分数阶非线性Schr？dinger方程.69
1.14PT对称的分数阶非线性Schr？dinger方程.69
1.15可积分数阶孤子方程.70
1.15.1单Lévy指标情况.70
1.15.2多Lévy指标和混合Lévy指标情况73
1.15.3不同Lévy指标情况.74
第2章含广义PT对称Scarf-II势的非线性Schr？dinger方程75
2.1PT对称非线性Schr？dinger方程75
2.1.1PT对称非线性光学系统75
2.1.2含PT对称势的定态非线性Schr？dinger方程76
2.2含波数k的PT对称Scarf-II势中的孤子77
2.2.1Hamilton量特征值问题与PT对称自发破缺78
2.2.2孤子解的存在条件79
2.2.3孤子解的稳定性82
2.3修正PT对称Scarf-II多势阱中的孤子及稳定性.87
2.4修正PT对称Scarf-II双势阱中的孤子.91
2.4.1基本幂律孤子形成和动力学93
2.4.2数值非线性模态及其稳定性分析.95
2.4.3高阶孤子及其动力学演化95
2.5PT对称势中的二维幂律孤子97
2.5.1二维幂律孤子97
2.5.2二维涡旋孤子的动力学性质99
2.6三维广义PT对称外势中的孤子102
第3章含PT对称调和-高斯势的非线性Schr？dinger方程106
3.1PT对称非线性系统的解析理论和方法106
3.1.1研究背景106
3.1.2非线性波方程的构造107
3.1.3孤子的线性稳定性分析109
3.2摄动PT对称调和势110
3.3PT对称调和-高斯单势阱111
3.3.1广义Hamilton算子谱和PT对称相位破缺112
3.3.2PT对称调和单势阱中的孤子：稳定性和绝热激发113
3.4PT对称调和-高斯双势阱117
3.4.1广义Hamilton算子谱和PT对称相位破缺117
3.4.2PT对称调和-高斯双势阱中的孤子：稳定性和绝热激发119
3.5PT对称非调和-高斯双势阱121
3.5.1PT对称六次双势阱的(未)破缺参数区域123
3.5.2保守厄米非线性系统中的对称破缺解.124
3.5.3PT对称孤子解及其稳定性124
3.5.4PT对称数值孤子族与稳定性127
第4章含动量调控和(非)PT对称势的Gross-Pitaevskii方程133
4.1PT对称的Gross-Pitaevskii方程133
4.1.1广义Gross-Pitaevskii方程133
4.1.2定态解的一般理论135
4.2空间不变动量调控下PT对称的线性和非线性模态.136
4.2.1PT对称Scarf-II势.136
4.2.2PT对称α-幂律Scarf-II势146
4.2.3PT对称调和-高斯势151
4.3非周期空间变化的动量调控与PT对称Scarf-II势中的孤子160
4.3.1PT对称的相位(未)破缺160
4.3.2非线性局域模态及其稳定性163
4.4空间周期变化的动量调控与PT晶格势中的隙孤子.165
4.4.1广义Hamilton算子谱问题.165
4.4.2非线性波的存在区域与稳定性170
4.5二维PT对称势的非线性Schr？dinger方程172
4.5.1二维能带结构和光束衍射172
4.5.2二维非线性波及其动力学稳定性173
4.5.3解的横向功率流强度176
4.6三维PT对称GP方程的孤子177
第5章含有效质量与PT对称势的非线性Schr？dinger方程181
5.1有效质量调控的Hamilton算子181
5.2PT对称的有效质量模型的理论与数值方法182
5.2.1一般理论182
5.2.2一维和二维隙孤子的数值方法184
5.3PT对称光晶格势下的能带结构.185
5.3.1Floquet-Bloch理论185
5.3.2PT对称晶格势下的能带与带隙186
5.3.3PT对称晶格势中的衍射动力学188
5.4隙孤子的存在区域和稳定性189
5.5二维PT对称有效质量模型190
5.5.1二维能带结构和光束衍射191
5.5.2二维非线性局域模态与动力学稳定性.192
5.6非周期有效质量调控的孤子194
第6章含PT对称势与无界增益--损耗项的非线性Schr？dinger方程197
6.1PT对称的非线性波方程197
6.1.1定态解的一般理论198
6.1.2PT对称调和-高斯势与无界增益-损耗项的Hamilton算子199
