在科学技术及数学自身飞速发展的今天，现代数学作为其他学科的基础、语言、工具和手段，其地位日益提高。本书旨在打造一本适合高校理工类研究生学习现代数学基础理论与方法的基本教材，使研究生能在较短的时间内尽可能多地了解现代数学的基本概念、基本理论和基本方法，提升现代数学素养，增强运用现代数学知识分析问题和解决问题的能力。本书信息量大、深入浅出、循序渐进，具体内容包括集合与映射、代数结构与抽象空间、测度与积分、泛函分析、Sobolev空间、微分流形、小波分析与粗糙集简介。另外，本书还配有电子课件供老师教学使用。
样章试读
目录
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第二版前言
第一版前言
第1章 集合与映射 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的运算 2
1.1.3 集合序列的极限 4
1.2 映射 5
1.2.1 映射的概念 5
1.2.2 复合映射及性质 7
1.3 二元关系 7
1.3.1 二元关系的概念 7
1.3.2 等价关系 8
1.4 集合的势 10
1.4.1 势的概念 10
1.4.2 可数集与超穷数 10
1.5 序结构 11
1.5.1 序关系 11
1.5.2 确界与最大元 12
习题1 13
第2章 代数结构与抽象空间 15
2.1 代数结构 15
2.1.1 代数运算与同构 15
2.1.2 群 16
2.1.3 环与域 18
2.2 线性空间 19
2.2.1 线性空间的概念 19
2.2.2 线性空间的基与维数 21
2.2.3 线性空间中的一些基本概念 21
2.3 距离空间 23
2.3.1 距离空间的概念及举例 23
2.3.2 距离空间的开集与闭集 25
2.3.3 极限与连续映射 27
2.3.4 距离空间的致密集与紧集 29
2.3.5 压缩映射与不动点原理 29
2.4 赋范空间 32
2.4.1 赋范空间的概念和性质 32
2.4.2 赋范空间的基 35
2.4.3 赋范空间的同构 35
2.5 内积空间 36
2.5.1 内积空间的基本概念 36
2.5.2 内积空间的正交与投影 38
2.5.3 内积空间的正交基 39
2.6 拓扑空间 41
2.6.1 拓扑空间的概念 41
2.6.2 连续映射与同胚 45
2.6.3 拓扑空间的连通性 47
2.6.4 拓扑空间的分离性与紧致性 49
2.7 拓扑线性空间 51
2.7.1 拓扑线性空间的概念 51
2.7.2 拓扑线性空间的局部基 52
2.7.3 局部凸空间 53
习题2 55
第3章 测度与积分 57
3.1 测度 57
3.1.1 测度空间 57
3.1.2 外测度及由它导出的测度 59
3.1.3 Rn上的Lebesgue测度 64
3.2 可测函数与可测函数的积分 65
3.2.1 可测函数的概念 65
3.2.2 可测函数的积分 66
3.2.3 积分号下的极限运算 71
习题3 72
第4章 泛函分析 74
4.1 算子与泛函 74
4.1.1 算子与泛函的概念 74
4.1.2 线性算子与线性泛函 75
4.1.3 几种收敛概念 79
4.1.4 算子的微分 81
4.2 泛函的极值 86
4.2.1 泛函极值与变分的概念 86
4.2.2 Euler方程 90
4.2.3 泛函极值问题的近似解法 98
4.3 广义函数 103
4.3.1 广义函数的产生 103
4.3.2 基本函数空间与广义函数 105
4.3.3 广义函数的支集与广义函数的导数 106
4.3.4 速降函数与缓增广义函数 108
4.3.5 缓增广义函数的Fourier变换 110
习题4 111
第5章 Sobolev空间 113
5.1 Sobolev空间中的基本概念 113
5.2 嵌入定理 115
5.3 Sobolev空间与广义解 116
习题5 120
第6章 微分流形 121
6.1 多元映射的连续性与可微性 121
6.2 微分流形的定义 124
6.2.1 拓扑流形与微分流形 124
6.2.2 可微函数与可微映射 130
6.3 临界点理论 132
6.3.1 临界点与Sard定理 132
6.3.2 Morse理论 132
6.4 微分动力系统 135
6.4.1 微分方程组与向量场 135
6.4.2 相流、微分动力系统 139
6.5 微分流形理论在经济学中的应用 141
6.5.1 经济均衡的存在性 141
6.5.2 纯交换经济中的均衡 143
6.5.3 福利经济基本定理 144
习题6 146
第7章 小波分析 147
7.1 窗口Fourier变换 147
7.1.1 Fourier变换 147
7.1.2 窗口Fourier变换 150
7.2 连续小波变换 151
7.3 二进小波、离散小波与框架 156
7.3.1 二进小波变换 156
7.3.2 离散小波变换 158
7.3.3 框架 158
7.4 正交小波基与多分辨分析 163
7.4.1 正交小波 163
7.4.2 多分辨分析 167
7.4.3 Mallat算法 171
7.4.4 小波与共轭滤波器 173
7.4.5 紧支集正交小波基 175
7.5 正交小波包 177
7.5.1 小波包的定义与性质 177
7.5.2 最优小波包基 180
7.6 多框架小波 182
7.6.1 双正交小波 183
7.6.2 多框架小波 185
7.7 高维小波 187
7.8 小波分析应用简介 190
7.8.1 信号的奇异性与小波变换 190
7.8.2 小波在信号消噪中的应用 192
7.8.3 小波在突变点检测中的应用 194
7.8.4 二维小波变换在图像处理中的应用 196
习题7 197
第8章 粗糙集简介 198
8.1 知识与粗糙集 198
8.2 知识约简 201
8.3 知识表达系统 203
8.3.1 信息系统 203
8.3.2 决策表 204
8.4 粗糙集模型的算法 207
8.4.1 单一属性分类 208
8.4.2 支持子集与支持度 209
8.4.3 多个属性等价类的交运算 212
8.4.4 属性的独立性 213
习题8 213
参考文献 214
索引 216
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