6.1.3基态孤子、线性稳定性与动力学行为.200
6.1.4孤子的相互作用与稳定激发202
6.1.5数值孤子解及其稳定性204
6.2高维PT对称调和-高斯势中的稳定孤子205
6.2.1二维孤子与稳定性206
6.2.2三维时空光孤子与动力学行为209
第7章含PT对称有理函数势的非线性Schr？dinger方程211
7.1PT对称有理函数势中的相位破缺211
7.2精确有理孤子解与稳定性212
第8章含任意PT对称势的广义非线性Schr？dinger方程215
8.1PT对称广义非线性Schr？dinger方程215
8.2两种任意形式的PT对称势与解析解217
8.3广义PT对称Scarf-II势中的孤子及其稳定性.218
8.4广义PT对称厄米-高斯势中的孤子及其稳定性223
8.5PT对称渐近周期势下的孤子行为226
第9章含PT对称δ(x)-sgn(x)函数势的非线性Schr？dinger方程230
9.1PT对称δ(x)-sgn(x)势230
9.2PT对称δ(x)-sgn(x)函数单势阱：相变、peakon解及稳定性231
9.2.1PT对称相位破缺231
9.2.2peakon解及其稳定性233
9.3PT对称sgn(x)函数双势阱(n>0):孤子及稳定性分析234
9.3.1线性谱问题的PT对称相位破缺234
9.3.2平顶孤子族和稳定性236
9.3.3孤波对平顶孤子的影响238
9.3.4平顶孤子的稳定激发239
第10章含PT对称势的导数非线性Schr？dinger方程.241
10.1非线性物理模型及一般理论241
10.1.1导数非线性Schr？dinger方程241
10.1.2PT对称导数非线性Schr？dinger方程242
10.1.3一般的解析理论243
10.2PT对称Scarf-II势中的线性和非线性局域模态244
10.2.1线性谱问题244
10.2.2非线性模态、稳定性及动力学行为245
10.2.3非线性局域模态的激发251
10.3PT对称调和-厄米-高斯势中的线性和非线性局域模态.253
10.3.1线性PT对称破缺.254
10.3.2非线性模态及其稳定性255
10.3.3非线性模态的激发258
第11章含PT对称势的三阶非线性Schr？dinger方程.261
11.1含类Scarf-II势的三阶非线性Schr？dinger方程261
11.1.1线性谱问题262
11.1.2非线性局域模态与稳定性263
11.2含PT对称调和-高斯势与空间变系数三阶色散的模型265
第12章含近PT对称势的Ginzburg-Landau方程268
12.1Ginzburg-Landau方程268
12.2近PT对称非线性物理模型268
12.3定态解和线性稳定性理论269
12.4近PT对称Scarf-II势和线性谱问题.270
12.4.1孤子解和动力学性质271
12.4.2线性稳定性和谱性质271
12.4.3孤子的相互作用272
12.4.4孤子的能量流动273
12.5孤子稳定激发275
第13章PT对称的耦合非线性波系统277
13.1三次耦合非线性波系统277
13.1.1一般数学理论277
13.1.2定态解及其稳定性278
13.1.3Stokes参数的动力系统284
13.2五次耦合非线性波系统287
13.2.1定态解及其稳定性287
13.2.2Stokes参数的动力系统291
第14章含PT对称势的非局域非线性Schr？dinger方程293
14.1PT对称非局域模型293
14.2PT对称势作用下的线性谱问题、非线性模态及稳定性.294
14.2.1广义PT对称Scarf-II势294
14.2.2广义PT对称Rosen-Morse势296
14.2.3广义PT对称Rosen-Morse-II势298
第15章含PT对称势的三波非线性系统301
15.1PT对称外势作用下的三波系统301
15.1.1Scarf-II外势下的非线性模态301
15.1.2线性稳定性分析303
15.1.3非线性模态的绝热激发304
15.1.4PT对称多阱Scarf-II外势308
15.2PT对称的三波耦合系统310
15.2.1非线性模态及其线性谱310
15.2.2非线性模态及其动力学行为312
参考文献318
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